Exponent properties involving quotients（商を伴う累乗の性質）原文

Exponent properties involving quotients（商を伴う累乗の性質）
原文
タイム
日本語音声
Let's do some exponent examples that
0:00
割り算を伴う累乗の計算をしましょう
0:04
最初の問題は、5 の 6 乗割る 5 の 2 乗
involve division.
Let's say I were to ask you what 5 to the
sixth power divided by 5 to the second power
（5^6/5^2）はどうなるかという問題です
is?
Well, we can just go to the basic definition of
0:12
what an exponent represents and say 5 to
まず、累乗の基本的な定義に戻って、5 の 6 乗
（5^6）を表すことから始めます
the sixth power,
that's going to be 5 times 5 times 5 times 5
0:20
times 5—one more 5-- times 5.
すなわち、5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける
5（5*5*5*5*5*5）です。5 を 6 回かけます
5 times itself six times.
And 5 squared, that's just 5 times itself two
0:30
times, so it's just going to be 5 times 5.
一方で 5 の 2 乗（5^2）は、5 を 2 回かけるので、5
かける 5（5*5）と表せます
Well, we know how to simplify a fraction or a
0:37
rational expression like this.
このような有理式になっている分数の計算は学習済み
です
We can divide the numerator and the
0:42
分子と分母は 5 で割れるので、約分できて、5 を 1 つず
denominator by one 5, and then these will
つ消します。もう 1 回、5 で割れるので、分子の 5 と分
cancel out, and then we can do it by another
母の 5 を消します
5, or this 5 and this 5 will cancel out.
And what are we going to be left with?
0:51
すると残るのは、分子が 5 かける 5 かける 5 かける 5
5 times 5 times 5 times 5 over 1, or you
（5*5*5*5）で、分母が 1 です。したがってこの問題
could say that this is just 5 to the fourth
は 5 の 4 乗（5^4）になりました
power.
Now, notice what happens. Essentially we
1:01
さて、どういうことがなされたのか確認しましょう。初め、分
started with six in the numerator, six 5's
子には 5 が 6 つあり、かけ合わせていましたが、そこから
multiplied by themselves in the numerator,
取り除かれました
and then we subtracted out.
We were able to cancel out the 2 in the
1:12
分母にある 2 つの 5 を消すことができたので、5 の 6 引く
denominator. So this really was equal to 5 to
2 乗（5^(6-2)）を求めればよいという結果になりまし
the sixth power minus 2.
た
So we were able to subtract the exponent in
1:21
つまり、分子の指数から分母の指数を引いています
to
1:26
累乗のかけ算について思い出しましょう
If I had 5 to the-- let me do this in a different
1:29
5 の累乗を例に取りますが、色を変えて書きます。5 の 6
the denominator from the exponent in the
numerator.
Let's
remember
how
this
relates
multiplication.
color. 5 to the sixth times 5 to the second
乗かける 5 の 2 乗（5^6*5^2）という式があったとし
power,
ます
we saw in the last video that this is equal to 5
1:41
前回のビデオで学んだとおりです。これは 5 の 6 足す何
to the 6 plus-- I'm trying to make it color
乗かというと、色を変えて、6 足す 2 乗（5^(6+2)）
coded for you-- 6 plus 2 power.
です
1/5
Now, we see a new property. And in the next
1:52
ここで新しい性質が出てきましたが、次回のビデオで、実
video, we're going see that these aren't
際は異なるわけではないと分かります。指数が負の数
really different properties. They're really
（すう）と考えれば、同じです
kind of same sides of the same coin when we
learn about negative exponents.
But now in this video, we just saw that 5 to
2:01
しかしこのビデオでは、次のように考えます。問題をもう一
the sixth power divided by 5 to the second
度書くと、5 の 6 乗割る 5 の 2 乗（5^6/5^2）です。
power-- 5 to the second power--
分母は 5 の 2 乗（5^2）です
let me do it in a different color-- 5 to the
2:16
ペンの色を変えて、5 の 2 乗（5^2）と書きます。する
second power-- is going to be equal to 5 to
とこの問題は 5 の何乗かというと、色を変更するのに時
the-- it's time consuming to make it color
間が取られてしまいます
coded for you-6 minus 2 power, 6 minus 2 power or 5 to the
2:29
fourth power.
Here it's going to be 5 to the eighth.
5 の 6 引く 2 乗（5^(6-2)）、すなわち 5 の 4 乗
（5^4）に等しくなります
2:36
こちらは 5 の 8 乗（5^8）です。底（てい）が同じ累
乗のかけ算は、指数を足します
So when you multiply exponents with the
same base, you add the exponents.
When you divide with the same base, you
2:41
subtract the denominator exponent from the
底が同じ累乗の割り算はどうするかというと、分母の指
数を分子の指数から引くのです
numerator exponent.
Let's do a bunch more of these examples
2:49
この例を続けてもっとやってみましょう
2:53
例えば、6 の 7 乗割る 6 の 3 乗（6^7/6^3）はどう
right here.
Let’s do a bunch more. What is 6 to the
なるでしょうか？
seventh power divided by 6 to the third
power?
Well, once again, we can just use this
3:02
先ほど使った性質によれば、6 の 7 引く 3 乗
property. This going to be 6 to the 7 minus 3
（6^(7-3)）になり、答えは 6 の 4 乗（6^4）になり
power, which is equal to 6 to the fourth
ます
power.
And you can multiply it out this way like we
3:11
did in the first problem and verify that it
最初の問題でやったように、かけ合わせて約分すれば、
6 の 4 乗（6^4）になることが確かめられます
indeed will be 6 to the fourth power.
Now let's try something interesting. Now
3:19
let's try something interesting.
では、興味深い問題をやってみましょう。次のビデオへ
の、良いつなぎになる問題です
This will be a good segue into the next video.
Let's say we have 3 to the fourth power
3:26
divided by 3 to the tenth power.
Well, if we just go from basic principles, this
3 の 4 乗割る 3 の 10 乗（3^4/3^10）はどうなると
思いますか？
3:34
基本的な原則に従うと、分子は 3 かける 3 かける 3 か
would be 3 times 3 times 3 times 3, all of
ける 3（3*3*3*3）で、分母は 3 かける 3 かける 3
that over 3 times 3-- we're going to have ten
かける 3 かける 3 かける 3 かける 3
of these-- 3 times 3 times 3 times 3 times 3
（3*3*3*3*3*3*3）です
times 3.
How many is that? One, two, three, four,
3:49
five, six, seven, eight, nine, ten.
これで、1、2、3、4、5、6、7 つなので、8、9、10 個で
す
2/5
Well, if we do what we did in the last video,
3:55
this 3 cancels with that 3. Those 3's cancel.
前回と同じように、約分して 3 を消します。この 3 も消し
て、もう 1 つ消して、あと 1 つ消します
Those 3's cancel. Those 3's cancel.
And we're left with 1 over-- one, two, three,
4:02
すると分子に残るのは 1 で、分母は 1、2、3、4、5、6
four, five, six 3's. So 1 over 3 to the sixth
個の 3 です。よって、1 割る 3 の 6 乗（1/3^6）にな
power, right? We have 1 over all of these 3's
ります。1 割る、残った 3 を全部です
down here.
But that property that I just told you, would
4:15
さて、この問題を先ほど説明した性質を使って書き換え
have told you that this should also be equal
てみましょう。すると、3 の 4 引く 10 乗（3^(4-10)）
to 3 to the 4 minus 10 power.
です
Well. What's 4 minus 10?
4:25
Well, you're going to get a negative number.
4 引く 10（4-10）は負の数になって、3 のマイナス 6
乗（3^(-6)）です
This is 3 to the negative sixth power.
So using the property we just saw, you'd get
4:30
学んだ性質を使ったら 3 のマイナス 6 乗（3^(-6)）
3 to the negative sixth power.
で、かけ合わせて約分したら、1 割る 3 の 6 乗
Just multiplying them out, you get 1 over 3
（1/3^6）でした
to the sixth power.
And the fun part about all of this is these are
4:38
the same quantity.
ここが面白いところで、この 2 つは同じ値です。よって、負
の指数を持つとはどういう意味かが分かります
So now you're learning a little bit about what
it means to take a negative exponent.
3 to the negative sixth power is equal to 1
4:46
over 3 to the sixth power.
And I'm
going
do
many, many
3 のマイナス 6 乗は 1 割る 3 の 6 乗（3^(-6)=
1/3^6）に等しいのです
more
4:53
次回のビデオで多くの例を取り上げる予定ですが、どん
examples of this in the next video.
な数でもマイナス乗すると、ａのマイナスｂ乗は 1 割る
But if you take anything to the negative
ａのｂ乗（a^(-b)= 1/a^b）になります
power, so a to the negative b power is equal
to 1 over a to the b.
That's one thing that we just
5:04
たった今、これを立証しました
5:07
先ほど考えた問題では、ａのｂ乗割るａのｃ乗はａの
established just now.
And earlier in this video, we saw that if I
have a to the b over a to the c, that this is
ｂ引くｃ乗（a^b/a^c= a^(b-c)）と表せます
equal to a to the b minus c.
That's the other property we've been using.
5:17
この時使ったのは、また別の性質です
Now, using what we've just learned and
5:21
さて、前回のビデオと今回のビデオで学んだことを使って、
what we learned in the last video, let's do
もっと複雑な問題をいくつか計算してみましょう。込み入
some more complicated problems. Let's do
った式に取り組みます
some more complicated problems.
Let's say I have a to the third, b to the fourth
5:32
どんな式かというと、ａの 3 乗、ｂの 4 乗、割る、ａの 2
power over a squared b, and all of that to the
乗
third power.
（((a^3*b^4)/(a^2*b))^3）という問題です
Well, we can use the property we just
、
ｂ
、
こ
れ
全
体
の
3
乗
5:44
覚えた性質を使えば、カッコの中を簡単にできます
5:50
ａの 3 乗割るａの 2 乗（a^3/a^2）は、ａの 3 引く
learned to simplify the inside. This is going to
be equal to-a to the third divided by a squared.
3/5
That's a to the 3 minus 2 power, right?
2 乗（a^(3-2)）ですね
So this would simplify to just an a.
5:56
すると、ａだけになります。暗算すると、ａかけるａかけ
And you could imagine, this is a times a
るａ割るａかけるａ（(a*a*a）/(a*a））で、分子
times a divided by a times a.
にａが残ります
You'll just have an a on top.
And then the b, b to the fourth divided by b,
6:04
well, that's just going to be b to the third,
次にｂについては、ｂの 4 乗割るｂ（b^4/b）なの
で、計算するとｂの 3 乗（b^3）になります
right?
This is b to the first power.
6:13
分子はｂの 1 乗（b^1）ですから、4 引く 1（4-1）
で 3 です。カッコ内のｂは 3 乗になります
4 minus 1 is 3, and then all of that in
parentheses to the third power.
We don't want to forget about this third
6:20
カッコの外に 3 乗をつけるのを忘れないようにしましょう
6:24
色を変えます。外側の 3 乗はそのままです。ａをオレン
power out here.
This third power is this one.
Let me color code it.
That third power is that one right there, and
ジ色で書くことにします。そのほうが見分けるのが楽にな
then this a in orange is that a right there.
るでしょう
I think we understand what maps to what.
And now we can use the property that when
6:33
we multiply something and take it to the
覚えた性質が使えます。かけ算したものを 3 乗する場
合、それぞれに分けて考えても同じです
third power, that’s equivalent of taking each
of these.
this is equal to a to the third power times b to
6:41
the third to the third power.
するとこれは、ａの 3 乗かけるｂの 3 乗の 3 乗
（a^3*(b^3)^3）と等しくなります
And then this is going to be equal to, this is
6:52
さらにこの先はどうすればよいかというと、まずａの 3 乗
equal to a to the third power. ～ right this. a
（a^3）が来ます。ａの 3 乗（a^3）は、ここにその
to the third power. ～ a to the third right
まま書いておけばいいでしょう
there.
And then what it is, times b to the 3 times 3
7:04
power, times b to the ninth.
これに、ｂの 3 かける 3 乗（b^(3*3)）をかけるので、
ａの 3 乗かけるｂの 9 乗（a^3*b^9）です
And we would have simplified this about as
7:10
できる限り簡単な形に直すことができました
7:14
別の問題をやってみましょう。いい練習になり、今後、と
far as you can go.
Let's do one more of these.
I
think
they're
good
practice
ても役に立つと思います
and
super-valuable experience later on.
Let's say I have 25xy to the sixth over 20y to
7:21
the fifth x squared.
次の問題は 25、ｘ、ｙの 6 乗、割る、20、ｙの 5 乗、
ｘの 2 乗（(25*x*y^6)/(20*y^5*x^2））で
す
So once again, we can rearrange the
7:40
分子と分母を並び換えます
7:43
まず、 25 割る 20 、かける、ｘ割るｘの 2 乗
numerators and the denominators.
So this you could rewrite as 25 over 20 times
x over x squared, right?
（(25/20)*(x/x^2)）です。
We could have made this bottom 20x
分母は順序を変えて、20、ｘの 2 乗、ｙの 5 乗
squared y to the fifth-- it doesn't matter the
（20*x^2*y^5）とできます
order we do it in--
4/5
times y to the sixth over y to the fifth.
7:58
続けて、ｙの 6 乗割るｙの 5 乗（(y^6/y^5)）をか
けます
And let's use our newly learned exponent
8:03
properties in actually just simplify fractions.
25 over 20, if you divide them both by 5, this
ょう
8:08
is equal to 5 over 4.
x divided by x squared-- well, there's two
新しく学んだ指数の性質を使って、分数を簡単にしまし
20 分の 25（25/20）は、どちらも 5 で割り切れるの
で、この部分は 4 分の 5（5/4）になります
8:17
ways you could think about it.
ｘ割るｘの 2 乗（x/x^2）は、2 つの考え方がありま
すが、どちらにしてもｘのマイナス 1 乗（x^(-1)）です
That you could view as x to the negative 1.
You know. You have a first power here.
8:25
分子はｘの 1 乗（x^1）です。1 引く 2（1-2）はマ
1 minus 2 is negative 1.
イナス 1 になるので、この部分は、ｘのマイナス 1 乗
So this right here is equal to x to the negative
（x^(-1)）に等しくなります
1 power.
Or it could also be equal to 1 over x.
8:34
あるいは、ｘ分の 1（1/x）と書いても同じです
8:37
よって、ここにはｘ分の 1（1/x）と書きます。ｘ割るｘ
These are equivalent.
So let's say that this is equal into 1 over x,
just like that. And it would be. x over x times
かけるｘ（x/(x*x)）なので、ｘで約分できて、ｘ分
x. One of those sets of x's would cancel out
の 1（1/x）になります
and you're just left with 1 over x.
And then finally, y to the sixth over y to the
8:48
最後のｙの 6 乗割るｙの 5 乗（ｙ＾6/y^5）は、
fifth, that's y to the 6 minus 5 power, which
ｙの 6 引く 5 乗（ｙ＾(6-5)）なので、ｙの 1 乗（ｙ
is just y to the first power, or just y, so times
＾1）、すなわちただのｙです。よって、かけるｙとなりま
y.
す
So if you want to write it all out as just one
9:02
combined rational expression, you have 5
これをまとめて、1 つの有理式に表しましょう。分子は、5
かける 1 かけるｙ（5*1*y）で 5ｙです
times 1 times y, which would be 5y,
all of that over 4 times x, right?
9:11
分母は 4 かけるｘ（4*x）です。ｙは 1 分のｙ
This is y over 1, so 4 times x times 1, all of
（y/1）なので、結局、5ｙ割る 4ｘ（5y/4x）となり
that over 4x, and we have successfully
ます。簡単な形になりました
simplified it.
Translator: Seiko Tachi
【Khan Academy 元映像】
https://www.khanacademy.org/math/arithmetic /exponents-radicals/exponent-properties/v/expon
ent-properties-involving-quotients
【KhanAcademyJapanese】
http://youtu.be/0LHufYreUDM
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