垂心 と外心 のベ ク トル表示 赤阪正純 (httL“ nupri.web fc2 com) 垂心 と外 心 の ベ ク トル表示 三角形 の垂心 と外心をベ ク トルで表 してみよう とは言っても,い きな りすぎて何から手をつ けてよいか 分か りませんが,ま ずスター トとなるのは次 の有名事実です ABと ACが 1次 独立 の とき 平面 ABC上 の任意 の点 Pは AP=sAB+′ AC ーに パ′ヒバ7■ テ十ト ヾ縮丼ι イ zえ 針贅 呻υ , Q L′ と表す ことがで きる ]と た ノ 111lFIツ れ ,・ ACは 必ず 1次 独立なので,垂 心だろうと外心だろうと平面 ABC上 の点 Pは 全て必ず AP=sAB十 ′ACの 形で表現 されることが保証 されているのです つ まり,△ ABCが 与えられたとき,ABと 決定す ることが目標 とな ります。そのためには,垂 心 と外心の特徴 をベ ク ト すの関係式を 2個 つ くればよいのです 「垂直Jが 絡 んで くるので内積を利用することが つ まり,係 数である sと ルで表 して,sと `を ポイント 1 垂心 の ベ ク トル 表 示 三角形 の各頂点か ら,向 かい合 う辺 (ま たはその延長 )に おろ した垂線の交点を垂心 と言います l AB=6, AC=4, AHを AB,ACを 例題 ∠A=60° である三角形 ABCの 垂心 を Hと す る 用 いて表せ 考え方 先ほどの Pointに 従 い,AH=sAB+′ ACと おきます あ とは,垂 心の条件か ら sと ″の関 係式を 2個 つ くればよいのです 「垂直」が絡 んで くるので 内積 を利用す ることがポイン ト 1次 独 立 な ので クい O AB, ACは , 天 責 =s扇 +`配 、 _弓 の 躍り ,す 11央 t とお ける 1扇 12=36,1蔑 12=Ю , 扇・走 =1扇 ‖ 蔑 cos 60° =2で ある CH tt ABよ り,CH・ AB=0 (AH― AH・ AB=AC・ AB AB=0 AC)・ =走・扇 s扇 12+′ 蔑 .扇 =蔑・扇 (S扇 +ι 氏 )・ 扇 1下 で BH⊥ ACよ り, BH・ AC=0 魏 魚、 (AH一 AB)・ AC=0 ハКイ す。 AH・ AC=AB・ AC '1ま ・ (S扇 +′ 走 )・ 蔑 =扇 走 θ 7み 7ι ^ sAL・ Aё 十 `IKこ 36s+12`= 12 12s+16`= 12 3s十 ′=1… ① 3s+4′ １ 一 ９ ①,② より,s= こ毛 Z Ar 13∼ す。 `ドき 19、 =3 て た がっ ″ ,K責 =,AB+:民 =争 し 12=AL.Kё …② 1,ょ めか、 `フ 垂心 と外心 のベ ク トル表示 赤阪正 純 (httL“ nupri Web fc2 com) 2 外心の ベ ク トル表示 三角形 の外接円の中心 を外心 と言 い,各 辺の垂直 2等 分線 の交点 として与えられ ます 2 AB=8, BC=7, CA=5で AOを AB,ACを 用 いて表せ 例題 考え方 先 ほどと同様 に AO=sAB+′ あ る三角形 ABCの 外心 を Oと す る ACと おいて,外 心の条件 か ら sと す 「垂直」が絡んで くるので内積 を利用す ることがポイン トですが,今 回の場合 の関係式 を 2個 つ くりま どうやって内積 AB・ AC ` , の値 を計算するので しようか ? ・Aこ 2天五 +Kb12ょ り =写 AB, ACは 1次 独立なので , AO=sAB+′ AC 3● q薇 かぅ内繹濃値 E , ,■ t"ぼえ てあさ 魯 〕力 ぅ。 =20 ちん さソ レ bら ',7_わ `〕 1::;::;:::〔 味 とお ける 辺 ABの 中点 を L,辺 ACの 中点 を Mと す る と , LO⊥ ABよ り,LO・ AB=0 (AO― AL)・ AB=0 7市 て 卜 1,uず 揉 AB=AL・ AB AO・ 十′ KO)・ 扇 =:扇・ 尾 s壺 12+′ 走 .扇 =:扇 64s+20′ =32 (※ 16s+5′ =8 …① (s扇 2 C AC=0 MO tt ACよ り,MO・ (AO― AM)。 AC=0 AC=AM・ AC (S罵 +`蔑 )。 蔑 =:蔑・蔑 2 s扇・記 +′ 1走 12=:民 AO・ いー 20s+25′ ) `Zリ 8s+10オ 光、 こ21ゞ て そ3■ 菫す Aに θ リー つ｀ =互 =5 …② た が つ て し ,罰 = 場扇+岳 蔑 ①,② より ,s=:れ `=分 最初 の 内積 の 計算 が思 い つ か な い 場 合 は ,余 弦定 理 か ら cos Aの 値 を求 めて 内積 の 定 義 式 の注 A百・AC=IAB‖ AClcosAか ら求めても良 いですが,結 局や ってることは同 じである ことに気 づ くはず 一 ｂ 囲 7・ 内積 α・ 了=17‖ 了cos θ=171× 1了 cos θ タバ■いレ の大 きさ)× (み を α に写 した影 の 長 さ) 一α =(α 0注 bは 次 の ように解釈で きます 影 のベ ク トル を 「正射影 ベ ク トル」 と言います AO=(ABの ヽ 、 う兄らじ お3・ ね 1ら θ ミヽ ∼に (AOを ABに 写 した影 の 長 さ)と 解釈 で きるのです (AOを ABに 写 した影 の 長 さ)と はす な わ ち ALの 長 さ の こ とな の で ,AB・ AO=8× 4 よ って ー て きます これ は早 い ! 正 身彬 ベ ク トル の考 え方 を使 扇 。 (s尾 十 す走 )=32よ リ 気 に式 (※ )が 出 つ ま り,AB・ 長 さ)× , い こなせ る ととて も便利 で す ね AC・ AOも 各 自で 確認 して お こ う. こぅ怯 _、 、
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