¼ 2 sinx dx (3) (1)

年番号
1
xy 平面上に点 A(0;
p
p
2)，点 B(0; ¡ 2) がある．点 P は
2
氏名
次の問いに答えよ．
(1) 次の定積分を求めよ．
PB = PA + 2
を満たすように xy 平面上を動き，軌跡 C をえがく．以下の問いに答えよ．
(1) 軌跡 C の方程式を求め，点 P の y 座標のとりうる範囲を示せ．
Z
3¼
4
¼
4
1
dx
sin x
(2) 次の定積分を求めよ．
dy
(2) 軌跡 C の方程式について，導関数
を求めよ．
dx
Z
a を実数とする．曲線 x2 + (y ¡ a)2 = 9 と軌跡 C との共有点について，以下の問いに答えよ．
(3) a = 4 のとき，共有点の個数を求めよ．
3¼
4
¼
4
¼
2
dx
sin x
x¡
(3) (1); (2) の結果を用いて次の定積分を求めよ．
(4) a の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．
Z
（山形大学 2016 ）
3¼
4
¼
4
x
dx
sin x
(4) 次の定積分を求めよ．
Z
1
1
e
#1 +
1
; log x dx
x
(5) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ．
2
f(x) = sin x + 2
Z
0
¼
2
f(t) cos t dt
（山形大学 2016 ）
3
A，B の 2 チームが試合をくり返し行い，先に 3 勝したチームを優勝とする．1 回の試合で A
チームが勝つ確率は
6
1
2
，B チームが勝つ確率は
で，引き分けはないものとする．このとき，
3
3
A，B の 2 チームが試合をくり返し行い，先に 3 勝したチームを優勝とする．1 回の試合で A
チームが勝つ確率は
次の問に答えよ．
1
2
，B チームが勝つ確率は
で，引き分けはないものとする．このとき，
3
3
次の問に答えよ．
(1) 優勝が決まるまでに B チームが少なくとも 1 勝する確率を求めよ．
(1) 優勝が決まるまでに B チームが少なくとも 1 勝する確率を求めよ．
(2) 3 試合目または 4 試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2) 3 試合目または 4 試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3) 1 試合目で A チームが勝ち，A チームが優勝する確率を求めよ．
(3) 1 試合目で A チームが勝ち，A チームが優勝する確率を求めよ．
（山形大学 2016 ）
4
n を自然数とし，放物線 y = ¡x2 + nx を C とする．このとき，次の問に答えよ．
（山形大学 2016 ）
7
(1) 放物線 C 上の点 (1; n ¡ 1) における接線の傾きを a とする．0 5 a 5 3 を満たす n をすべて
求めよ．
(2) 関数 y =
p
p
4ABC において，AB = 3，BC = 5，AC = 2 とする．辺 BC 上に点 B と異なる点 P があ
p
り，AP = 3 とする．また，辺 AB の中点を Q，線分 AP と線分 CQ との交点を R とする．こ
のとき，次の問に答えよ．
¡x2
+ nx の最大値を M とする．1 5 M 5 5 を満たす n をすべて求めよ．
(3) 放物線 C と直線 y = ¡x で囲まれた図形の面積を S とする．S 5 36 を満たす n をすべて求
めよ．
(4) n = 7 とする．放物線 C の x = 6 の部分と x 軸および直線 x = 6 で囲まれた図形の面積を T
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC と 4ABC の面積 S を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) AP を AB と AC を用いて表せ．
(3) 4AQR の面積 T を求めよ．
（山形大学 2016 ）
とする．T 5 72 を満たす n をすべて求めよ．
（山形大学 2016 ）
8
5
n を自然数とし，t > 0 とする．曲線 y = xn e¡nx と x 軸および 2 直線 x = t，x = 2t で囲まれ
p
p
4ABC において，AB = 3，BC = 5，AC = 2 とする．辺 BC 上に点 B と異なる点 P があ
p
り，AP = 3 とする．また，辺 AB の中点を Q，線分 AP と線分 CQ との交点を R とする．こ
(1) 関数 f(x) = xe¡x の極値を求めよ．
のとき，次の問に答えよ．
(2) S1 (t) を t を用いて表せ．
た図形の面積を Sn (t) とする．このとき，次の問に答えよ．
(3) 関数 S1 (t) (t > 0) の最大値を求めよ．
d
(4)
S (t) を求めよ．
dt n
(5) 関数 Sn (t) (t > 0) が最大値をとるときの t の値 tn と極限値 lim tn を求めよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC と 4ABC の面積 S を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) AP を AB と AC を用いて表せ．
(3) 4AQR の面積 T を求めよ．
n!1
（山形大学 2016 ）
（山形大学 2016 ）
9
A，B の 2 チームが試合をくり返し行い，先に 3 勝したチームを優勝とする．1 回の試合で A
チームが勝つ確率は
1
2
，B チームが勝つ確率は
で，引き分けはないものとする．このとき，
3
3
次の問に答えよ．
12 数列 fan g が
a1 = ¡1;
an+1 = 2an + 3n ¡ 3
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1) 優勝が決まるまでに B チームが少なくとも 1 勝する確率を求めよ．
(2) 3 試合目または 4 試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(1) bn = an + 3n (n = 1; 2; 3; Ý) とする．このとき，bn+1 と bn の関係式を求めよ．
(3) 1 試合目で A チームが勝ち，A チームが優勝する確率を求めよ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
（山形大学 2016 ）
(3) すべての自然数 n に対し，an Ë 0 であることを示せ．
(4) 次の式で定められる数列 fcn g の一般項を求めよ．
10 n を自然数とし，放物線 y =
¡x2
+ nx を C とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 放物線 C 上の点 (1; n ¡ 1) における接線の傾きを a とする．0 5 a 5 3 を満たす n をすべて
c1 = 8;
cn+1 =
cn
ncn + 1
(5) 次の式で定められる数列 fdn g の一般項を求めよ．
求めよ．
(2) 関数 y = ¡x2 + nx の最大値を M とする．1 5 M 5 5 を満たす n をすべて求めよ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
d1 = ¡8;
dn+1 =
an+1 dn
ndn + an
(n = 1; 2; 3; Ý)
(3) 放物線 C と直線 y = ¡x で囲まれた図形の面積を S とする．S 5 36 を満たす n をすべて求
（山形大学 2016 ）
めよ．
(4) n = 7 とする．放物線 C の x = 6 の部分と x 軸および直線 x = 6 で囲まれた図形の面積を T
とする．T 5 72 を満たす n をすべて求めよ．
（山形大学 2016 ）
p
p
13 4ABC において，AB = 3，BC = 5，AC = 2 とする．辺 BC 上に点 B と異なる点 P があ
p
り，AP = 3 とする．また，辺 AB の中点を Q，線分 AP と線分 CQ との交点を R とする．こ
p
p
11 4ABC において，AB = 3，BC = 5，AC = 2 とする．辺 BC 上に点 B と異なる点 P があ
p
り，AP = 3 とする．また，辺 AB の中点を Q，線分 AP と線分 CQ との交点を R とする．こ
のとき，次の問に答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC と 4ABC の面積 S を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) AP を AB と AC を用いて表せ．
のとき，次の問に答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC と 4ABC の面積 S を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) AP を AB と AC を用いて表せ．
(3) 4AQR の面積 T を求めよ．
（山形大学 2016 ）
(3) 4AQR の面積 T を求めよ．
（山形大学 2016 ）
14 数列 fan g が
a1 = ¡1;
an+1 = 2an + 3n ¡ 3
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1) bn = an + 3n (n = 1; 2; 3; Ý) とする．このとき，bn+1 と bn の関係式を求めよ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(3) すべての自然数 n に対し，an Ë 0 であることを示せ．
(4) 次の式で定められる数列 fcn g の一般項を求めよ．
c1 = 8;
cn+1 =
cn
ncn + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
(5) 次の式で定められる数列 fdn g の一般項を求めよ．
d1 = ¡8;
dn+1 =
an+1 dn
ndn + an
(n = 1; 2; 3; Ý)
（山形大学 2016 ）
15 n を自然数とし，t > 0 とする．曲線 y = xn e¡nx と x 軸および 2 直線 x = t，x = 2t で囲まれ
た図形の面積を Sn (t) とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 関数 f(x) = xe¡x の極値を求めよ．
(2) S1 (t) を t を用いて表せ．
(3) 関数 S1 (t) (t > 0) の最大値を求めよ．
d
(4)
S (t) を求めよ．
dt n
(5) 関数 Sn (t) (t > 0) が最大値をとるときの t の値 tn と極限値 lim tn を求めよ．
n!1
（山形大学 2016 ）

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