前回，行列式を定義し，その基本的な性質を見た．そのうち多重線型性と

前回，行列式を定義し，その基本的な性質を見た．そのうち多重線型性と交代性と呼んだのは次
とすると，aj =
のものであった．
(D1)
n
∑
aij ,j eij であるので，(D1), (D2) を使って各列を分解すると，
ij =1
det(a1 , . . . , aj + a′j , . . . an )
= det(a1 , . . . , aj , . . . , an ) +
(D2)
det(a1 , . . . , kaj , . . . , an ) = k det(a1 , . . . , aj , . . . , an )
(D3)
↓
↓
det(a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an )
(D4)
det En = det(e1 , . . . , en ) = 1
j
i
···
i1 =1
n
∑
ai1 ,1 ai2 ,2 · · · ain ,n F (ei1 , ei2 , . . . , ein )
in =1
となる．ここで i1 , . . . (
, in の中に同じものがあれば，
(D6) により，その項は 0 である．i1 , . . . , in
)
1 2 ... n
が全て異なれば，σ =
は 1 から n の置換である．前回の結果より，σ は有限
i1 i2 . . . in
個の互換の積で表され，その個数の偶奇は，互換の積としての表示によらない．σ が k 個の互換
j
i
=
n
∑
F (a1 , . . . , an ) =
det(a1 , . . . , a′j , . . . , an )
↓
↓
− det(a1 , . . . , aj , . . . , ai , . . . , an )
の積で表されるということは，i1 , i2 , . . . , in を k 回の (2 個ずつの) 交換で 1, 2, . . . , n に並べ直せる
(D1) – (D4) からすぐにわかる性質として，次のものがある．
ということである．このとき，
命題 3.4.3 行列式 det(a1 , . . . , an ) は次を満たす．
F (ei1 , ei2 , . . . , ein ) = (−1)k F (e1 , . . . , en ) = sgnσF (e1 , . . . , en )
(D3)
(D5) ある列の成分が全て 0 ならば，行列式は 0 である：
det(a1 , . . . , 0, . . . , an ) = 0
となる．
(D6) ある列が他の列のスカラー倍なら，行列式は 0 である：
i
以上により，(D1) – (D3) を満たす関数 F があるなら，それは
j
↓
↓
det(a1 , . . . , kaj , . . . , aj , . . . , an )
=0
F (a1 , . . . , an ) =
(D7) ある列をスカラー倍して他の列に加えても，行列式は不変である：
i
↓
det(a1 , . . . , ai +
j
↓
kaj , . . . , aj , . . . , an )
sgnσ aσ(1),1 · · · aσ(n),n F (e1 , . . . , en ) = det(a1 , . . . , an ) F (e1 , . . . , en )
σ∈Sn
(3.3)
j
i
=
∑
↓
↓
det(a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an )
と表されることがわかった．さらに F が (D4) も満たすなら，F (e1 , . . . , en ) = 1 なので，これは
行列式 det(a1 , . . . , an ) に他ならない．
転置は行列の行と列の役割交換である．よって定理 3.4.1 より次がわかる．
以上を定理として纏めておく．
命題 3.4.4 行列式の性質 (D1) – (D7) は行ベクトルについても成り立つ．
定理 3.4.5 K n の n 個のベクトル a1 , . . . , an に複素数 F (a1 , . . . , an ) を対応させる関数 F が
行列式の定義式 (3.1) から出発して，性質 (D1) – (D4) を導いた．実は逆に，符号付き体積の性
(D1) – (D3) の性質を持つなら，F は行列式 det の定数倍であり，
質 (D1) – (D4) を満たすような関数は，(3.1) 式で定義した行列式しかない．これを確かめよう．
n 個の n 次元ベクトル
 
a11
 
 a21 

a1 = 
 ..  ,
 . 


a12
 
 a22 

a2 = 
 ..  ,
 . 
an1

··· ,
an2
F (a1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , an ) F (e1 , . . . , en )

a1n


 a2n 

an =  . 

 .. 
と表される．
さらにこの関数 F が (D4) も満たすなら，これは行列式 det(a1 , . . . , an ) に一致する．
(3.2)
次に積の行列式を考えよう．
ann
に数 F (a1 , . . . , an ) を対応させるような関数 F であって，(D1) – (D3) を満たすものがあったと
定理 3.4.6 (積の行列式) サイズの等しい正方行列 A, B に対して det(AB) = (det A) (det B) が
しよう．ここで (D5) – (D7) を導いた際に (D4) は使わず，(D1) – (D3) のみを用いたので，この
成り立つ．
関数 F は (D5) – (D7) も満たす．
ここでいつも通り
 
1
 
0

e1 = 
 ..  ,
.
0
この結果，逆行列に関する行列式の性質が得られる．
 
0
 
1

e2 = 
 ..  ,
.
0
··· ,
 
0
 
0

en = 
 .. 
.
系 3.4.7 (逆行列の行列式) A が正則なら det A ̸= 0 であり，det(A−1 ) = (det A)−1 (逆数) が成
り立つ．
実は，逆に det A ̸= 0 なら A は正則である (次回)．
1
行列の形が特殊な場合には，行列式の計算を小さな行列式の計算に帰着できることもある．
23
命題 3.4.8 A, B をそれぞれ p, q 次の正方行列とし，X, Y をそれぞれ p × q, q × p 行列とした
とき，
(
A
det
O
X
B
)
(
A
det
Y
= (det A)(det B),
O
B
)
= (det A)(det B)
が成り立つ．
この公式は，特別な形の行列式の計算を，小さな行列式の計算に帰着できることを主張しているが，
特に重要なのは，q = 1 のときである．このとき
a11
0
.
.
.
0
a12
...
a22
..
.
an2
...
..
.
...
a1n a11
a2n a21
.. = ..
. .
a a
nn
n1
0
...
a22
..
.
an2
...
..
.
...
0 a
22
a2n .
.. = a11 ..
. an2
a
...
..
.
...
a2n .. . ann nn
が成り立つ．これを用いて次回行列式の余因子展開を導く．
24

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