灘中算数 灘中 灘進学教室 09年 http://nadasingaku.com (すべて類題) 1つの面が赤、他の面が白のカードが合計6枚あり、次のように横1列に並べられている。 白 白 白 白 白 白 左にあるカードから順に、1番、2番、3番、4番、5番、6番と呼ぶことにする。 最初、これらのカードをすべて白の面が上になるように置いておく。 サイコロを投げて、出た目がAのとき、番号がA以下であるカードをすべて裏返す。 たとえば、サイコロを2回投げて、順に3、5の目が出た場合、上の面の色は次のように変化する 白 白 白 白 白 白 → 赤 赤 赤 白 白 白 → 白 白 白 赤 赤 白 (1) サイコロを3回投げて、順に1、3、6の目が出たとき、カードの上を向いている面の色は 最後はどのようになっていますか。 (2) サイコロを3回投げて、最後にカードの上を向いている面の色が、1番、2番、3番は赤、 4番、5番、6番は白となるような、サイコロの目の出方は何通りありますか。 ただし、サイコロの目の出る順序も区別します。 (3) サイコロを3回投げて、最後に赤の面が上を向いているカードがちょうど3枚であるような サイコロの目の出方は何通りありますか。ただし、サイコロの目の出る順序も区別します。 【解説】 (1) 裏返す回数は、左のカードから 3、2、2、1、1、1 偶数回(0、2)は白、奇数回(1、3)は赤 になるから 最後は 白 赤 白 赤 (2) 裏返す回数は、左のカードから 赤 赤 3、奇、奇、偶、偶、偶(左端は常に3=投げる回数) また、右に行くほど小さい数になる(理由:出た目A番から左はすべて裏返すから) 裏返す回数は次のいずれか 出た目の組合せ ① 3 3 3 2 2 2 → (6・6・3) ② 3 3 3 2 2 0 → (5・5・3) ③ 3 3 3 2 0 0 → (4・4・3) ④ 3 3 3 0 0 0 → (3・3・3) ⑤ 3 3 1 0 0 0 → (3・2・2) ⑥ 3 1 1 0 0 0 → (3・1・1) 場合の数は 全部で ④=1通り、④以外=3通り だから 1+3×5=16通り (2) (1)以外の場合を考えると、裏返す回数は、左端の3以外に奇数回が2つだから 裏返す回数は次のいずれか(1に注目!) ① 3 3 2 2 2 1 → (6・5・2) ② 3 3 2 2 1 0 → (5・4・2) ③ 3 3 2 1 0 0 → (4・3・2) ④ 3 2 2 2 1 1 → (6・4・1) ⑤ 3 2 2 1 1 0 → (5・3・1) ⑥ 3 2 1 1 0 0 → (4・2・1) ①∼⑥=6通り 全部で だから (2)の場合も含めて 16+6×6=52通り 灘中算数 灘中 灘進学教室 09年 http://nadasingaku.com (すべて類題) 3辺が3cm、4cm、5cmの直角三角形6つを図のように並べます。 A 問題の図 (1) ABは何cmか。 (2) CDは何cmか。 C 【解説】 (1) 問題の図の上半分に、青い線を加えた図1で考える ① △OAP=△OAM×2 D =(3×4÷2)×2=12 cm ② ③ 底辺 OP=5cm 高さ AH=12×2÷5= 2 より 48 3 =9 AB=AH×2= 5 5 24 cm 5 B 図1 A cm M (2) さらに青い線を加えた図2で考えましょう ① OA:ON=5:3 NR=AH× H P O より 3 = 7 2 = 2 2 2 cm 25 5 25 ② 台形QCSTで、 NはCQの中点(真ん中の点)だから 図2 A Q NRは、CSとQT(4cm)の平均になり NR=(CS+4)÷2 より CS=NR×2−4 ③ 22 44 ×2 4= =2 cm 25 25 88 13 =3 cm CD=CS×2= 25 25 N C S H R O T 灘中算数 灘中 灘進学教室 09年 http://nadasingaku.com (すべて類題) 1 1 + 1 = 2 0 0 9 39 2 1 2 鉛筆180本を、A組の生徒全員に1人4本ずつ配ると何本か余った。 また、別の鉛筆200本を、B組の生徒全員に1人6本ずつ配るには何本か足りないので、 1人5本ずつ配ると何本か余った。 余った鉛筆を合わせると、A組、B組の生徒全員に ちょうど1人1本ずつ配ることができて、1本も残らなかった。 人である。 A組の生徒は 3 F A 図のような六角形がある。 2本の対角線でこの六角形を3つの部分に分ける分け方は、 全部で 通りある。 B E 4 C D A地点とB地点を結ぶ一本道がある。 この道に沿って、P君はA地点を出発しB地点まで、Q君はB地点を出発しA地点まで、 それぞれ一定の速さで歩く。2人は同時に出発し、途中ですれ違った。 すれ違ってから25分後にP君がB地点に到着し、さらにその24分後にQ君がA地点に到着した。 倍である。 P君の速さはQ君の速さの 5 図のような円板があり、円板の中心Oの周りを時計回りにそれぞれ一定の速さで回転し続ける 3本の針がついている。針が1回転するのにかかる時間は長い針から順に5分、8分、14分である。 ある時、3本の針がすべて重なった。 分後である。 次に3本の針がすべて重なるのは、その 6 9の倍数でなく、かつ各桁の数字に9を含まない1以上の整数の内、 (1) 999以下のものは ① 個ある。 (2) 小さい方から数えて、999番目の数は ② である。 7 ある整数Aから始めて、次の操作を何回も繰り返す。 操作 :2倍する。 ただし、2倍した数が150以上のときは、この2倍した数から100を引く 2倍した数が101以上149以下のときは、この2倍した数から50を引く 2倍した数が100以下のときは、この2倍した数のままにする たとえば、36から始めてこの操作を4回繰り返したとき、得られる数は順に 72、94、88、76 となる。 この操作を4回繰り返したとき、その結果が60になるような整数Aは、全部で ① また、この操作を101回繰り返したとき、その結果が60になるような整数Aのうちで 一番小さい数は ② である。 個ある。 灘中算数 灘中 灘進学教室 09年 http://nadasingaku.com (すべて類題) 8 D A 平行四辺形ABCDがあり、点E、Fは辺BCの3等分点、 点Gは辺CDの中点である。△AHGの面積は G 倍である。 平行四辺形ABCDの面積の H B C F E 9 図のように、点Aを中心とする半径3cmの円と、点Bを中心とする半径2cmの円が接している。 点C、Dは、点Bを中心とする円周上の点、点E、Fは、点Aを中心とする円周上の点であり、 3点A、E、Cは一直線上にあり、3点A、F、Dも一直線上にある。 倍である。 四角形ACBDの面積は、三角形AEFの面積の 10 図1は、半径1cmの2つの円板を点Aでくっつけた図形である。 図1 この図形を図2の直角三角形BCDの枠の中に置き、 この枠からはみ出さないように動かすとき、 点Aが動くことのできる範囲の面積は A cm 2 である。 B 図2 10cm 6cm C D 8cm 11 図の直線 l は、斜線部分を面積の等しい3つの部分に分けている。 このとき、ABの長さは A cm である。 6cm B 8cm 14cm 18cm 12 平らな地面に3点A、B、Pがあり、高さ3mの長方形の壁ABCDと高さ9mの柱PQが、地面に まっすぐ立っている。これらを真上から見たものが図2である。柱の先端Qの位置にある電灯で 壁ABCDを照らしたとき、地面にできる壁の影の面積は m 2 である。 ただし、電灯の大きさや壁の厚さは考えない。 13 図の四角すいOABCDは底面が正方形で、OA、OB、OC、ODの長さがすべて等しい。 各辺の中点を図のようにK、L、M、N、P、Q、R、Sとする。 この四角すいを、P、K、N、Rを通る平面、P、L、M、Rを通る平面、 S、K、L、Qを通る平面の3つの平面で切っていくつかの立体に分けるとき、 頂点Oを含む立体の体積は、もとの四角すいの体積の 倍である。 灘中算数 灘中 灘進学教室 09年 http://nadasingaku.com (すべて類題) 1 図1のような厚さ1cm、幅2cmの十分に長い直方体の材木がある。 これを、図1の斜線部分の面に平行な面でいくつかに切って、それらをはり合わせ、図2のような形の5つの板を作った。 ただし、図2の3段目から5段目までの板は、中央に穴があいている。さらに、これらをはり合わせて図3のような階段状の立体を作った。 図4は、この階段状の立体を真上から見た図であり、2本の点線上に5つの板の角がそろっている。 (1) 図2の5つの板を作るのに、 図1の材木の長さは最も短くて何cm必要か。 (2) 図3の階段状の立体全体の表面積を求めよ。 (3) 図3の立体を、2段目の3点ア、イ、ウを通る 平面で切って2つの立体に分ける。 1段目を含む立体の体積を求めよ。 2 異なる1けたの整数をいくつか選んで横一列に並べるとき、となり合う2つの整数について、 右側の数の方が大きいとき 、右側の数の方が小さいとき と表すことにする。 たとえば、1から4までの整数を1つずつ選んで4123と並べたとき、この並べ方は と表すことができる。 また、1から3までの整数を1つずつ選んだとき、 と表せる並べ方は132、231の2通りである。 (1) 1から4までの整数を1つずつ選んだとき、 と表せる並べ方は、次の5通りである。 (2) 1から5までの整数を1つずつ選んだとき (3) ① 35142のように、5が左から2番目にあり、 と表せる並べ方は、35142を含めて全部で何通りあるか。 ② と表せる並べ方は全部で何通りあるか。 1から6までの整数を1つずつ選んだとき、253614のように と表せる並べ方は、 253614を含めて全部で何通りあるか。 4 A地点とB地点があり、その間を一定の速さで進む「動く歩道」がある。 兄と弟がこの「動く歩道」を、A地点から同時にそれぞれ一定の速さで歩き始めた。 兄が4歩歩く間に弟は3歩歩き、弟の歩幅は48cmで兄の歩幅の0.8倍である。 兄はちょうど80歩でB地点に着き、弟は兄より16秒遅れてB地点に着いた。 もし、この「動く歩道」が止まっていたならば、兄はA地点からB地点までちょうど112歩で歩く。 (1) この「動く歩道」の速さは毎秒何cmか。 (2) 弟は「動く歩道」をA地点からB地点まで何歩で歩いたか。
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