三角数から作られる 偽ゼータ関数 中野 日向 ζ（ゼータ）関数とは… ∞ 1 （自然数の逆 s 乗和） 𝑠 𝑛 𝜁 𝑠 ＝ で表される関数 𝑛=1 例） 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝜁 1 = + + + +⋯ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝜁 2 = 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+⋯ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 1 1 1 1 𝜁 0 = 0+ 0+ 0+ 0+⋯ =𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+⋯ 1 2 3 4 1 1 1 1 𝜁 −1 = −1 + −1 + −1 + −1 + ⋯ = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ 1 2 3 4 ゼータ関数と素数の密接な関係 オイラー積 ∞ 1 = 𝑛𝑠 𝑛=1 1 𝒑 1 1 − 𝒑𝑠 （ 𝒑 = 素数 ） s = -1とすると… 1+2+3+4+⋯= 1−2 1−3 1−5 ⋯ 1−𝒑 … 自然数と素数が１対１対応！！ 自然数と素数の密接な関係 ２ 素数定理 ∞ 𝝅 𝒙 =𝑹 𝒙 − 𝑹 𝒙𝝆 𝑅 𝑥 = 𝝆 • 𝝅 𝒙 とは… 1 𝜇 𝑚 𝑚 𝐿ⅈ𝑥 , 𝐿ⅈ𝑥 = 𝑚 𝑚=1 𝑥 2 ⅆ𝑥 ln 𝑥 自然数 x までの素数の総個数 ゼータ関数の自明でない零点(𝜁 𝑠 ＝0となる s )を見つけると 𝝅 𝒙 を正確に計算できる ゼータ関数を研究すると 自然数と素数の関係が導き出せる ゼータの拡張 偽ゼータ ゼータ関数 𝜁 𝑠 = 1 1 1 1 + + + +⋯ 𝑠 𝑠 𝑠 𝑆 4 1 3 2 偽ゼータ関数 𝜻𝑻 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝑺+ 𝒔+ 𝒔+ 𝒔+⋯ 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟎 𝟐 ライプニッツの調和三角形 偽ゼータ解析 偽ゼータ関数を直接調べるのは難しい… ⇒ 似た関数を作り、偽ゼータ関数との関係を見つける ⇒ その関数について調べる 偽ゼータ補助関数 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑨 𝒔 = 𝑠 0+ 𝑠 + 𝑠 𝑠+ 𝑠 + 𝑠 𝑠+ 𝑠 +⋯ 1 2 2 1 3 3 2 4 = 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 2𝜁𝑇 𝑠 2𝑠 2𝑠 6𝑠 6𝑠 12𝑠 12𝑠 1 𝜁𝑇 𝑠 = 𝐴 𝑠 2 偽ゼータと三角数 ｓが自然数の場合 … 𝜁𝑇 0 = 1 + 1 + 1 + ⋯ = − 𝟏 𝟐 𝜁𝑇 1 = 1 𝐴 1 = 𝟏 2 1 𝝅𝟐 𝜁𝑇 2 = 𝐴 2 = −𝟑 2 𝟑 ｓ= -2 の場合… ∞ 𝑇𝑘2 𝜁𝑇 −2 = 4 𝑘=1 （𝑇𝑘 は𝑘番目の三角数） 偽ゼータ関数には 𝑇𝑘 = 1,3,6,10, … 三角数が大きく関わっている 偽ゼータ関数の夢 ゼータ関数 ⇒ 自然数と素数との関係 ならば… 偽ゼータ関数は 三角数とメルセンヌ素数との関係？ 更には完全数との関係も 三角数は無限にある ⇒ 未だ証明されていない メルセンヌ素数は無限に存在する？ メルセンヌ素数定理の発見？ メルセンヌ素数の例） 3, 7, 31, ... , 2𝑛 − 1 偽ゼータ関数の夢 偽ゼータについての性質が分かれば 調和三角形の全ての行の 偽ゼータの性質が分かる 次の目標は 調和三角形以外の偽ゼータも ライプニッツの調和三角形
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