物理補足プリント 【受験編】 らくマスを使っての基礎固め（誘導起電力編２） 今回は、らくらくマスター例題１１３を使って回路のエネルギー保存（ジュール熱の算出）の 考え方をしっかりと理解しよう。 以下の問題はらくマス１１３の問題の小問を増やして期末考査に出題したものです。 ｈを用いて表せ。 今回は、この問題がメインです。ちょっと数学を使いますが、理解して下さい。 導線ｃｄの速度がｖ0 になる前の状態、速度がｖで加速度がａの運動を考えます。 IB この問題は、導体棒の運動（力学）によるエネルギーの変 化が抵抗で発生するジュール熱（電気）になる現象なので、 運動方程式（力学）と回路方程式（電気）を同時に考え、そ れらを合わせる必要がある。 ○運動方程式（上図） ｍ ａ ｄ Ｉ 磁束密度Ｂの一様な水平磁界中に、距離 を隔てて ２本の導線が鉛直に固定され、導線ａｂ、ｃｄで連結 されている。電気抵抗Ｒをもつａｂは固定されており、 ｃｄは鉛直の導線と接触しながら滑らかに動ける。ま た、導線でつくられる面は磁界に垂直になっている。 ｃｄの質量をｍ、重力加速度の大きさをｇとし、ａｂ 以外の導線の電気抵抗はない。いま、ｃｄをｈの高さ から静かに放したところ、次第に速度を増し、やがて 速度ｖ0 になり、そのままａｂに衝突した。 ｃ Ｂ ｈ mg R Ｉ ａ (1) 導線ｃｄの速度がｖ0 になったとき、ｃｄに生じる誘導起電力の大きさと向きを答えよ。誘 導起電力の向きは、ｃｄに誘導電流が流れる向き「ｃ→ｄ」 「ｄ→ｃ」で答えよ。 誘導起電力：Ｖ ｖ (1)より導線（回路）に流れる電流の大きさは したがって、電磁力は (3) F B IB 2 R v0 I B v0 R R (4) R v0 mg 0 ① B v RI 0 両辺にＩをかける → IB v I 2 R 0 ② d 1 ①②式より IB v を消去すると ( mv 2 ) mgv I 2 R dt 2 ○十分時間が経過したものと考えると（時間をかける） 「物体の運動エネルギーの変化」 ＝「重力がした仕事」−「抵抗でのジュール熱」 チョットやりすぎたかもしれませんが、みんなが慣れている力学的エネルギーを用いると ０＝「物体の運動エネルギーの変化」−「重力がした仕事」＋「抵抗でのジュール熱」 となる。 向きはフレミングの左手の法則より「上向き」 「外力がした仕事」＋「外部の電池がした仕事」 ＝「物体の力学的エネルギーの変化」＋「抵抗でのジュール熱」 問題を解いてみよう。外力もはたらいていないし、外部電池もないので左辺は０ よって ０＝ B dv mgv IB v dt d 1 ( mv 2 ) mgv IB v dt 2 一般化して使えるようにしよう 導線ｃｄにはたらく力は重力と電磁力の２力なので つりあいの式 mg IB mv → ０＝「物体の力学的エネルギーの変化」＋「抵抗でのジュール熱」 導線ｃｄのつりあいより、速度ｖ0 の大きさをｍ、ｇ、Ｒ、Ｂ、 を用いて表せ。 2 dv dt この式を言葉にすると 「物体の運動エネルギーの変化率」 ＝「重力の仕事率」−「消費電力」 B v0 導線ｃｄが速度ｖ0 で落下しているとき導線が磁界から受ける力の大きさを求めよ。 m ○回路方程式（下図） → V RI 0 向きはフレミングの右手の法則より「ｄ→ｃ」となる。 (2) → 数学的に 両辺にｖをかける → ｍ 前回のプリントの方法で誘導起電力の大きさは V mg IB → ｂ R ma ∴ v0 mgR B 2 導線ｃｄがａｂに衝突するまでの間に回路中の抵抗で発生したジュール熱をｍ、ｇ、ｖ0、 1 2 mv 0 2 mgh Q よって Q mgh 1 2 mv 0 2 となる。 ◎東筑ＨＰに音声ファイルあり
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