灘中 10年第1日 1 2 3 4 6

灘中算数
灘中
灘進学教室
１０年
第１日
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（すべて類題）
６けたの整数ＡＢＣＤＥＦで、一番上の位の数字Ａを、一番下の位に移した数ＢＣＤＥＦＡが、元の数の３倍になるものは２つある。
このような数ＡＢＣＤＥＦのうち、大きい方
x
999999
また、
x を求めよ。
をできるだけ約分した分数を求めよ。
【解答】
①
整数ＢＣＤＥＦ＝
n
とすると
整数ＡＢＣＤＥＦ＝Ａ×１０００００＋
整数ＢＣＤＥＦＡ＝
n
n ×１０＋Ａ
② ②より
n ×１０＋Ａ＝（Ａ×１０００００＋ n ）×３
n ×７＝Ａ×２９９９９９
n ＝Ａ×４２８５７
③
n は５けたの整数だから
Ａ＝１または２
④
大きい方
xは
x ＝２×１０００００＋２×４２８５７＝２８５７１４
⑤
９９９９９９＝９×３×３７×７×１１×１３
x ＝２８５７１４＝９×３×２×１３×１１×３７
だから
x
２
=７
999999
１
次の
x を求めよ。
37 8 2
31 2 9 ÷
= 0 . 375
68 x
２
Ｎ君の家は
0 . 5 ヘクタールの田んぼを所有し、いねを育てている。
その家の田んぼでは、１年間で１０アールにつき 0 . 5 トンの米がとれ、Ｎ君の家はその米を１０ｋｇあたり４０００円で売っている。
利益はそのうち１２％であるとすると、Ｎ君の家が、とれた米をすべて売ることで１年間に得る利益は
万円である。
３
中学生の兄と小学生の弟が電車に乗って美術館に出かけた。出かけるときの所持金は、兄が弟の２倍で、往復の電車賃も、兄が弟の２倍だった。
美術館の入館料として、兄は弟より３００円多く支払い、弟は１００円の絵はがき１枚を買った。
帰ったときの２人の所持金は、兄が弟の５倍で、兄が弟に１００円わたすと等しくなった。
弟が支払った美術館の入館料は
円である。
４
３６００本の鉛筆を同じ本数のいくつかの束に分ける。
本ずつの束に分けた場合と比べると、１束の鉛筆を３本ずつ減らした場合の方が、束の数は６０だけ増える。
６
４けたの整数ＡＢＣＤを考える。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄには同じ数字があってもよいとする。
数字の並びを逆にしたＤＣＢＡがＡＢＣＤより大きい４けたの整数となるようなＡＢＣＤは全部で
また、ＤＣＢＡがＡＢＣＤと等しい４けたの整数となるようなＡＢＣＤすべての合計は
である。
個ある。
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第１日
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（すべて類題）
７
重さの異なる５種類のおもりがあり、その重さをそれぞれＡグラム、Ｂグラム、Ｃグラム、Ｄグラム、Ｅグラムとする。
測定するとＡ＋ＢはＣ＋Ｄ＋Ｅと等しく、Ａ＋ＤはＢ＋Ｃ＋Ｅより大きく、Ｂ＋ＤはＡ＋Ｃ＋Ｅより大きかった。
通りの可能性がある。
この結果から、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを大きい順に並べると
さらに測定を続けると、Ａ＋ＥはＢ＋Ｃと等しく、Ｂ＋ＥはＡ＋Ａ＋Ｃと等しかった。
以上の結果から、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを大きい順に並べると
となる。
８
１１で割ると小数第２位が３になり、１３で割ると小数第１位が６になる整数を考える。
このうち最も小さいものは
で、２番目に小さいものとの差は
である。
９
図のような平行四辺形ＡＢＣＤがある。
斜線をつけた３つの三角形の周の長さの和は、
斜線をつけていない２つの四角形と２つの三角形の周の長さの和より
ｃｍ短く、
また、斜線をつけた３つの三角形の面積の和は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の
倍である。
１０
図において、三角形ＡＢＥと三角形ＣＤＥはともに正三角形で、
Ａ、Ｃを結ぶ直線とＢ、Ｄを結ぶ直線は点Ｏで交わっている。
(1) ＯＡ＝８ｃｍ、ＯＢ＝５ｃｍ、ＯＣ＝１ｃｍのとき、ＯＤ＝
ｃｍである。
度である。
(2) 角アの大きさが２３度のとき、角イの大きさは
１１
平面上に１辺が１０ｃｍの正方形Ａがある。
2
この平面上で面積２ cm の正方形Ｂを正方形Ａの周から離れないように
動かすとき、正方形Ｂが通る部分の面積は
cm 2 である。
１２
図は、１辺が６ｃｍの正三角形から、１辺が１ｃｍのひし形３つを切り取って作られたものである。
この図形を、ＡＢ、ＢＣ、ＣＡを折り目として折り曲げ、ＵＡとＰＡ、ＱＢとＲＢ、ＳＣとＴＣを
それぞれはりあわせて、ふたのない容器を作る。
この容器の容積は、どの面も１辺が１ｃｍの正三角形でできた三角すいの体積の
１３
２つの直方体をはりあわせた、図のような立体がある。
これを、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で２つに分けたとき、
点Ｄを含む部分の体積は
cm3 である。
倍である。
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第２日
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（すべて類題）
１
Ａ、Ｂ、Ｃの３つの容器に同じ重さの食塩をそれぞれ入れ、さらに水を加えて食塩水を作った。ただし、加えた水は同じ重さとは限らない。
こうしてできた食塩水について、次のことが分かっている。
①
ＡとＢの食塩水全部を混ぜると、Ｃの食塩水と同じ濃さになる。
②
ＢとＣの食塩水全部を混ぜると、Ａの食塩水の２倍の濃さになる。
(1) Ａの食塩水の重さとＢの食塩水の重さの和は、Ｃの食塩水の重さの
倍である。
倍である。
(2) Ａの食塩水の重さは、Ｃの食塩水の重さの
(3) Ｂの食塩水に、さらに６００ｇの水を加えると、ＡとＣの食塩水全部を混ぜてできる食塩水と同じ濃さになった。Ｃの食塩水の重さを求めよ。
２
図のような形をした厚紙Ａ、Ｂ、Ｃがそれぞれ何枚かある。
ＡおよびＣの厚紙は点線で折り曲げ、
これらの厚紙を何枚かつなげて、立体を作る。
ここで、「つなげる」とは等しい長さの辺どうしをくっつけることである。
また、Ｃの厚紙の中で、等しい長さの辺どうしをくっつけてもよいとする。
つなげた辺でも必ず折り曲げ、他の部分では折り曲げないとする。
また、厚紙は裏返して使ってもよく、厚さは考えない。
(1) Ａの厚紙２枚とＢの厚紙１枚を使って、５つの面をもった立体を作る。
右の解答欄の図形に線や点線をかき加えて、この立体の見取図を完成せよ。
ただし、辺の見えている部分は線で、見えていない部分は点線でかくこと。
(2) Ａの厚紙２枚とＣの厚紙１枚を使って、７つの面をもった立体を作る。
解答欄の図形に線や点線をかき加えて、この立体の見取図を完成せよ。
ただし、辺の見えている部分は線で、見えていない部分は点線でかくこと。
(3) (2)の、７つの面で囲まれた立体の体積を求めよ。
３
数
(1)
①
(2)
x に対して、 x をこえない整数のうち、最も大きいものを [ x ] で表す。
次の計算をせよ。
20
2010
+
7
7
②
30
2000
+
7
7
次の計算をせよ。
20
30
40
2000
2010
+
+
+ ...... +
+
7
7
7
7
7
(3)
次の２０個の整数の中に、全部で何種類の整数があるか。
1×1
,
20
(4)
2× 2
20
,
3× 3
, ...... ,
20
20 × 20
20
次の２０１０個の整数の中に、全部で何種類の整数があるか。
1×1
,
68
2× 2
68
,
3× 3
, ...... ,
68
2010 × 2010
68
例えば、
[ 3 . 3 ]= 3 , [ 4 ]= 4 である。
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（すべて類題）
４
図１のようにＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを４つの頂点とし、
3
どの面も合同な正三角形でできている三角すいがあり、その体積は４０ cm である。
この三角すいの各辺の中点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊを結んで、
図２のように８つの面をもつ中身のつまった立体Ｐを作る。
立体Ｐの８つの面は合同な正三角形である。
(1) 立体Ｐの体積は
cm3 である。
(2) 立体Ｐが、２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に通過する部分の体積は、
立体Ｐの体積の
倍である。
(3) 立体Ｐが２点Ｉ、Ｊを通る直線のまわりに１回転する間に、
図３の斜線をつけた三角形ＥＦＩが通過する部分の体積を求めよ。
５
ある１０階建てのビルに、図１のような通路がある。この通路は、円柱の側面を洽うようにして、
１階の地点Ｐからその真上の１０階の地点Ｑまでつながっている。
円柱の側面の展開図は図２のようになっており、円柱のまわりを２周するとちょうど１階分のぼる。
Ａ君は地点Ｑを出発して一定の速さで通路を下り、２分１５秒で地点Ｐに着いた。
一方、Ａ君の出発と同時にＢ君は地点Ｐから一定の速さで通路をのぼり始めた。
その後、Ｂ君は地点Ｐの真上にある５階の地点Ｒで立ち止まり、少し休んだ。
Ａ君が地点Ｒに着くと同時に、Ｂ君は休む前よりゆっくり一定の速さで通路を再びのぼり始めた。
そして、Ａ君が地点Ｐに着くと同時に、Ｂ君は地点Ｐの真上にある７階の地点Ｓに着いた。
通路の幅や、人の大きさは考えない。
(1) Ａ君は通路を分速
ｍで進んだ。
(2) Ｂ君が地点Ｒを出発してから地点Ｓに着くまでの間に、
Ｂ君の真下にＡ君がいることが
秒おきに、全部で
回あった。
ただし、Ｂ君が地点Ｒを出発した瞬間と地点Ｓに着いた瞬間は除いて数える。
(3) Ｂ君が地点Ｐを出発してから地点Ｒに着くまでの間に、
Ｂ君の真上にＡ君がいることが、出発時を除いて全部で１３回あった。
このとき、Ｂ君がとった休みの時間は、何秒より長く、何秒より短いか。
ただしＢ君が地点Ｒに着いた瞬間、Ａ君はＢ君の真上にいなかったとする。

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