迫真勉強会・電磁誘導セミナー

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1. ノイマン・ファラデイの法則
回路に沿って生じる起電力と, 回路に鎖交する磁束 Φ の関係は
e=−
dΦ
dt
2. 電磁場の変換則
慣性系 K 系における電磁場 (E, B) が静電磁場であるとき, K 系に対し速度 v で運動する慣性系
K’ 系における電磁場 (E ′ , B ′ ) は
E′ = E + v × B
v
B′ = B − 2 × E
c
... 押さえておくべきポイントはこの２つだけ！
「回路の静止系で見る」ことと, 「磁石の静止系で見る」ことの違いは？
→起電力の原因を, ローレンツ力 (磁場) ととるか, 電場ととるかの違い.
「どちらで解釈しても, それは −Φ̇ に等しくなる」という主張が, ファラデイの法則である.
例題１
１辺 l の正方形コイルが, コイル面に対し垂直な方向の一様磁場 B 中
B
を, 一定の速度 v で運動している. ただし v は図の AB と垂直で, コイ
ルは磁場に対し垂直な面内を運動する. このとき, コイルに沿って生じ
C
B
る起電力は？
D
1. 電場がゼロの系
AB, CD はローレンツ力によって, 起電力 eBA = vbl, eCD = vbl
が生じるが, これは１周に沿って合計すると, 0.
2. 回路の静止系
回路は速度を持っていないので, 起電力の原因をローレンツ力と
考えることはできない. 上記の変換則によって, この系では一様
な電場 E = v × B が存在するので, ABCD に沿っての起電力
は
H
E · dr = vBl − vBl = 0.
※いずれの場合にしても, ファラデイの法則 e = −Φ̇ = 0 が成立している.
1
A
v
例題２
一様磁場 B 中に置かれた幅 l の導体レール上を, 導体棒が一定の速度 v で
B
運動している. このとき, レールと棒でできた回路 ABCD に沿って生じる起
C
電力は？
B
v
D
1. 電場がゼロの系
棒はローレンツ力を受けるので, 棒に沿って B → A の方向に起電力
A
x
0
vBl が生じる. 回路の棒以外の部分には起電力は生じないので, 回路に
沿っての起電力は vBl.
2. 棒の静止系
棒にはローレンツ力は働かない. 起電力の原因は電場 E = v × B と考
える. 棒に沿っての起電力は,
∫
BA
E · dr = vBl.
... と答えると, OUT ！
この場合, 電場は一様に存在するので, レール CD にも起電力 vBl が
生じている. しかし, この系ではレール CD は速度 −v で運動してい
るので, 磁場からローレンツ力を受け, 起電力 −vBl が生じ, これらが
打ち消しあう. したがって, 結果的には, 起電力は棒にのみ生じており,
e = vBl.
※当然, ファラデイの法則が成立している. BADC の方向を起電力の正の向きとすると, 回路を貫く磁束は
Φ = −Blx, よって, 起電力は e = −Φ̇ = +vBl.
例題３
導体磁石と電圧計, 導線を使って図のような回路をつくる. 導線と磁
石は接しており, 接点は抵抗なくなめらかに動く. 磁石と電圧計は速度
v の相対運動をしている. このとき, 回路に沿っての起電力を３つの方
V
法で求めよ.
v
B
1. ファラデイの法則
回路の外縁をぐるっと回るループをとれば, この面に鎖交する磁
束の時間的な変化はない. よって e = −Φ̇ = 0.
2. 磁石に固定された系で見る
この場合, 回路のうち電圧計と導線の部分は速度 v で左へ運動しているが, そこには磁場がないので
ローレンツ力を受けず, この部分には起電力は生じない. 磁石の部分は運動していないので, やはりロー
レンツ力を受けず, この部分にも起電力は生じない. ∴ e = 0.
3. 電圧計に固定された系で見る
回路のうち磁石の部分は速度 v で運動するので, ローレンツ力により起電力 vBl が生じるが, この場合,
磁石の部分には電場 −v × B(注意！) が存在するので, この電場による起電力は −vBl となり, 結局,
2
合計の起電力は 0.
※電磁場の変換公式における v は, 「磁場の静止系から運動系をみた相対速度」である. この場合, v は磁石
と共動する系から電圧計を見た速度になるので, それは −v(左向き) である.
例題４
一様な磁場 B 中で, 長方形のコイルが一定の角速度 ω で回転してい
B
る. 回転軸は磁場と垂直で, コイルの寸法は, 回転軸と平行な辺の長さ
が a, 垂直な辺の長さが b である. このとき, コイルに生じる起電力を
求めよ. ただし, t = 0 においてコイル面は磁場に垂直であったとする.
ω
A
B
N
S
C
D
1. 磁石の静止系
AD の部分は, 速度 aω/2 で運動しているので, ローレンツ力を受け, 起電力
aω
2 Bb sin ωt
が生じる. CD
の部分も同様に起電力が生じるので, 1 周に沿っての起電力は e = abBω sin ωt.
2. 回路の静止系
少々天下りだが, 次のように考えると良い. ある時刻 t において A 点だけを局所的に考えると, その点
は磁石の静止系に対して速度 v = ( aω
2 cos ωt,
aω
2
sin ωt, 0) を持っているので, B をこの速度で変換し
た電場 E = v × B = (0, 0, − aω
2 B sin ωt) が存在すると考える. このように考えると, ある時刻 t に
おいて, AD に沿って電場
aω
2 B
sin ωt が, BC に沿っては電場 − aω
2 B sin ωt が存在するので, コイルに
沿っての起電力は e = aωBb sin ωt.
いずれの場合にも, ファラデイの法則 e = −Φ̇ が成立していることを確認されたい. その際, (1) の場合は
∫
d
B = (B, 0, 0), n = (cos ωt, sin ωt, 0) として − dt
B · ndS を, (2) の場合は B = (B cos ωt, −B sin ωt, 0),
∫ ∂B
n = (1, 0, 0) として − ∂t · ndS を計算すれば良い.
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