灘中算数 灘中 灘進学教室 ０９年 http://nadasingaku.com （すべて類題） １つの面が赤、他の面が白のカードが合計６枚あり、次のように横１列に並べられている。 白 白 白 白 白 白 左にあるカードから順に、１番、２番、３番、４番、５番、６番と呼ぶことにする。 最初、これらのカードをすべて白の面が上になるように置いておく。 サイコロを投げて、出た目がＡのとき、番号がＡ以下であるカードをすべて裏返す。 たとえば、サイコロを２回投げて、順に３、５の目が出た場合、上の面の色は次のように変化する 白 白 白 白 白 白 → 赤 赤 赤 白 白 白 → 白 白 白 赤 赤 白 (1) サイコロを３回投げて、順に１、３、６の目が出たとき、カードの上を向いている面の色は 最後はどのようになっていますか。 (2) サイコロを３回投げて、最後にカードの上を向いている面の色が、１番、２番、３番は赤、 ４番、５番、６番は白となるような、サイコロの目の出方は何通りありますか。 ただし、サイコロの目の出る順序も区別します。 (3) サイコロを３回投げて、最後に赤の面が上を向いているカードがちょうど３枚であるような サイコロの目の出方は何通りありますか。ただし、サイコロの目の出る順序も区別します。 【解説】 (1) 裏返す回数は、左のカードから ３、２、２、１、１、１ 偶数回（０、２）は白、奇数回（１、３）は赤 になるから 最後は 白 赤 白 赤 (2) 裏返す回数は、左のカードから 赤 赤 ３、奇、奇、偶、偶、偶（左端は常に３＝投げる回数） また、右に行くほど小さい数になる（理由：出た目Ａ番から左はすべて裏返すから） 裏返す回数は次のいずれか 出た目の組合せ ① ３ ３ ３ ２ ２ ２ → （６・６・３） ② ３ ３ ３ ２ ２ ０ → （５・５・３） ③ ３ ３ ３ ２ ０ ０ → （４・４・３） ④ ３ ３ ３ ０ ０ ０ → （３・３・３） ⑤ ３ ３ １ ０ ０ ０ → （３・２・２） ⑥ ３ １ １ ０ ０ ０ → （３・１・１） 場合の数は 全部で ④＝１通り、④以外＝３通り だから １＋３×５＝１６通り (2) (1)以外の場合を考えると、裏返す回数は、左端の３以外に奇数回が２つだから 裏返す回数は次のいずれか（１に注目！） ① ３ ３ ２ ２ ２ １ → （６・５・２） ② ３ ３ ２ ２ １ ０ → （５・４・２） ③ ３ ３ ２ １ ０ ０ → （４・３・２） ④ ３ ２ ２ ２ １ １ → （６・４・１） ⑤ ３ ２ ２ １ １ ０ → （５・３・１） ⑥ ３ ２ １ １ ０ ０ → （４・２・１） ①∼⑥＝６通り 全部で だから (2)の場合も含めて １６＋６×６＝５２通り 灘中算数 灘中 灘進学教室 ０９年 http://nadasingaku.com （すべて類題） ３辺が３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形６つを図のように並べます。 Ａ 問題の図 (1) ＡＢは何ｃｍか。 (2) ＣＤは何ｃｍか。 Ｃ 【解説】 (1) 問題の図の上半分に、青い線を加えた図１で考える ① △ＯＡＰ＝△ＯＡＭ×２ Ｄ ＝（３×４÷２）×２＝１２ cm ② ③ 底辺 ＯＰ＝５ｃｍ 高さ ＡＨ＝１２×２÷５＝ 2 より 48 3 =9 ＡＢ＝ＡＨ×２＝ 5 5 24 ｃｍ 5 Ｂ 図１ Ａ ｃｍ Ｍ (2) さらに青い線を加えた図２で考えましょう ① ＯＡ：ＯＮ＝５：３ ＮＲ＝ＡＨ× Ｈ Ｐ Ｏ より 3 = 7 2 = 2 2 2 ｃｍ 25 5 25 ② 台形ＱＣＳＴで、 ＮはＣＱの中点（真ん中の点）だから 図２ Ａ Ｑ ＮＲは、ＣＳとＱＴ(４ｃｍ)の平均になり ＮＲ＝（ＣＳ＋４）÷２ より ＣＳ＝ＮＲ×２−４ ③ 22 44 ×2 4= ＝2 ｃｍ 25 25 88 13 =3 ｃｍ ＣＤ＝ＣＳ×２＝ 25 25 Ｎ Ｃ Ｓ Ｈ Ｒ Ｏ Ｔ 灘中算数 灘中 灘進学教室 ０９年 http://nadasingaku.com （すべて類題） １ 1 + 1 = 2 0 0 9 39 2 1 ２ 鉛筆１８０本を、Ａ組の生徒全員に１人４本ずつ配ると何本か余った。 また、別の鉛筆２００本を、Ｂ組の生徒全員に１人６本ずつ配るには何本か足りないので、 １人５本ずつ配ると何本か余った。 余った鉛筆を合わせると、Ａ組、Ｂ組の生徒全員に ちょうど１人１本ずつ配ることができて、１本も残らなかった。 人である。 Ａ組の生徒は ３ Ｆ Ａ 図のような六角形がある。 ２本の対角線でこの六角形を３つの部分に分ける分け方は、 全部で 通りある。 Ｂ Ｅ ４ Ｃ Ｄ Ａ地点とＢ地点を結ぶ一本道がある。 この道に沿って、Ｐ君はＡ地点を出発しＢ地点まで、Ｑ君はＢ地点を出発しＡ地点まで、 それぞれ一定の速さで歩く。２人は同時に出発し、途中ですれ違った。 すれ違ってから２５分後にＰ君がＢ地点に到着し、さらにその２４分後にＱ君がＡ地点に到着した。 倍である。 Ｐ君の速さはＱ君の速さの ５ 図のような円板があり、円板の中心Ｏの周りを時計回りにそれぞれ一定の速さで回転し続ける ３本の針がついている。針が１回転するのにかかる時間は長い針から順に５分、８分、１４分である。 ある時、３本の針がすべて重なった。 分後である。 次に３本の針がすべて重なるのは、その ６ ９の倍数でなく、かつ各桁の数字に９を含まない１以上の整数の内、 (1) ９９９以下のものは ① 個ある。 (2) 小さい方から数えて、９９９番目の数は ② である。 ７ ある整数Ａから始めて、次の操作を何回も繰り返す。 操作 ：２倍する。 ただし、２倍した数が１５０以上のときは、この２倍した数から１００を引く ２倍した数が１０１以上１４９以下のときは、この２倍した数から５０を引く ２倍した数が１００以下のときは、この２倍した数のままにする たとえば、３６から始めてこの操作を４回繰り返したとき、得られる数は順に ７２、９４、８８、７６ となる。 この操作を４回繰り返したとき、その結果が６０になるような整数Ａは、全部で ① また、この操作を１０１回繰り返したとき、その結果が６０になるような整数Ａのうちで 一番小さい数は ② である。 個ある。 灘中算数 灘中 灘進学教室 ０９年 http://nadasingaku.com （すべて類題） ８ Ｄ Ａ 平行四辺形ＡＢＣＤがあり、点Ｅ、Ｆは辺ＢＣの３等分点、 点Ｇは辺ＣＤの中点である。△ＡＨＧの面積は Ｇ 倍である。 平行四辺形ＡＢＣＤの面積の Ｈ Ｂ Ｃ Ｆ Ｅ ９ 図のように、点Ａを中心とする半径３ｃｍの円と、点Ｂを中心とする半径２ｃｍの円が接している。 点Ｃ、Ｄは、点Ｂを中心とする円周上の点、点Ｅ、Ｆは、点Ａを中心とする円周上の点であり、 ３点Ａ、Ｅ、Ｃは一直線上にあり、３点Ａ、Ｆ、Ｄも一直線上にある。 倍である。 四角形ＡＣＢＤの面積は、三角形ＡＥＦの面積の １０ 図１は、半径１ｃｍの２つの円板を点Ａでくっつけた図形である。 図１ この図形を図２の直角三角形ＢＣＤの枠の中に置き、 この枠からはみ出さないように動かすとき、 点Ａが動くことのできる範囲の面積は Ａ cm 2 である。 Ｂ 図２ 10cm 6cm Ｃ Ｄ 8cm １１ 図の直線 l は、斜線部分を面積の等しい３つの部分に分けている。 このとき、ＡＢの長さは Ａ cm である。 6cm Ｂ 8cm 14cm 18cm １２ 平らな地面に３点Ａ、Ｂ、Ｐがあり、高さ３ｍの長方形の壁ＡＢＣＤと高さ９ｍの柱ＰＱが、地面に まっすぐ立っている。これらを真上から見たものが図２である。柱の先端Ｑの位置にある電灯で 壁ＡＢＣＤを照らしたとき、地面にできる壁の影の面積は m 2 である。 ただし、電灯の大きさや壁の厚さは考えない。 １３ 図の四角すいＯＡＢＣＤは底面が正方形で、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤの長さがすべて等しい。 各辺の中点を図のようにＫ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓとする。 この四角すいを、Ｐ、Ｋ、Ｎ、Ｒを通る平面、Ｐ、Ｌ、Ｍ、Ｒを通る平面、 Ｓ、Ｋ、Ｌ、Ｑを通る平面の３つの平面で切っていくつかの立体に分けるとき、 頂点Ｏを含む立体の体積は、もとの四角すいの体積の 倍である。 灘中算数 灘中 灘進学教室 ０９年 http://nadasingaku.com （すべて類題） １ 図１のような厚さ１ｃｍ、幅２ｃｍの十分に長い直方体の材木がある。 これを、図１の斜線部分の面に平行な面でいくつかに切って、それらをはり合わせ、図２のような形の５つの板を作った。 ただし、図２の３段目から５段目までの板は、中央に穴があいている。さらに、これらをはり合わせて図３のような階段状の立体を作った。 図４は、この階段状の立体を真上から見た図であり、２本の点線上に５つの板の角がそろっている。 (1) 図２の５つの板を作るのに、 図１の材木の長さは最も短くて何ｃｍ必要か。 (2) 図３の階段状の立体全体の表面積を求めよ。 (3) 図３の立体を、２段目の３点ア、イ、ウを通る 平面で切って２つの立体に分ける。 １段目を含む立体の体積を求めよ。 ２ 異なる１けたの整数をいくつか選んで横一列に並べるとき、となり合う２つの整数について、 右側の数の方が大きいとき 、右側の数の方が小さいとき と表すことにする。 たとえば、１から４までの整数を１つずつ選んで４１２３と並べたとき、この並べ方は と表すことができる。 また、１から３までの整数を１つずつ選んだとき、 と表せる並べ方は１３２、２３１の２通りである。 (1) １から４までの整数を１つずつ選んだとき、 と表せる並べ方は、次の５通りである。 (2) １から５までの整数を１つずつ選んだとき (3) ① ３５１４２のように、５が左から２番目にあり、 と表せる並べ方は、３５１４２を含めて全部で何通りあるか。 ② と表せる並べ方は全部で何通りあるか。 １から６までの整数を１つずつ選んだとき、２５３６１４のように と表せる並べ方は、 ２５３６１４を含めて全部で何通りあるか。 ４ Ａ地点とＢ地点があり、その間を一定の速さで進む「動く歩道」がある。 兄と弟がこの「動く歩道」を、Ａ地点から同時にそれぞれ一定の速さで歩き始めた。 兄が４歩歩く間に弟は３歩歩き、弟の歩幅は４８ｃｍで兄の歩幅の０.８倍である。 兄はちょうど８０歩でＢ地点に着き、弟は兄より１６秒遅れてＢ地点に着いた。 もし、この「動く歩道」が止まっていたならば、兄はＡ地点からＢ地点までちょうど１１２歩で歩く。 (1) この「動く歩道」の速さは毎秒何ｃｍか。 (2) 弟は「動く歩道」をＡ地点からＢ地点まで何歩で歩いたか。
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