報告資料

第２章離散モデルのデリバティブ価格づけ理論
2.3節２項１期間モデル
環境情報学部３年
渡邊洋一
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市場にこれら２つの株と安全債券があるとする
(1+u)S
株
S
t=0
安全債券
(1+d)S
t=1(=T=満期)
１
1+r
ただし, 0<1+d<1<1+r<1+u
2
行使価格Kのコールオプションの現在価格Cを無裁定の考え方から求める
max((1+u)S-K,0)
C
max((1+d)S-K,0)
行使価格Kのコールオプションの価格推移
株Δ単位、安全債券B単位のポートフォリオで複製する
(1+u)SΔ+(1+r)B=max((1+u)S-K,0)
(1+d)SΔ+(1+r)B=max((1+d)S-K,0)
これを解くと
3
したがって
C=ΔS+B 1
ポートフォリオ
コールオプションの現在価格
変形すると
リスク中立上昇確率
リスク中立下降確率
コールオプションの現在価格は
コールオプションのペイオフ(max(XS-K,0))の
Xは確率変数
リスク中立測度Qでの期待値をとり
それを現在価格に1/1+rで割り引いたもの
Qはリスク中立確率測度
4
株価が上昇した場合の株の現在価値
株価が下降した場合の株の現在価値
Ω={H(上昇)、T(下降)}とすると株を証券αとして
α(H)=
α(T)=
無裁定の仮定からΩ={H,T}上にリスク中立測度が存在し
と表される
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したがってそれぞれのリスク中立確率測度は
このときのコールオプションの収益の現在価値は
6
証券βが存在しても無裁定なので
つまり
このモデルにおいて一般的なデリバティブは
Hが起きればC1,Tが起こればC2支払うので
デリバティブYの現在価格
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例題2.3.2のまとめ
128
(27/32,-12)
②
64
81
②
(φ2,ψ2)
36
①
①
32
32
16
0
(φ1,ψ1)
③
16
0
③
8
株の価格推移
①
(3/4,-8)
0
(φ2,ψ2)
(0,0)
コールオプションの価格推移
複製ポートフォリオの推移図
16=3/4 32+(-8) 1
②
36=27/32 64+(-12) 3/2
③
0=0 16+0 3/2
コールオプションの複製が出来る
デリバティブの複製は各時点でポートフォリオを次々に組
み換えて満期(T)にデリバティブのペイオフにその複製
ポートフォリオの価値を一致させれば良い
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無裁定の仮定をどのように使用したか
無裁定関係によって②(D=36) となった。
しかしD>36だとしたらDの状態になったときコールオプションを売り、複製ポート
フォリオを買うことで裁定が起きる。③(E=0)のときはDと36の乖離を使用できないの
で裁定は起こらない(何もしない)
つまり
確率１で非負の収益が発生し裁定機会が出来る
D=36でなければいけない
＊以下同様に満期Tからさかのぼって各場合の価
格、複製ポートフォリオが決定されていく
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