Document

0
0
0
1
1
0
1
1
電子回路学
講義＃１:　科目評価、アナログとディジタル
信号、10進数と2進数
1
科目評価
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
科目成績は、出席率と理解度の確認用のテストを点数
化して期末試験の評価と総合合わせする
n 
(a) 出席率100％（15回）＝ 15点＋5点（ボーナス）= 20点
n 
n 
n 
n 
一回も欠席すると：出席一回に1点のみ付く
(b) 授業各一回のテストの平均点×0.1（最高＝10点）
(c) 期末試験成績×0.7（最高＝70点）
科目成績 = (a) + (b) + (c)
2
1
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
アナログとディジタル
アナログ　＝　連続
ディジタル　＝　離散（不連続）
3
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
アナログ（信号）：例
マイクで検知する音の変化、生体信号（心電図など）
身近なものには、家庭の交流電圧（電気）がある
4
2
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
流行：アナログをディジタルへ
例：携帯電話
TVの放送
アナログ
アナログ
ディジタル
（内部処理）
5
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
刻んだアナログ　＝　ディジタル
アナログ信号を等間隔で刻むと、ディジタル信号に変
換することができる
6
3
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
刻んだアナログ　＝　ディジタル
刻みが小さければ、刻んだ信号（ディジタル）から得
られるアナログ信号は、元の信号に近くなる
7
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
刻んだアナログ　＝　ディジタル
刻みが小さければ、小さいほどディジタルはアナログ
に近くなる
8
4
ディジタル化
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
刻んだ値を一つのレベルに対応させて、その値を2進
数で表すと、ディジタル信号が得る
0111 1000 1001 0101 0011 0100 0000 0011 0110 0100
9
A/D、D/A変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
アナログ信号をディジタルに変換することを (Analog
Digital) AD変換といい、
その逆の変換はDA変換という
A
D
D
A
10
5
A/D、D/A変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
連続的なアナログ信号を離散的なサンプル値信号に変
換することを標本化（サンプリング:sampling）という
標本化する間隔（図のTS）をサンプリング周期といい、
その逆数をサンプリング周波数 fS という
TS =
TS
1
fS
11
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
n 
n 
標本化の定理
連続したアナログ信号を正しく標本化するには、信号
の持つ周波数成分の帯域幅（最高周波数成分）の2倍
より高い周波数で標本化する必要がある（サンプリン
グ定理）
fs > 2 × fmax
fs はサンプリング周波数
fmax はサンプリングされる信号の最高周波数
12
6
ME試験問題【23-23】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
20Hzから200Hzまでの周波数成分を含む生体信号をA/
D変換して処理したい。理論上必要なサンプリング間
隔はどれか
13
ME試験問題【23-23】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
解答例：
n 
n 
n 
ある波形を正しく標本化するには、波形の持つ周波数成分の
帯域幅の2倍より高い周波数で標本化する必要がある（サン
プリング定理）
このため、400Hz以上のサンプリングが必要であり、そのと
き下記に示すように（最大の）サンプリング間隔は2.5msで
ある
故に、正解は5)である
1
f
1
T=
= 0.0025 = 2.5ms
400
T=
14
7
ME試験問題【24-28】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
10Hzから500Hzまでの周波数成分を含む生体信号をＡ
／D変換したい。理論上必要なサンプリング間隔はど
れか
n 
n 
解答例：上記の【23-23】と同様で、2倍の周波数に対応する
周期で計算する
故に、正解は 5)である
T=
1
f
T=
1
= 0.001 = 1.0ms
1000
15
ME試験問題【25-38】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
周波数成分0.1~100Hzの生体信号をA／Ｄ変換して処理
したい。理論上何Hz以上の周波数でサンプリングしな
ければならないか
200Hz以上のサンプリングが必須で、
n 
正解は、5) である
16
8
ME試験問題【26-35】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
最高周波数200Hzの生体信号をA/D変換するのに、理
論上超える必要のある最低サンプリング周波数は何Hz
か
n 
解答例：波形の周波数の2倍より高い周波数で標本化する必
要があるため、400Hz以上のサンプリングが必須で、正解は、
4) である
17
ME試験問題【27-33】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
0.5～40Hzの周波数成分を含む生体信号をAD変換した
い。次の中で原波形を理論的に再現できる最も低いサ
ンプリング周波数は何Hzか
n 
解答例：波形の周波数の2倍より高い周波数で標本化する必
要があるため、80Hz以上のサンプリングが必須で、これに
最も近くて低いのは正解の 3) である
18
9
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【28-28】
最高周波数成分が50Hzである生体信号をA／D変換す
るのに理論上必要となる最長サンプリング周期〔秒〕
はどれか
解答例：信号の周波数の2倍より高い周波数で標本化する必要
があるため、100Hz以上のサンプリングが必須で、その（最
長）周期は0.01sで、正解はの 1) である
T=
1
1
=
= 0.01s
f 100
19
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【29-37】
20 Hz～20kHzのアナログ信号を劣化なくAD変換する
ためには、理論上超える必要のある最低のサンプリン
グ周波数は何 Hz か
解答例：信号の周波数の2倍より高い周波数で標本化する必要
があるため、40kHz(40000 Hz)以上のサンプリングが必須で、正
解はの 4) である
20
10
ME試験問題【33-39】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
生体電気信号を500μs間隔でサンプルした。復元でき
る周波数の理論的上限は何Hz未満か
解答例：信号の周波数の2倍より高い周波数で標本化する必要
があるから、サンプリング間隔(Ts)から、その周波数fsを求めれ
ば、その1/2は生体信号の値は、 4) であることが分かる
fs =
1
1
=
= 2000Hz
Ts 500 ×10 −6
21
ME試験問題【34-36】
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
40〜2000Hzの周波数成分を含むアナログ信号をAD変
換したい。サンプリング周波数を設定するにあたり、
理論上必要となる最低周波数は何Hzか。
解答例：ある波形を正しく標本化するには、波形の持
つ周波数成分の帯域幅の2倍より高い周波数で標本化
する必要がある（サンプリング定理）ため、4000Hz以
上のサンプリングが必要であり、正解は 4)である
1)　80
2)　400
3)　800
4)　4000
5)　8000
22
11
最小分解能（量子化精度）
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
A/Dを行うときは、アナログ信号を幾つかの段階に刻
み、ディジタル信号に変換する
刻みの数は使うビット数で決まる
n 
n 
n 
n 
n 
n 
例：　2 ビットで 22 = 4 つの段階
3 ビットで 23 = 8 つの段階
：
8 ビットで 28 = 256つの段階
上記の段階に0も含まれるの、刻みは一つ少なくなり、
最小分解能は、(アナログ信号)／(2x – 1) で計算する
23
0
0
1
1
1
n 
n 
最小分解能（量子化精度）
最小分解能（量子化精度）は、
アナログ信号の範囲（フルスケール、振幅）を、段
階数から1を引いた値で割って計算する
Resolution =
Vmax
2 bits −1
3ビット
0
1
0
7段階
24
12
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
保存に必要な記憶量
記憶には、バイト（B）を使用する
バイトは、8ビットで構成されているため、量はビッ
トで計算してから8で割ってバイトで表す
バイトは量が小さいため、
KB（キロバイト = 1024 B = 210 B）、
MB（メガバイト = 220 B）または
GB（ギガバイト = 230 B）の記憶量は、
TB（テラバイト = 240 B）の記憶量は、通常よく使わ
れる
25
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
n 
n 
n 
n 
n 
保存に必要な記憶量
記憶には、バイト（B）を使用する
バイトは、8ビットで構成されているため、量はビッ
トで計算してから8で割ってバイトで表す
現在、半導体関連の機構(JEDEC)や国際規格で
KiB（キビ・バイト = 1024 B = 210 B）、
MiB（メビ・バイト = 220 B）、
GiB（ギビ・バイト = 230 B）、
TiB（テビ・バイト = 230 B）も使われる
26
13
記憶量の計算例
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
サンプリング周波数20 kHz、1データを4ビットでディ
ジタル化された信号を5分間保存するには最低何Mバ
イトのメモリが必要か
解答例： fS = 20 kHz のため、TS = 0.00005 s となる
n 
n 
n 
n 
5分は、300 s のため、その間に 300/0.00005 = 6000000 サンプ
ルがとれます
一つのサンプル（データ）に4ビットを使うため、6000000サ
ンプルに 6000000×4 = 24000000 ビット = 24000000/8 =
3000000 Bの量となる
1 MB = 220 B のため、上記の量は、3000000/220 = 2.86
約3 MB となる
27
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【27-31】
フルスケール5Vの信号を8ビットでAD変換すると最小
分解能（量子化精度）は約何mVか
解答例：nビットのAD変換器は(2n – 1)のレベルに信号
を分けるため、8ビットで255レベルができ、5V/255 =
19.607 mVのため、正解は 3)　である
28
14
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【27-32】
サンプリング周波数40kHz、１データを8ビットでディ
ジタル化された信号を10分間保存するには最低何Mバ
イトのメモリが必要か
解答例：サンプリングの40kHzで、25 us毎に一つのサ
ンプル（データ）をとるため、1 sで40k = 40×103 デー
タをとります
29
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【27-32】
解答例：... 1分（60 s）で2400×103データ、10分で
24×106データを取ります
1データを8ビット（1バイト=1B)のため、10分で
24×106 Bを記憶する必要があり、これは220で割ると、
22.88 MBとなり、メモリは約23 MBとなるため、正解
は 1)である
30
15
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
ME試験問題【32-38】
0～10Vの入力信号を8ビットで量子化するAD変換器が
ある。分解能はおよそ何Vか
解答例：nビットのAD変換器は2nのレベルに信号を分
けるため、8ビットで256レベルができ、10V/255 =
0.039V = 39.21 mV ≃ 40 mVのため、正解は 2)である
31
数値表現
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
10進数の位取り
58742.
一
の
位
十
の
位
百
の
位
千
の
位
万
の
位
浮動小数点
32
16
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
数値表現：基数展開
位を参考にすると、10を基数とする展開は下記の通り
となる
58742
50000 + 8000 + 700 + 40 + 2
5×104 + 8×103 + 7×102 + 4×101 + 2×100
33
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
数値表現
小数部をもつ数字も同様に展開できる
ただし、小数点の右に行くにつれて、1/10、1/100、
1/1000...の係数（負の累乗10-1、10-2、10-3...）は付く
43.61
40 + 3 + 0.6 + 0.01
4×101 + 3×100 + 6×10-1 + 1×10-2
34
17
数値表現
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
基数pのn桁の整数部およびk桁の小数部の数字Nの一般
表現は、以下のように表すことができる。
10進数と同様に基数展開もできる
N = dn-1dn-2dn-3dn-4…d1d0. d-1d-2…d-k (p)
小数点
35
数値表現
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
表現例
8724.25(10)
通常
0111.01(2)
2進数
7542.61(8)
8進数
AF2.9(16)
16進数
8724.25
36
18
2進数
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
n 
二つの記号：1と0しか使わない
電子回路（スイッチング回路、ブール代数）、計算機、
情報処理の分野などによく使われる
2進数の一つの桁は、ビット(bit : binary digit)という
1
0
37
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
8進数
やつの記号：0、1、2、3、4、5、6、7しか使わない
2進数と同様に電子回路（スイッチング回路、ブール
代数）、計算機、情報処理の分野などによく使われる
0　1　2　3　4　5　6　7
38
19
0
0
0
1
1
0
1
1
16進数
16個の値を表す
0から9までの値を、10進数と同様の記号を使うが、10
から15までの値を一つの記号で表すために、A、B、C、
D、E、Fの文字を使う
電子回路（スイッチング回路、ブール代数）、計算機、
情報処理の分野などによく使われる
n 
n 
n 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
＊：上記の英字は小文字でもよい
39
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
基数変換
他の基数から10進数への変換は最も簡単で、元の数字
の基数で展開して、加算で得られた値は10進数の値と
なる
N = dn-1dn-2dn-3dn-4…d1d0. d-1d-2…d-k (p)
dn-1·pn-1+dn-2·pn-2+…+d0·p0+d-1·p-1+…+d-k·p-k
40
20
基数変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
2進数から10進数への変換例
0111.01(2)
23
22
21
20
2-1
2-2 0 1 1 1 . 0 1
41
基数変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
2進数から10進数への変換例
0111.01(2)
8
4
2
1
0.5
0.25 0 1 1 1 . 0 1
42
21
基数変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
2進数から10進数への変換例
0111.01(2)
2進数
展開
0·23+1·22+1·21+1·20+0·2-1+1·2-2
合計
0·8 +1·4 +1·2 +1·1 +0·0.5 +1·0.25
10進数
0 + 4 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 7.25
43
基数変換
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
8進数から10進数への変換例
7542.61(8)
8進数
展開 7·83+5·82+4·81+2·80+6·8-1+1·8-2
合計 7·512 +5·64 +4·8 +2·1 +6·0.125 +1·0.015625
10進数 3584 + 320 + 32 + 2 + 0.75 + 0.015625 = 3938.765625
44
22
基数変換
0
0
0
1
1
0
1
1
16進数から10進数への変換例
n 
AF2.9(16)
16進数
展開 A·162 + F·161 + 2·160 + 9·16-1
合計 10·256 + 15·16 + 2·1 + 9·0.0625
10進数
2560 + 240 + 2 + .5625 = 2802.5625
45
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
基数変換：10進数を2進数へ
対象数字を順に2で割って余りを記録するだけで結果
が容易に得られる
例： 5591(10)を2進数への変換
1←2←5←10←21←43←87←174←349←698←1397←2795←5591(÷2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓
↓
↓
1 0 1 0 1 1 1
0
1
0
1
1
1
答え：1010111010111(2)
46
23
8進数を2進数へ：
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
8進数の各桁を2進数で表せば、変換ができる
例：7402(8)を2進数への変換
7
4
0
2
4 2 1
4 2 1
4 2 1
4 2 1
111
100
000
010
答え： 111100000010(2)
47
2進数を8進数へ：
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
8は23であるので、 2進数を3ビットずつ区切って、8進
数の各桁に対応させることで変換できる
例：111100000010(2)を8進数への（基数）変換
111
100
000
010
7
4
0
2
答え： 7402(8)
48
24
16進数を2進数へ：
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
16進数の各桁を2進数で表せば変換が容易にできる
例： f34a(16)を2進数への変換
f
3
4
a
49
16進数を2進数へ：
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
16進数の各桁を2進数で表せば変換が容易にできる
例： f34a(16)を2進数への変換
15
3
4
10
8 4 2 1
8 4 2 1
8 4 2 1
8 4 2 1
1111
0011
0100
1010
答え： 1111001101001010(2)
50
25
2進数を16進数へ：
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
16は24のであるので、2進数を4ビットずつ区切って、
16進数の各桁に対応させるだけで16進数が得られる
例： 1111001101001010(2)を16進数への変換
1111
0011
0100
1010
f
3
4
a
答え： f34a(16)
51
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
n 
基数変換：8進数を16進数へ
まず、2進数に変換する
得た2進数を16進数に変換する
例：7305(8)を16進数への変換
8進数
7
3
0
5
2進数
111
011
000
101
14
16進数
12
5
EC5(16)
52
26
基数変換：小数の表し方
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
n 
少数部を該当の基数で掛けて行く
例：次に、6862.8364(10)を2進数に変換する
n 
整数部：通常通り2で割って行く
1←3←6←13←26←53←107←214←428←857←1715←3431←6862 (÷2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓
↓
↓
1 1 0 1 0 1
1
0
0
1
1
1
0
整数部：1101011001110(2)
53
基数変換：小数の表し方
0
0
0
1
1
0
1
1
n 
例：次に、6862.8364(10)を2進数に変換する
n 
少数部：2で掛けた結果から整数の分を残して、操作を必要
な桁数まで繰り返す
2×0.8364 →1.6728
↓
1　2 ×0.6728 →1.3456
↓
1　2 ×0.3456 →0.6912
↓
0　2 ×0.6912 →1.3824
↓
1
2進数：1101011001110.1101(2)
54
27

Download Report