コンピュータグラフィクス論 – モデリング (3) – 2015年4月30日 高山 健志 陰関数表現による形状モデリング • 3D空間上のスカラー場 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 に対し、 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 で定義されるサーフェス • 別名：ゼロ等値面、陰関数 (ボリューム) 表現 • サーフェス表現 • 𝐹 𝒑 が正 (負) のとき、𝒑 は物体の外部 (内部) • 勾配 𝛻𝐹 は法線方向に一致 半径 2 の球 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4 = 0 • 𝛻𝐹(𝒑) = 1 ∀𝒑 のとき、F は物体表面からの距離 2 陰関数の例 大半径 R, 小半径 a のトーラス 3 陰関数の例：等電位面 (Metaball) 𝑞𝑖 𝐹𝑖 𝒑 = 𝒑 − 𝒑𝑖 𝐹 𝒑 = 𝐹1 𝒑 + 𝐹2 𝒑 + 𝐹3 𝒑 + 𝐹4 𝒑 𝐹 𝒑 = 𝐹1 𝒑 + 𝐹2 (𝒑) 𝐹 𝒑 = 𝐹1 𝒑 − 𝐹2 (𝒑) 4 陰関数の線形補間によるモーフィング 𝐹 𝒑 = 𝐹1 (𝒑) 1 2 𝐹 𝒑 = 𝐹1 𝒑 + 𝐹2 𝒑 3 3 2 1 𝐹 𝒑 = 𝐹1 𝒑 + 𝐹2 𝒑 3 3 𝐹 𝒑 = 𝐹2 (𝒑) 5 複数の陰関数を組み合わせたモデリング 6 Constructive Solid Geometry (Boolean演算) 和：𝐹𝐴∪𝐵 𝒑 = max 𝐹𝐴 𝒑 , 𝐹𝐵 𝒑 積：𝐹𝐴∩𝐵 𝒑 = min 𝐹𝐴 𝒑 , 𝐹𝐵 𝒑 差：𝐹𝐴−𝐵 𝒑 = min 𝐹𝐴 𝒑 , −𝐹𝐵 𝒑 7 陰関数の表示方法：Marching Cubes • 等値面を三角形メッシュとして抽出 • 立方体格子の各セルに対し、 (1) 立方体の 8 頂点で関数値を計算 (2) その正負のパターンから、 生成する面のタイプを決定 • 対称性から 15 通りに分類 (3) 関数値の線形補間から 面の位置を決定 • 最も有名 (特許問題でも ) Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm [Lorensen SIGGRAPH87] 8 Marching Cubes の曖昧性 隣接するセルの間で面が整合しない 不整合を解決する新たなルール The asymptotic decider: resolving the ambiguity in marching cubes [Nielson VIS91] 9 Marching Tetrahedra • 立方体の代わりに四面体を使う • パターンが少なく、曖昧性が無い 実装が簡単 • 各立方体セルを、6 個の四面体に分割 • (隣接セル間で分割の向きを合わせることに注意) • きれいな三角形メッシュを取り出す工夫 http://paulbourke.net/geometry/polygonise/ Regularised marching tetrahedra: improved iso-surface extraction [Treece C&G99] 10 シャープなエッジを保持した等値面抽出 格子サイズ：65×65×65 Marching Cubes 改善版 Feature Sensitive Surface Extraction from Volume Data [Kobbelt SIGGRAPH01] http://www.graphics.rwth-aachen.de/IsoEx/ 改善版 (勾配方向も考慮) Marching Cubes (値のみ考慮) 11 陰関数の表示方法：レイトレーシング Modelling with implicit surfaces that interpolate [Turk TOG02] GPU-based Fast Ray Casting for a Large Number of Metaballs [Kanamori EG08] 12 応用例：スケッチベース 3D モデリング https://www.youtube.com/watch?v=GyJUG2VSvqw A sketching interface for modeling the internal structures of 3d shapes [Owada SmartGraphics03] ShapeShop: Sketch-Based Solid Modeling with BlobTrees [Schmidt SBIM05] 13 応用例：メッシュの穴埋め Filling holes in complex surfaces using volumetric diffusion [Davis 3DPVT02] 14 点群からのサーフェス再構成 15 3D 形状の計測 Range Scanner (LIDAR) • 得られるデータ：点群 • 3D座標 • 法線 (面の向き) Depth Camera Structured Light Multi-View Stereo • 得られない場合もある • ノイズが多すぎる場合もある 16 点群からのサーフェス形状再構成 • 入力：N 個の点群データ y • 座標 𝐱𝑖 = 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 と法線 𝐧𝑖 = 𝑛𝑖x , 𝑛𝑖 , 𝑛𝑖z , 𝑖 ∈ 1, … , 𝑁 • 出力：関数 𝑓(𝐱) で、値と勾配の制約を満たすもの • 𝑓 𝐱𝑖 = 0𝑓𝑖 • 𝛁𝑓 𝐱𝑖 = 𝐧𝑖 • 等値面 𝑓 𝐱 = 0 が出力サーフェス形状 • “Scattered Data Interpolation” と呼ばれる問題 • Moving Least Squares • Radial Basis Function CG以外の分野 (e.g. 機械学習) でも重要 17 勾配を制約する二通りの方法 • 法線方向にオフセットした位置に値の制約を追加 • 簡単 • 数学表現そのものに勾配制約を取り入れる (エルミート補間) • 高品質 値と勾配の制約 エルミート補間 Modelling with implicit surfaces that interpolate [Turk TOG02] Hermite Radial Basis Functions Implicits [Macedo CGF10] オフセット法 18 Moving Least Squares による補間 (移動最小二乗) 19 出発点：Least SQuares (最小二乗) • 求めたい関数が線形だと仮定する：𝑓 𝐱 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 • 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が未知係数 𝐱 ≔ (𝑥, 𝑦, 𝑧) • データ点における値の制約 ・・・ 𝐴 𝑓 𝐱𝑁 = 𝑎𝑥𝑁 + 𝑏𝑦𝑁 + 𝑐𝑧𝑁 + 𝑑 = 𝑓𝑁 𝑥𝑁 𝑦𝑁 𝑧𝑁 1 𝑎 𝑏 𝐜𝑐 𝑑 𝑓1 𝑓2 = 𝐟 ・・・ 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 ・・・ 𝑓 𝐱1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑 = 𝑓1 𝑓 𝐱2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑 = 𝑓2 𝑓𝑁 • (勾配制約は今は考えない) 20 Overconstrained System • #未知数 < #制約 (i.e. 縦長の行列) 全ての制約を同時に満たせない 𝐴 𝐴⊺ 𝐜 = 𝐟 𝐴 𝐜 = 𝐴⊺ 𝐟 𝐴⊺ 𝐴 𝐴⊺ 𝐟 • fitting の誤差を最小化： 𝑨𝐜−𝐟 2 = 𝑁 𝑖=1 𝑓 𝐱𝑖 − 𝑓𝑖 2 𝐜 = −1 21 LSQ の幾何的な解釈 𝑝x 𝑞x 𝑝y 𝑞y 𝑝z 𝑞z 𝑟x 𝛼 = 𝑟y 𝛽 𝑟z 𝐪 𝐫 𝑑 𝛽 𝐩 𝛼 • 𝐩 と 𝐪 が張る空間中で 𝐫 に最も近い点を求める (投影する) ことに相当 • fitting 誤差は投影距離に相当： 𝑑2 = 𝛼𝐩 + 𝛽𝐪 − 𝐫 2 22 Weighted Least Squares (重み付き最小二乗) • 各データ点ごとの誤差に、重み 𝑤𝑖 をつける • 重要度、確信度 • 以下の誤差を最小化： 𝑁 𝑖=1 𝑤1 𝑤𝑖 𝑓 𝐱𝑖 − 𝑓𝑖 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 𝑤2 𝑤𝑁 𝑥𝑁 𝑦𝑁 𝑧𝑁 1 𝑤1 = 𝑓1 𝑓2 𝑤2 𝑊 𝐟 ・・・ 𝐴 ・・・ 𝑊 𝑎 𝑏 𝐜𝑐 𝑑 2 𝑤𝑁 𝑓𝑁 23 Weighted Least Squares (重み付き最小二乗) 𝑊 𝐴 𝐜 = 𝐜 = 𝑊 𝐴⊺ 𝑊 2 𝐴 −1 𝐟 𝐴⊺ 𝑊 2 𝐟 24 Moving Least Squares (移動最小二乗) • 重み 𝑤𝑖 が、評価位置 𝐱 に依存： 𝑤𝑖 𝐱 = 𝑤( 𝐱 − 𝐱 𝑖 ) • よく使われる関数 (Kernel)： • 𝑤 𝑟 = 2 /𝜎 2 −𝑟 𝑒 • 𝑤 𝑟 = 1 𝑟 2 +𝜖2 評価位置に近いほど 大きな重み • 重み行列 𝑊 が 𝐱 に依存 係数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が 𝐱 に依存 𝑓 𝐱 = 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑎(𝐱) 𝑏(𝐱) 𝐴⊺ 𝑊 𝐱 𝑐(𝐱) 𝑑(𝐱) 2 𝐴 −1 𝐴⊺ 𝑊 𝐱 2 𝐟 25 法線制約の導入 • 各データ点が表す 1 次式を考える： 𝑔𝑖 𝐱 = 𝑓𝑖 + 𝐱 − 𝐱 𝑖 ⊺ 𝐧𝑖 • 各 𝑔𝑖 を現在位置で評価したときの誤差を最小化： 𝑁 𝑖=1 𝑤𝑖 𝐱 𝑓 𝐱 − 𝑔𝑖 𝐱 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑤1 (𝐱) 𝑤2 (𝐱) 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑔1 𝐱 𝑔2 𝐱 𝑤1 (𝐱) 𝑤2 (𝐱) = ・・・ ・・・ 𝑤𝑁 (𝐱) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 2 𝑤𝑁 (𝐱) Interpolating and Approximating Implicit Surfaces from Polygon Soup [Shen SIGGRAPH04] 𝑔𝑁 𝐱 26 法線制約の導入 法線制約を利用 Input : Polygon Soup Interpolation 法線方向にオフセットして値を制約 Approximation 1 Approximation 2 Interpolating and Approximating Implicit Surfaces from Polygon Soup [Shen SIGGRAPH04] Approximation 3 27 Radial Basis Function による補間 (放射基底関数) 28 基本的な考え方 • 関数 𝑓(𝐱) を、基底関数 𝜙(𝐱) の重み付き和として定義： 𝑓 𝐱 = 𝑁 𝑖=1 𝑤𝑖 𝜙(𝐱 − 𝐱𝑖 ) 基底関数をデータ位置 𝐱 𝑖 に平行移動 • 放射基底関数 𝜙(𝐱)：𝐱 の長さのみに依存 • 𝜙 𝐱 = • 𝜙 𝐱 = 2 /𝜎 2 − 𝐱 𝑒 1 𝐱 2 +𝑐 2 (Gaussian) (Inverse Multiquadric) • 各データ点における制約 𝑓 𝐱𝑖 = 𝑓𝑖 から、重み係数 𝑤𝑖 を求める 29 基本的な考え方 𝜙𝑖,𝑗 = 𝜙 𝐱 𝑖 − 𝐱𝑗 と表記する 𝑓 𝐱1 = 𝑤1 𝜙1,1 + 𝑤2 𝜙1,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙1,𝑁 = 𝑓1 𝑓 𝐱2 = 𝑤1 𝜙2,1 + 𝑤2 𝜙2,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙2,𝑁 = 𝑓2 𝜙1,1 𝜙1,2 𝜙2,1 𝜙2,2 𝑤1 𝑤2 𝜙𝑁,𝑁 𝑓1 𝑓2 = 𝑤𝑁 𝐟 ・・・ ・・・ ・・・ 𝐰 Φ 𝜙𝑁,1 𝜙𝑁,2 𝑓 𝐱𝑁 = 𝑤1 𝜙𝑁,1 + 𝑤2 𝜙𝑁,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙𝑁,𝑁 = 𝑓𝑁 𝜙1,𝑁 𝜙2,𝑁 𝑓𝑁 これを解けば良い 30 Gaussian 基底関数を使う場合 𝜙 𝐱 =𝑒 − 𝐱 2 /𝜎 2 • パラメタ 𝜎 の選び方によって、結果が大きく変わる！ 𝜎 小 大 • なるべく滑らかな結果を得るには？ Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo SIGGRAPH14 Course] 31 関数の “曲がり具合” の尺度 (Thin-Plate Energy) • 2 階微分 (＝曲率) の大きさを空間全体で積分したもの： 𝐸2 𝑓 = 𝐱∈ℝ𝑑 Δ𝑓(𝐱) 2 𝑑𝐱 • 1 次元空間の場合： 𝐸2 𝑓 = 𝑓 ′′ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥∈ℝ • 2 次元空間の場合： 𝐸2 𝑓 = 𝐱∈ℝ2 𝑓xx 𝐱 2 + 2𝑓xy 𝐱 2 + 𝑓yy 𝐱 2 𝑑𝐱 • 3 次元空間の場合： 𝐸2 𝑓 = 𝐱∈ℝ3 𝑓xx 𝐱 2 + 𝑓yy 𝐱 2 + 𝑓zz 𝐱 2 + 2𝑓xy 𝐱 2 + 2𝑓yz 𝐱 2 + 2𝑓zx 𝐱 2 𝑑𝐱 32 数学分野の知見 • 制約 𝑓 𝐱𝑖 = 𝑓𝑖 を満たす関数全体のうち、𝐸2 を最小化する関数は 以下の基底を使った RBF として表せる： • 1 次元空間の場合：𝜙 𝑥 = 𝑥 • 2 次元空間の場合：𝜙 𝐱 = 𝐱 3 2 log 𝐱 • 3 次元空間の場合：𝜙 𝐱 = 𝐱 • 参考 • 有限要素法の場合：離散化した領域上で 𝐸2 を最小化する 𝑓 を近似的に求める • RBF の場合：グリーン関数を使って 𝐸2 を最小化する 𝑓 を解析的に求める Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo SIGGRAPH14 Course] 33 線形項の追加 • 𝐸2 [𝑓] は 2 階微分を使って定義される 任意の線形項 𝑝 𝐱 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 を加えても不変： 𝐸2 𝑓 + 𝑝 = 𝐸2 [𝑓] • 線形項を未知数に含めることで、関数を一意に定める： 𝑓 𝐱 = 𝑁 𝑖=1 𝑤𝑖 𝜙 𝐱 − 𝐱𝑖 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 34 線形項の追加 𝑓 𝐱1 = 𝑤1 𝜙1,1 + 𝑤2 𝜙1,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙1,𝑁 + 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑 = 𝑓1 𝑓 𝐱 2 = 𝑤1 𝜙2,1 + 𝑤2 𝜙2,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙2,𝑁 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑 = 𝑓2 ・・・ 𝑓 𝐱 𝑁 = 𝑤1 𝜙𝑁,1 + 𝑤2 𝜙𝑁,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙𝑁,𝑁 + 𝑎𝑥𝑁 + 𝑏𝑦𝑁 + 𝑐𝑧𝑁 + 𝑑 = 𝑓𝑁 𝜙𝑁,𝑁 𝑥𝑁 𝑦𝑁 𝑧𝑁 1 𝑓1 𝑓2 𝐰 𝑤𝑁 𝑎 𝑏 𝐜𝑐 𝑑 = ・・・ 𝜙𝑁,1 𝜙𝑁,2 P ・・・ Φ 𝜙1,𝑁 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝜙2,𝑁 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 ・・・ 𝜙1,1 𝜙1,2 𝜙2,1 𝜙2,2 𝑤1 𝑤2 𝐟 𝑓𝑁 4 個の未知数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が追加されたので、 4 個の制約を追加する 必要がある 35 追加の制約条件：線形関数の再現性 • 「全てのデータ点の制約 𝐱𝑖 , 𝑓𝑖 がある線形関数からのサンプリング であるとき、RBF による補間結果はその線形関数と一致する」 • これを満たすための条件： 𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑤𝑖 • 𝑁 𝑖=1 𝑦𝑖 𝑤𝑖 =0 • 𝑁 𝑖=1 𝑧𝑖 𝑤𝑖 =0 =0 Φ P 𝜙𝑁,1 𝜙𝑁,2 𝜙𝑁,𝑁 𝑥𝑁 𝑦𝑁 𝑧𝑁 1 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑁 0 0 0 0 𝑦1 𝑦2 ・・・ 𝑦𝑁 0 0 0 0 ⊺ P 𝑧1 𝑧2 𝑦𝑁 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo SIGGRAPH14 Course] 𝑓1 𝑓2 𝐰 𝐟 𝑤𝑁 𝑎 𝑏 𝐜𝑐 𝑑 = ・・・ • =0 𝑤1 𝑤2 ・・・ 𝑁 𝑖=1 𝑤𝑖 𝜙1,𝑁 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝜙2,𝑁 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 ・・・ • 𝜙1,1 𝜙1,2 𝜙2,1 𝜙2,2 𝑓𝑁 0 0 0 0 36 勾配制約の導入 • 基底関数の勾配 𝛁𝜙 の重み付き和を導入： 𝑓 𝐱 = 𝑁 𝑖=1 • 𝑓 の勾配： 𝛁𝑓 𝐱 = 𝑤𝑖 𝜙 𝐱 − 𝐱 𝑖 + 𝐯𝑖⊺ 𝛁𝜙 𝐱 − 𝐱 𝑖 𝑁 𝑖=1 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑎 𝑤𝑖 𝛁𝜙 𝐱 − 𝐱𝑖 + H𝜙 𝐱 − 𝐱𝑖 𝐯𝑖 + 𝑏 𝑐 • 勾配の制約 𝛁𝑓 𝐱𝑖 = 𝐧𝑖 を追加 Hermite Radial Basis Functions Implicits [Macedo CGF10] 𝜙xx H𝜙 = 𝜙yx 𝜙zx 𝜙xy 𝜙yy 𝜙zy Hessian 行列 𝜙xz 𝜙yz 𝜙zz 37 𝑤1 勾配制約の導入 𝐯1 • 1 番目のデータ点について： 𝑤2 値の制約： 𝑓 𝐱1 = 𝑤1 𝜙1,1 + 𝐯1⊺ 𝛁𝜙1,1 + 𝑤2 𝜙1,2 + 𝐯2⊺ 𝛁𝜙1,2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝜙1,𝑁 + 𝐯𝑁⊺ 𝛁𝜙1,𝑁 + 𝐯𝑎𝑥 2 1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑 = 𝑓1 ・・・ 勾配の制約： 1,2 𝛁𝜙1,𝑁 1,1 𝛁𝜙1,2 𝛁𝜙1,1 𝑎 𝛁𝑓 𝐱1 = 𝑤1 𝛁𝜙1,1 + H𝜙1,1 𝐯1 + 𝑤2 𝛁𝜙1,2 + H𝜙1,2 𝐯2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝛁𝜙1,𝑁 + H𝜙1,𝑁 𝐯𝑁 + 𝑏 = 𝐧1 𝑐 𝑤𝑁 ⊺ ⊺ ⊺ 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝜙1,1 𝛁𝜙1,1 𝜙1,2 𝛁𝜙1,2 𝜙1,𝑁 𝛁𝜙1,𝑁 𝑓1 1 0 0 0 𝐯𝑁 ・・・ = ΦH𝜙 ΦH𝜙 ΦH𝜙 P 1,1 1,2 1,𝑁 1 0 1 0 0 𝐧 Hermite Radial Basis Functions Implicits [Macedo CGF10] 1,𝑁 1 0 0 1 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 38 Φ1,1 Φ1,2 Φ1,𝑁 P1 ・・・ Φ2,1 Φ2,2 Φ2,𝑁 Φ𝑁,𝑁 ・・・ 𝑃1⊺ 𝑃2⊺ 𝑃𝑁⊺ 𝐯1 𝐧1 𝑤2 𝑓2 𝐯2 𝐧2 P𝑁 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ・・・ Φ𝑁,2 𝑓1 ・・・ ・・・ ・・・ Φ𝑁,1 P2 𝑤1 𝑤𝑁 𝑓𝑁 𝐯𝑁 𝐧𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 0 0 39 比較 勾配を制約 オフセットして値を制約 40 参考サーベイ等 • State of the Art in Surface Reconstruction from Point Clouds [Berger EG14 STAR] • A survey of methods for moving least squares surfaces [Cheng PBG08] • Scattered Data Interpolation for Computer Graphics [Anjyo SIGGRAPH14 Course] • An as-short-as-possible introduction to the least squares, weighted least squares and moving least squares for scattered data approximation and interpolation [Nealen TechRep04] 41 参考ページ • http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_surface • http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function • http://en.wikipedia.org/wiki/Thin_plate_spline • http://en.wikipedia.org/wiki/Polyharmonic_spline 42
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