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赤阪正純 (htt銭グ nupri.web.fc2.com)
平方数の分類
平方数の分類
、
知ィι
3と
【
とτtイ啜1リス
よ
え
考
ヾ
整数全体は,ある数で割ったときの余りによって均等に分類されます
(1)
例えば 3で割った余りに注
目する
'7す
と,余りが 0,1,2の 3つのグループに分類されます
(1,4,9,16,25,… )に限って考えると,その分類はかなり特徴的なものになります
平方数を 3,4,5,8で割った余りについて下の表にまとめてみよう
しかし,平方数
ハυ
2
3
4
5
6
7
8
9
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
″ を 3で割った余り
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
ノを 4で割った余り
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
π2を
5で害」った余り
1
4
4
1
0
1
4
4
1
0
″2を 8で割った余り
1
4
1
0
1
4
1
0
1
4
π
2
この表から次のことがわかります
平方数を 5で割った余りは
異
力
免
。
瓶遭す
ぢ
彎射lゞ
ク…
π=3たのとき,″ =(3々 )2=9λ 2=3・
3た
2と
なり, ″ は 3で割り切れる
0か 1である
,
｀
写が
嗜たo惨ス
珍注合同式を用いないなら次のようになります
0か 1である
平方数を 4で割った余りは
ｒｌ
、︱、
ノ
1
π
0か 1か 4である
,
平方数を 8で割った余りは 0か 1か
,
4である
このように平方数を 3,4,5,8割った余りは極
(π
めて特徴的です
=3た ,
3た
+1, 3た
+2としても構いませス
ン)
したがって ,次のような式は全てあり得ないので
矛盾です
ごン
う′
v
■
れ ,π を整数とするとき
,
7712=3″
+2 =⇒
,
矛盾
7^フ ● (平方数を 3で割って余り2にはならないから
π 2=物
+3 =⇒
珍注逆も成立しますつまり
π2を 3で割ると余り0=⇒ ηが 3で割り切れる
″2を 3で割ると余り 1=⇒ ηが 3で割り切れない
)
「対偶」を考えれば簡単に証明できます
矛盾
奪)Rビ ∼ (平方数を 4で割って余り3にはならないから
)
」 >Pointく (平方数を 5で割った余り)一
πが 5で割り切れるとき
π2を 5で割ると余り0
,
平方数の 3,5による分類
πを 5で害」って余りが 1または 4のとき
″2を 5で割ると余り 1
,
Pointく (平方数を 3で割った余り
πが
πを 5で割って余りが 2または 3のとき
π2を 5で割ると余り 4
3で割り切れるとき
,
,
π2を 3で割ると余り 0
れが
3で害」り切れないとき
,
π =0(mod
3)のとき,π
π ≡ ± 1(mOd
3)の
2
≡ 0(mod
とき,π 2≡
0(mOd 5)
π三 ±1(mOd 5)のとき,π 2≡ 1(mOd 5)
π≡ ±2(mod 5)のとき,π 2≡ 4(mod 5)
π=0(mod
3)
5)の
とき
,
π2=(± 1)2≡
■
1
(mod 3)
冷nttt偶もと
tπ t葡キド静 nRで t司
珍注合同式を用いないなら,π
■
カンタ∼ン
=5た ,5た ± 1,
舶
り昧
″
議
π2を 3で割ると余り 1
赤阪正純 (httLグ nupri.web fc2 com)
5々
平方数の分類
± 2として ″ に代入して計算します (π =5た
,
(2)
″ 注特に最後の結果
+1,5た +2,5た +3,5々 +4としても構いま
せん)3で割った場合と全く同じなので,各自で
5た
(奇数 )2は
8で割ると余りが 1である
やっといてください
は,かなり頻繁に登場するので,これはこれで単独
2
で覚えておいたほうが良いでしょう
平方数の 4,8による分類
最後にもう一度,平方数の分類をまとめておこう
intく (平方数の分類
―)Pointく (平方数を 4で害」った余り)
πが偶数のとき,π 2を 4で割ると余り0
πが奇数のとき,π 2を 4で割ると余り 1
平方数を 3で割った余りは
,
0か 1である
平方数を 4で割った余りは
,
0か 1である
,
4である
,
0か 1か 4である
平方数を 5で割った余りは 0か 1か
平方数を 8で割った余りは
右Dは
ぉ∩武F
π=2たのとき,π 2=(2カ )2=4た 2となり
ヽ
ヽ
ttん
票
イ
じ
が
く
^争
ぅシリ/
π
,
2
この『平方数の分類』は,知っていると証明の見
は 4で割り切れる
通しが立ってとても便利なので,まずは結果を覚え
+1のとき
2=(2λ
π
+1)2=4た 2+4た +1
π=2カ
,
てください_なお,入試では証明なしで用いること
は避けたほうが良いでしょうそんなに大変な証明
となり,″ 2は 4で割ると 1余る
じゃないので ,いつでもすぐにできるようにしてお
こう
く(平方数を 8で割った余り
3
πが 4で害」り切れるとき
π2を 8で害Jると余り 0
,
()'“
入試問題紹介
『平方数の分類』をテーマにした人試問題の中か
πを 4で割ると 2余るとき
,
ら有名な問題を紹介します
″ を 8で割ると余り4
はちやんと証明してから使ってください,証明なし
のとき
,
で使うと必ず減点されると思います
ノを 8で害」ると余り 1
例題
ムnt
1。 4ぃ
1,,ノ
=(4々 )2=16た 2=8・
考え方
,
=8(2た 2+
券
二
2た
+4
)+4
π2は 8で割ると 4, 余る
2
￨￡ ii;2==4た +4カ
=2を
みたす整数 ″
+1
=4た (た +1)+1
模試の問題です当時,担任してた生徒がこの模試
を受けて「どうやって証明するか全く分からなかっ
た」と嘆いてましたが,僕は一見して「えっ,アタ
みなさんもそう思える
ようになってほしいです
ノー 5υ =2より,″ 2=5υ +2これは平
方数 ″2を 5で割ると余りが 2になることを表して
①
+1)は連続する 2整数の積だから偶数つま
り,4々 (々 +1)は 8の倍数となり,η 2は 8で割る
余りは 0か 1か 4に限られるので ,矛盾
と 1余る
与式をみたす整数 ″,υ は存在しない
た(々
.
,
これは入試問題ではなく,某大学の実戦
リマエやろ」と思いました
:[:力
π2
″2_5υ
2
π=4た +2のとき
2=(4々 +2)2=16た 2+16カ
1
が存在しないことを証明せよ
2た
となり,￨ π2は 8で害」り切れる
ん0式 lt π
せん
さ
(1、ヽ
なお,『平方数の分類』
を知っているものとして解答していますが,実際に
″が奇数 (つまりπを 4で割ると余り 1, 3)
π =4たのとき,ノ
_.
いるが,『平方数の分類』より,平方数を 5で割った
よって
,

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