2015/7/14 1 力学位置(直線上の運動）平均速度(直線上

2015/7/14
１．ニュートンの法則
力学
第１法則：
「物体は力がはたらかないとき、静止し続けるか、
等速直線運動をする（慣性）」
物体にはたらいている力
ニュートンの第２法則
（運動方程式）
第２法則：
「物体に外部から力が加わると、速度が変わる
（運動方程式）」
運動
第３法則：
「互いに力を及ぼしあう物体にはそれぞれに大きさが同じで
向きが反対の力がはたらく（作用反作用の法則）」
質量を介してこの
２つを関係づける
加速度
速度
２．万有引力の法則
質量：物体を構成する
原子の種類と個数で
決まる物理量
位置
あらゆる物体の間には引力がはたらき、その大きさは
各々の質量の積に比例し、距離の２乗に半比例する
位置と時間のグラフ（x‐t図）(直線上の運動）
位置(直線上の運動）
位置x〔m〕
時刻の関数として表す
x [m]
100
‐2 ‐1 0 1 2 3 4
位置 x を時刻 t の関数として表す x=x(t)
例えば
x=t ‐2 t=2sで位置は 0 m
x=t2 ‐2 t=2sで位置は 2 m
x=x(t)
50
0
時刻t0からt1までの移動距離は x(t1)‐x(t0)
教科書P35 図2.27
0
5
10
時刻t〔s〕
100mランナーの場合
位置と時間のグラフ（x‐t図）(直線上の運動）
平均速度(直線上の運動）
• 速度：大きさと向きを持った量＝ベクトル量
スタートから10秒間の平均速度
＝100m/10s
位置〔m〕
＝10 m/s
• 速さ（Speed）：スカラー量＝“速度の大きさ”
• 平均速度＝移動距離÷時間
単位 m/s ，（km/h）
100
→ 移動距離＝平均速度×時間
10秒間で100m移動
平均の速度=10m/s
平均の速さ=10m/s
平均の速度=0m/s
平均の速さ=10m/s
平均の速度=‐10m/s
平均の速さ=10m/s
正の方向
時刻6sから4秒間の
平均速度
＝60m/4s
＝15 m/s
50
平均速度はその
時間内のx‐tグラフ
の傾き
0
0
5
10
時刻〔s〕
1
2015/7/14
瞬間の速度(直線上の運動）
瞬間の速度(直線上の運動）
t：時間
t：時間
x： tの間の移動距離
平均の速度

※  ：デルタ
位置〔m〕
x
t
平均の速度

100
t → 0 を考える
x
t
v(t )  lim
t  0
x
t
0
0
10
5
時刻〔s〕
y ( x)  ax  bx  c を x で微分
n
y( x)  anx
x dx(t ) 50

dt
t
瞬間の速度はその
瞬間のx‐tグラフの
0
接線の傾き
m
t
0
x
10
5
時刻〔s〕
ある時刻における位置
（記号が異なるだけ）
 bmx
m 1
dy ( x)
 anx n 1  bmx m 1
dx
x
‐2 ‐1 0 1 2 3 4
位置 x[m] を時刻 t [s]の関数としてx=x(t)
で表す
例えば x=t2 ‐2 物理は物体の位置 x が時間 t の関数つまり x(t)
x(t )  at  bt  c
n
100
瞬間の速度(直線上の運動）
微分について
n 1
位置〔m〕
t → 0 を考える
50
平均速度はその
時間内のx‐tグラフ
の傾き
x： tの間の移動距離
m
瞬間の速度 v も時間の関数 v(t)
（瞬間の速度は位置を
時間で微分）
dx (t )
 ant n 1  bmt m 1
dt
瞬間の速度(直線上の運動）
時刻 t=3s での瞬間の速度は、
v(3)  lim
t 0
x dx(t )  d (t 2  2) 
 2t t  3  6m/s



dt
t
 dt  t  3
位置ベクトルと変位ベクトル(平面上の運動）
位置ベクトル：原点（基準点）からの位置を表すベクトル
変位ベクトル：位置がどれだけ変化したかを表すベクトル
ある時刻における位置
x
変位ベクトル
  
C  B A
点A
‐2 ‐1 0 1 2 3 4
点B
位置 x[m] を時刻 t [s]の関数としてx=x(t)
で表す
例えば x=t2 ‐2 点O
点B
点Aの
位置ベクトル
点O
点Bの
位置ベクトル
時刻 t=3s での瞬間の速度は、
x dx(t )  d (t 2  2) 
v(3)  lim
 2t t  3  6m/s



t 0 t
dt
 dt  t  3
あらゆる時刻の速度
点Aの
位置ベクトル

A
点A
点Bの
位置ベクトル

B

B

あらゆる時刻における位置ベクトル r (t )

A
変位ベクトル
  
C  B A
2
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位置ベクトルと速度ベクトル
位置ベクトルと速度ベクトル
変位ベクトル
  
C  B A
点A

r (t )
点B
ある物体が t 〔s〕で点Aから点Bまで
移動したとすると
点Aの
位置ベクトル

A

 
 C  B A

v   
t  t 
点Bの
位置ベクトル

B
r (t  t )
点Bの
位置ベクトル
r (t  t )

 
 C  B A

v   
t  t 
点Bの
位置ベクトル
r (t  t )
・平均速度の向きは変位の向き
位置ベクトルと速度ベクトル
速度ベクトル
点A

r (t )


 r (t  t )  r (t )
v
t
点O
点Aの
位置ベクトル

r (t )
・平均速度の向きは変位の向き
問1
• 速度は向きと大きさを持った量でベクトルで表される．
• 座標上の位置を表すベクトルを位置ベクトルという
• 物体が時間と共に座標上で位置を変えるとき，平均速
度ベクトルは，２地点の位置ベクトルの差（変位ベクト
ル）を移動に要した時間で割った量である．
• 座標上での移動経路（軌跡）が曲線で描かれているとき，
瞬間の速度の方向は曲線の接線の方向である．
点B

r (t  t )
平均速度=変位ベクトル÷所要時間
ある物体が Δ t 〔s〕で点Aから点Bまで
移動したとすると
点O
r (t )
点Aの
位置ベクトル

変位ベクトル



r (t )  r (t  t )  r (t )
点B

平均速度=変位ベクトル÷所要時間
ある物体が t 〔s〕で点Aから点Bまで
移動したとすると
点O
r (t )
点A
点Aの
位置ベクトル

r (t  t )
・平均速度の向きは変位の向き
位置ベクトルと速度ベクトル

r (t )
C  B A
点B

平均速度=変位ベクトル÷所要時間
点O
変位ベクトル
  
点A
平均速度=変位ベクトル÷所要時間
ある物体が Δ t 〔s〕で点Aから点Bまで
移動したとすると





r (t  t )  r (t )
r (t ) dr (t )
 lim

v (t )  lim
t 0
t  0 t
t
dt
・瞬間の速度の向きは軌跡の
接線の向き
問2
図のように，原点OからABCDEFGの経路を通って物体が運動した．それぞれの
点は一定時間間隔で測定した物体の位置である．
(1) それぞれの点での瞬間の速度ベクトルの向きを図示しなさい
G
D
F
E
A
C
B
3
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問2
加速度
(2) CD間の平均速度ベクトルの向きを図示しなさい．
(3) また，それぞれの区間の平均速度を比べたとき，一番平均速度の
大きい区間は BC である．また一番遅い区間は EF である．
• 加速度（ベクトル量）
速度の向きが変わるとき
速度の大きさが変わるとき
G
その変わる割合が加速度
速度の大きさや向きが１秒間でどれだけ変わるかを表す
D
F
E
A
→
平均加速度＝速度変化÷時間
→ 速度変化＝平均加速度×時間
C
B
単位 m/s2
瞬間の加速度(直線上の運動）
v‐t グラフと加速度(直線上の運動）
平均加速度＝速度変化÷時間
平均加速度
a
v
t
ある時刻における位置
t=6での瞬間の加速度
位置 x を時刻 t の関数として表す x=x(t)
速度v〔m/s2〕
・時刻 t=3 での瞬間の速度は、
瞬間の加速度
v dv

a  lim
t 0 t
dt
v(3)  lim
t 0
5
瞬間の加速度はv‐tグラフの
接線の傾き
0
a (3)  lim
t  0
時刻t〔s〕
0
下の図（A～D）は平面上で運動する物体の位置を，
一定時間間隔で記録した図である．
(1)速度一定の運動をしているのは A である．
(2)速さ一定の運動をしているのは A と C である．
• 加速度ベクトル＝速度ベクトルの変化
速度の向きが変わる(大きさは同じ）＝加速度

v1

 v
a
t
（瞬間の加速度）
（平均加速度）

v1
v dv(t )  d (2t ) 


 2t  3  2 m/s2
t
dt
 dt  t  3
問3
加速度ベクトルと速度ベクトルの変化


dv
a (t ) 
dt
x dx(t )  d (t 2  2) 
 2t t  3  6m/s



dt
t
 dt  t  3
・時刻 t=3 での瞬間の加速度は、
2～9秒間の平均加速度
  
v  v2  v1
x=t2 ‐2 例えば
10

v2
y
y
y
y

v

v2
A
x
B
x
C
x
D
x
x
4
2015/7/14
問4
(3)速度の向きが変化しているのは C と D である．
(4)加速度が0の運動をしているのは A である．
(5)加速度の大きさは変化するが，向きが変化していないのは
ない
(6)加速度の大きさが一定の運動をしてるのは
A と C である．
y
y
A
y
x
B
x
加速度は単位時間当たりの速度変化である．速
度の向きを正とすると，走行している車のアクセルを踏
むと車には正の（速度と同じ）向きの加速度が生じ，
ブレーキを踏むと負の向きの加速度が生ずる．一
定速度で走行しているときの加速度は０である．
y
C
x
D
問．直線上を運動している物体の位置 x が時間 t の関数として
1
x(t )  a 0 t 2  v0t  x0
2
x
力学
物体にはたらいている力
と表せるとき t=0 での位置、速度、加速度を求めよ。
ただし、a0, v0, x0 は時間によらない定数。
速度
ニュートンの第２法則
（運動方程式）
dx(t )
 a0t  v0
dt
dv(t )
a (t ) 
 a0
dt
v(t ) 
加速度
速度
x(0)  x0
v(0)  v0
加速度
a(0)  a0
より t=0 での位置
運動
1. 加速度
2. 速度
3. 位置
4. 移動距離
a：
積分
速度
積分
微分
位置
（加速度
速度）
等速直線運動
a  a0 ( 一定)
a  0 m/s 2
v  v0 


v： v  v0  a0t  a 
t 

1 2
x： x  x0  v0t  a0t
2
1 2
s： s  x  x0  v0t  a0t
2
v0  初速度(t  0での速度）
加速度
微分
等速直線運動
等加速度直線運動
質量を介してこの
２つを関係づける
v  v0  一定
x  x0  v0t
加速度
a0
ある時刻で v  v0
（例えば t=0で）
速度一定
ならば、任意の時刻で v  v0
s  x  x0  v0t
x0 (t  0での位置）
5
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等速直線運動
位置）
（速度
2. 速度
t秒間の移動距離 s： s  v0t
dx
dt
vdt  dx
v
速度一定ならば
速さ
移動距離 s は s
v
 v0t
面積
v  v0
t
  vdt
0
（加速度
等加速度直線運動
v0  初速度(t  0での速度  一定）
v：
加速度
v  v0 

a 

t 

v  v0  a0t
速度の増分
a0 t
速度）
面積
t
  a0 dt
0
a
a  a0
 vdt   dx
adt  dv
 v dt   dx
 adt   dv
 a dt   dv
（この部分の面積）
0
（この部分の面積）
経過時間
t 経過時間
a0t  C0  v  C1
v0t  C  x C  C0  C1 
a0t  C  v C  C
t=0で x  x0 (t  0での位置）
t  0 での位置を x0 とすると
x  x0  v0t
位置 x： x  x0  s  x0  v0t
等速直線運動
0
v0t  C0  x  C1
t
位置）
（速度
t=0で
等加速度直線運動
dv
dt
等速直線運動
位置）
（速度
v0  初速度(t  0での速度  一定）
v0  初速度(t  0での速度  一定）
t秒間の移動距離 s： s  v0t
t秒間の移動距離 s： s  v0t
速度一定ならば
速度一定ならば
v  v0
0
 C1 
v  v0  a0t
等加速度直線運動
短い時間ならば速度一定で
速さ
移動距離 s は s
v
 v0t
速さ
v  v0
移動距離 s は s
v
 v0t
移動距離 s は
速さ
v
傾き
v  v0
a0
v  v0  a0t
v  v0
（この部分の面積）
s  v0t
（この部分の面積）
t
経過時間
t
t  0 での位置を x0 とすると
t  0 での位置を x0 とすると
位置 x： x  x0  s  x0  v0t
位置 x： x  x0  s  x0  v0t
経過時間
経過時間
t
例題１．
地球表面付近で、すべての物体は下向きに約9.8m/s2で加速して運動する。
（重力加速度）
dx
dt
vdt  dx
v
 vdt   dx
v  v0  a0t
 (v
0
短い時間ならば速度一定で
移動距離 s は
速さ
① 物体を放してから2秒後の物体の速度は何m/sか？
v
傾き
より
 a0t )dt   dx
1 2
a0t  v0t  C0  x  C1
2
1
x  a0t 2  v0t  C t=0で x0 (t  0での位置）
2
1
x  x0  v0t  a0t 2
2
s  v0t
地表から高さ44.1mの位置にある物体を静かに放したところ、物体は下方向に運動した。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
a0
x
v  v0  a0t
v  v0
② 物体を放してから2秒後の物体の位置は地表から
何mの高さか？
9.8m/s2
t
44.1m
経過時間
③物体を放してから地表に着くまでの時間は何秒か？
地表
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例題１．
例題１．
地球表面付近で、すべての物体は下向きに約9.8m/s2で加速して運動する。
（重力加速度）
地球表面付近で、すべての物体は下向きに約9.8m/s2で加速して運動する。
（重力加速度）
地表から高さ44.1mの位置にある物体を静かに放したところ、物体は下方向に運動した。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
地表から高さ44.1mの位置にある物体を静かに放したところ、物体は下方向に運動した。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
① 物体を放してから2秒後の物体の速度は何m/sか？
② 物体を放してから2秒後の物体の位置は地表から
何mの高さか？
x
物体を放した瞬間の時刻 t を 0 とする。
a
dv
dt
 9.8 
dv
dt
  9.8dt   dv
 9.8t  C  v
静かに放した
 9.8t  v
9.8m/s2
t=0でv=0
C=0
よって
地表
v  19.6m/s
例題１．
t=0でx=44.1m
x
dx
 9.8t
dt
9.8m/s2
  9.8tdt   dx
44.1m
v  9.8  2  19.6
 9.8t  v
dx
v
dt
C=44.1m
1
x    9.8t 2  C
2
44.1m
1
x  44.1   9.8  2 2  24.5m
2
地表
例題２．
地球表面付近で、すべての物体は下向きに約9.8m/s2で加速して運動する。
（重力加速度）
物体を地表から真上に速さ10m/sで放り上げた。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
地表から高さ44.1mの位置にある物体を静かに放したところ、物体は下方向に運動した。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
① 物体を放り上げてから2秒後の物体の速度は何m/sか？
③物体を放してから地表に着くまでの時間は何秒か？
x
x
1
x  44.1   9.8t 2
2
② 物体を放り上げてから2秒後の物体の位置は地表から
何mの高さか？
1
0  44.1   9.8t 2
2
t
9.8m/s2
2  44.1
 3s
9.8
地表
例題２．
物体を地表から真上に速さ10m/sで放り上げた。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
② 物体を放り上げてから2秒後の物体の位置は地表から
何mの高さか？
① 物体を放り上げてから2秒後の物体の速度は何m/sか？
dv
dt
地表
例題２．
物体を地表から真上に速さ10m/sで放り上げた。
（ただし、上向きを正の方向とする。）
a
速さ：10m/s
44.1m
 9.8 
dv
dt
  9.8dt   dv
x
 9.8t  C  v
v  9.8  t  10
(t=0でv=10m/s)
v  9.8  2  10  9.6m/s
速さ：10m/s
地表
v  9.8t  10
dx
 9.8t  10
dx
dt
v
dt
1
x    9.8t 2  10t  C
2
1
(t=0でx=0m)
x    9.8t 2  10t
2
1
x    9.8  2 2  10  2  0.4m
2
x
速さ：10m/s
地表
7

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