問 37 Cayley-Hamilton の定理を使って A = 1 0 2 0 −1 1 0 1 0 に対して

問 37
Cayley-Hamilton の定理を使って


1 0 2
A = 0 −1 1
0 1 0
に対して 2A8 − 3A5 + A4 + A2 − 4E を求めよ。
解
まず固有値を求めるため特性方程式を作る。
1 − x
0
2 = (1 − x) −1 − x 1 = (1 − x) −1 − x 2
0
−1
−
x
1
1 − x − x
1
−x
0
1
−x
1
0
= −(1 − x)(−x2 − x + 1) = −(x − 1)(x2 + x − 1) = −(x3 − 2x + 1)
したがって, 特性方程式
(x − 1)(x2 + x − 1) = 0
より固有値は
λ1 = 1,
√
1+ 5
,
λ2 = −
2
√
1− 5
λ3 = −
2
固有値 λ1 = 1 に対して Ker (A − E) を求める。


0 0
2
A − E = 0 −2 1 
0 1 −1
に対して基本変形をおこなう。
まず行の基本変形
0
0
2
0 -2
1
列の基本変形 Q
0
1 -1
1 0 0
0
0
1
0 1 0
0 -2
1
0 0 0
0
1 -1
0
0
1

0 -2
0
0
0
2
0
Q = 0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
したがって kernerl は
 
 
 
x
0
1
y  = Q  0  = α 0
z
α
0
1
0
1
0

1
0
0
√
5
固有値 λ2 = − 1+2
行の基本変形
1−λ
0
0 −1 − λ
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
に対して
2
1
−λ
2
1−λ
1
− 1+λ
−λ
2
1−λ
1
− 1+λ
2
+λ−1
− λ λ+1
2
1−λ
1
− 1+λ
列の基本変形
1 0 0
0 1 0
0 0 1

1
Q = 0
0

2 
0 − 1−λ
1
1
 = 0
1
λ+1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
したがって kernel は

 
 
√
5 −√3
x
0
y  = Q  0  = α − 1+ 5 
2
z
α
1
同様に固有値 λ3 = − −1−
2
√
5
に対して kernel は
 

 √
−3
− 5√
x
y  = α  − 1− 5 
2
z
1
固有ベクトルから次の行列 P を作る
√

5 −√3
1
P = 0 − 21 − 25
0
1
√

− 5 −√3
− 12 + 25 
1
逆行列は
P −1

1

= 0
0
2√
−√ 55
5
5
1
2
1
2
この行列を使うと行列 A は対角化できる。

1
0 √

P −1 AP = 0 − 21 − 25
0
0
2

4√
5
−√
10 
+ 105
0
0
1
−2 +


√ 
5
2
√

−3
0 − 5√
1 − 1+2 5 
0
1
P −1 A2 P = P −1 AP P −1 AP などを使うと
P −1 2A8 − 3A5 + A4 + A2 − 4E P
= 2(P −1 AP )8 − 3(P −1 AP )5 + (P −1 AP )4 + (P −1 AP )2 − 4E
8
5 
4 
2



0
0
0
0
λ1 0
λ1 0
λ1 0
λ1 0
1
= 2  0 λ2 0  − 3  0 λ2 0  +  0 λ2 0  +  0 λ2 0  − 4 0
0
0 λ3
0
0 λ3
0
0 λ3
0
0 λ3
0

 8
5
4
2
0
0
2λ1 − 3λ1 + λ1 + λ1 − 4

0
2λ82 − 3λ52 + λ42 + λ22 − 4
0
=
0
0
2λ83 − 3λ53 + λ43 + λ23 − 4
λ1 , λ2 , λ3 は λ3 − 2λ + 1 = 0 の解だから
2λ8 − 3λ5 + λ4 + λ2 − 4
= (λ3 − 2λ + 1)(2λ5 + 4λ3 − 5λ2 + 9λ − 14) + (24λ2 − 37λ + 10)
= 24λ2 − 37λ + 10
したがって
P −1 2A8 − 3A5 + A4 + A2 − 4E P

0
0
24λ21 − 37λ1 + 10

0
24λ22 − 37λ2 + 10
=
2
0
0
24λ3 − 37λ3 + 10

= P −1 (24A2 − 37A + 10E)P
最終的に ( A3 − 2A + 1 = 0 を主張する Cayley Hamilton の定理を使うと)
2A8 − 3A5 + A4 + A2 − 4E
= (A3 − 2A + 1)(2A5 + 4A3 − 5A2 + 9A − 14) + (24A2 − 37A + 10E)
= 24A2 − 37A + 10E


−3 48 −26
95 −61
= 0
0 −61 34
注
逆行列の計算にも Cayley Hamilton の定理が使える。いまの問題では
A3 − 2X + E = 0
だから

A−1
1
= 2E − A2 = 0
0
である。
3

−2 2
0 1
1 1

0 0
1 0
0 1

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