論理学辞・事典に向けて (1)
| 論理と含意と推論 |
Toward Dictionary/Encyclopedia of Logics
中島 信之
NAKAJIMA, Nobuyuki
はじめに
1
よばれる論理式の変形操作に還元する．また，推論規
則を適用する出発点として「公理系」とよばれるいく
『ファジィ論理のほとんど全て』[4] も何とか仕上
がったし，お次は『論理学辞・事典』の番だぞ | と
つかの論理式を用意する．こういった一連の作業ない
し得られたもの（構造物）を論理の形式化という．
いうことなんだけど，今のところすぐにどうこうする
論理の定式化（論理体系を定義する）には，よく知ら
元気はない．しばらくはのったりくったりしていよう
れたようにヒルベルト流とゲンツェン流とがある（こ
と思っている．
のほかに，自然演繹がある）．古森ら [3]，第 1 章（と
『論理学辞・事典』は書物として出すのではなく，
ホームページに載せ，随時更新していこうと思ってい
る．いまはまだだが，次に新たにしたときに更新日を
入れるつもりである．アドレスは
http://w01.tp1.jp/ sr11283374/
くに 1.2 節）を参考にした．ゲンツェン流は 35 ペー
ジ以降．
なお記号が若干入り乱れている3 ので，以下では，論
理記号の含意を ¾ に，`推論（含意）する' を ) に統
一する．
1
です ．
さて | ．
ヒルベルト流 は複数箇の公理とただ 1 つの推論規
『ファジィ論理のほとんど全て』を著しているとき
則4 | 分離規則 Modus ponens | とからなる．古典
（あるいはもっと前）から気になっていたのが，含意の
2 値論理で 3 箇（ウカシエヴィッツ），直観論理で 9 箇
の公理からなる．
問題であり，推論の問題であった．ファジィ論理の一
翼をになうクリーネの論理には（少なくとも今わかっ
ている範囲で）含意がない．含意をもたないクリーネ
の論理は論理としては失格なのか？ | そういえば量
子論理には含意がない，と竹内先生の著『線形代数と
量子力学』[7]（p.136）にもあったな．でも竹内先生
は「量子論理」とよんでおられる．
「量子論理に含意が
ないんだけど…」と村井さん（北大）に話したら，
「不
等号（≦）があれば含意もありますよ．
」ということ
だった．ホンマかいな．
答えが得られるかどうかわからぬが，考えるだけで
も考えてみよう．
（幸い？）時間ならいくらでもある2 ．
ゲンツェン流
¡ ) § なるかたちをしたシーケン
ト sequent（推件式）で構成される．ここで ¡ と § は
論理式の列である．
ゲンツェン流は 1 箇の公理 ® ) ® と複数箇の推論
規則（推論図）とからなる．® ) ® を「公理」とよん
でいいのかどうかわからぬ5 ．竹内 [7] は，
「（推論は）
D =) D なる形から出発する．
」（p.119）と書く．あ
るいは，古く（1956 年）は「始式」とよんでいた（竹
内 [6]，p.33）．
ゲンツェン（1909-45）がシーケント計算を提起し
たのは古典論理と直観論理に対してで（それぞれ LK
および NJ と名づけた），量子論理は未だ視野に入っ
2
論理の形式化
まずは，論理の形式化から | ．
〔Wikipedia の「論理の形式化」より〕論理式の意
味に立ち入らず，証明・演繹の過程を「推論規則」と
1 FSS
のときは「sr」を落としていました。失礼しました．
年後の金婚式までは生きていたいと思っている．
この思いがかなえば，少なくとも 8 年という時間がある．
2 今のところ，8
ていなかった．含意をもたない量子論理の形式化には
ヒルベルト流は使えないが，ゲンツェン流なら可能で
ある．
古典論理の形式化 LK は，構造に関する推論規則 7
3 パラパラッと見た範囲では含意は ¾ または !（竹内 [6] は `）
で，`推論（含意）する'（あるいは論理的帰結）をは ` または !
または ) で表されている．混乱のもとは ! であろうか．
4 もう 1 つ，代入規則をくわえる場合もある．
5 細井 [2] は公理とよんでいる（p.151）．
箇（割増，縮約，交換がそれぞれ 2 箇，切断が 1 箇），
論理記号，含意 ¾ に関する推論規則 2 箇からなる（直
観論理については，構造に関して 4 箇，含意 ¾ に関
して 2 箇，計 6 箇からなる）．
3.2
そも，量子論理とは
同書の 110 ページ以降が「付録 量子論理への誘い」
である．
「量子力学の論理を量子論理と呼ぶことにすれば，量
ゲンツェンの定理（LK の基本定理）
式 S が LK
において証明可能ならば，S は三段論法（カット）を
用いないでも LK で証明可能である．
竹内は，
「この定理は論理について成立する美しい法
則であって，現在まで人類が論理について得た法則の
中では比べるもののないほど偉大なものに思われる．
」
（[6]，p.40）と書く．
子論理は，真理値が真と偽と二つだけに限らない論理
の一つの代表的な例と考えることができる．
」
（p.114）．
量子論理の定義（p.115）
さて，量子論理を数学的に定義することにする．ヒ
ルベルト空間6
を一つ固定して，おのヒルベルト空
間の閉線形部分空間の全体を
とかいて，
を量子
論理という．
には容易に積・和・補を定義することができる
（積は共通部分空間，和は和集合を含む最小の閉線形
量子論理
3
部分空間，補は直交空間）．詳しくは同書をご覧いた
さて，含意をもたない「論理」について考えてみよ
だきたく．
は束になる（p.117）が，モジュラ則7 を満たさず
う．まず，量子論理から | ．
量子論理については，竹内氏の『線形代数と量子力
（p.120），したがって分配束でない（p.121）．
学』[7] が大いに参考になった，というか，この書です
べてを学んだ．以下引用ページはすべて本書である．
3.3
推論規則
含意をもたなくても量子論理は論理である． わた
3.1
「量子論理に→（ならば）がないこと」
しは何となく（根拠もなく）論理に含意は欠かせない，
と思いこんでいた．でもよく考えると，論理（学）は
これは 136 ページにある見出しである．この見出し
につづいて本文で，
推論の学だから，推論があればよいのじゃないか．推
論は含意だけから生じるのではない．量子論理は含意
「人によっては，量子論理で，もうすでに
A =) B
はないけど，推論（「～を含意する」）をもつので，確
かに論理なのだよな．
を
Wikipedia の「推論規則」には全部で 10 箇の推論規
A5B
によって定義したと思われるかも知れない．これは間
則があげられている8 ．このうち含意を用いている前
違っている．A =) B を定義したことは，A ! B と
件肯定 Modus ponens，後件否定 Modus tollens，否
いう論理演算を定義することとはまったく異なったこ
定導入9 と仮言三段論法の 4 つと，述語論理の普遍例
とである．たとえば上の A =) B の定義からは．
化と存在汎化を除くと，つぎの 4 つが残る．すなわち，
(A ! B) ^ (B ! C)
とかいたときの ! が何であるか
また
:(A ! B)
とかいたときの ! が何であるか全然わからないので
ある．したがって A =) B を定義しても A ! B は
二重否定の除去：::P ` P
二重否定の導入：P ` ::P
選言三段論法：P _ Q; :P ` Q
導出：l _ P; :l _ Q ` P _ Q
である．
定義されていない．
量子論理で ! がないということの意味を正確に表
現すると，次のようになる．! についての基本的性質
は次の二つの法則であるが，量子論理については，こ
の二つの条件を満たす論理演算 ! は存在しない．
（１）A; A ! B =) B が成立する．
（２）A; B =) C が成立するときは B =) A ! C
が成立する．
」（pp.136{7）
3.4
量子論理の形式化
量子論理
は 5 したがって ^ と _ について束に
なっている（p.117）．
6 ユークリッド空間を一般化したもの．無限次元も可能である．
7A 5 B
ならば A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ C をモジュラ
則という．
8 これ以外にもあると思うが，よく知らない．
9 P !? ` :P .
量子論理は束である．わたしはこういうとき，
「人間
は動物である」という例を考える．①人間は動物がも
つすべての性質をもつ．②人間は一般の動物がもたな
い性質（言語や道具をあつかう）をもつ．
したがって，①量子論理は束が満たす性質をすべて
満たす．②量子論理は一般の束が満たさない性質を満
たす，ということである．
まず，量子論理は含意をもたず，束も（一般に）含
意をもたない．含意がなければその形式化にヒルベル
ト流は使えない．可能なのはゲンツェン流である．
千谷さんの『ファジィの数学的基礎』[8] は `持って'
いたけれど，公費で買ったものだから，現在手元にな
い．不便なもんです．
しかたがないので富山大学の図書館まで出かけて11 ，
久しぶりに読んだ．それによると，竹内{千谷が定義
したのが直観主義ファジィ論理 IFL で，直観論理の体
系 LJ に 4 つの IF 公理と 1 つの IF 推論規則をくわえ
て得られる（p.97）．
IFL に 3 つの数演算：
束の形式化 は 119 ページにあった．始式 D =) D
_ = minf1; x + yg
x+y
と，12 箇の推論図（増左，増右，換左，換右，減左，
xy_ = xy
減右，三段論法（× 2），^ 左，^ 右，_ 左，_ 右）と
_ =1¡x
¡x
で定められる．
上の①により，量子論理はいま紹介した束の形式化
を満たす．だが，②は上記以外の性質を量子論理は満
たしているはずである．竹内は「さて，量子論理で成
立する，すべての正しい命題は，どのように表される
をつけくわえた論理を千谷はファジィ論理 FL とよん
だ（p.123）．
_ とで代数は
IFL の演算 ^; _ といまつけくわえた ¡
_ と ¢ が余分にくわわっ
クリーネ代数になる．FL は +
であろうか？」とみずから問い，
「残念ながら……現在
ている．この点に目をつぶれば，得られた FL は |
のところ未解決の問題である．
」と自答し，
「現在のと
ほぼ | 完備ハイティング代数＋クリーネ代数である．
IFL の公理と推論規則にくわえて，千谷は全部で 47
ころえられている最良の結果は次のような貧弱なもの
箇の公理を提案した12 ．ひょっとしたらこのあたりに
である．
」と述べ，
「もし ¡ ¡! ¢ が : を含まないならば，¡ ¡! ¢
ヒントがあるかもしれない．
が量子論理で成立することの必要十分条件は，上の論
理体系で証明できることである．すなわち ¡ ¡! ¢ が
量子論理で成立することと，¡ ¡! ¢ がが全ての束で
成立することとは同等である．
」
6
おわりに
また 1 つ賢くなった．この歳（75 歳）になって賢く
と書く．さらに，二重否定の法則，排中法則，2 つの
なれるというのは，幸せだとも（われながら）スゴい
ド・モルガンの法則が成り立つ（以上，p.120）．
とも思うが，裏を返せば，こんな簡単なことに気がつ
かなかったということで，何と愚かなことだったか，
とも思う．
4
含意をもたない論理
これまで調べた範囲でも，たとえばクリーネ（のファ
ジィ）論理も含意をもたない10 ．もしクリ－ネのファ
ジィ論理を形式化しようとすれば，ゲンツェン流によ
るしかなかろう．
クリーネ代数も束だから，前節で解説した束の形式
化を当然満たす．ここまでは量子論理とおなじ．
参考文献
[1] G. Berkho®, J. V. Neumann，The logic of quantum
Mechanics, Annal. Math., 37, 823-843, 1936
[2] 細井勉，情報科学のための論理数学，日本評論社, 1992
[3] 古森雄一，小野寛晰，現代数理論理学序説，日本評論
社，2010
ここから先は量子論理と分かれて独自の道を行かね
[4] 中島信之，ファジィ論理のほとんど全て，三恵社，2015
ばならない． | だが（むろん）わたしの手にあまる．
[5] 小野寛晰，講座 数理論理学 (3)，情報処理，20，1979
（Wikipedia による）
どなたか若い人に任せるとしよう．
[6] 竹内外史，数学基礎論，共立出版，1956
[7] 竹内外史，線形代数と量子力学，裳華房，1981
5
直観主義的ファジィ論理との接点
そういえば | といま思い出したが | 千谷慧子さ
んの「直観主義的ファジィ論理」というのがあったな．
10 近藤氏はクリーネ論理に含意を
`定義' したのだが……．
[8] 千谷慧子，講座ファジィ第 1 巻 ファジィの数学的基
礎，日刊工業新聞社，1992
11 といっても，歩いて片道
40 分程度です．
12 昔たずねたところ，成立している式をすべて公理とした．これ
らのなかから独立なものを選び出す作業は，いずれ必要かもしれな
いが，将来の問題です，とのことだった．
雑談をいくつか
定年退職後，何もしないのはよくなかろうと，妻と
ブラジル＝ポルトガル語の勉強を始めた13 ．ポルトガ
今回は発表内容が最初の目論見よりあまりに少な
ル語は，ラテン系語特有（？）の，動詞の変化がメチャ
かったので，余白を雑談で埋めようと思う．ご免をこ
クチャ多い．それやこれやでモノにならないままポル
うむります．
トガル語の勉強はおしまいになった．ところが今になっ
てみると，大学で 2 年間学んだドイツ語の論文よりも
フランス語の論文のほうが読みやすくなっていた．
何でこの本を
フランス語・ドイツ語の論文はおいとくとして |
持ち物を処分するのが苦手なので，もっているもの
は大方引っ越しのたびにもって動いた．本，とくに数
学関係の本もそうだった．ときどき眺めて，
「何でこの
本をもってるのかなあ。」と思う本が何冊かある．結
構どの本も，そのときそのときの役に立っているのが
不思議だ．
今までで一番むつかしかった英語の論文 は，何と
いっても『あいまいさの系譜』の第 17 章（第Ⅱ部
資料篇）で紹介した哲学の一連の論文に尽きる．同書
の自序でも書いたが，著者の 1 人は，
「わかりやすく書
こうとすればできないことはないが，そうしたら読者
はすーっと読み進んでしまうだろう．読者にゆっくり
竹内の『数学基礎論』[6]
と考えてもらうには，わざとぎくしゃくした文章にせ
この本を，いつどこでどうして買ったかははっきり
ざるをえない．
」なんてうそぶく．東大の一ノ瀬教授の
している．裏の見開きに「36.6.22
旭屋にて購入」と
あるからだ．この年（1961 年）の 4 月に，2 年の教養
課程を終えて，数学科に進学したばかりで，数学を勉
強するんだから，当然基礎は大事だ，ということで訳
もわからずに購入したもんだった．読み始めたけど，
何が書いてあるやらさっぱりわからなかった．……そ
れが今になって，
「含意と論理と推論」を調べるのに，
何を書かれているのか少しわかり始めてきた．面白い
ものだ．
学生さんたち（といっても大学院の）のゼミでの発表
文を頼りにお茶を濁したものだった．
わたしの論文の読み方
英語の書・論文だけではないが，読んで右から左に
わかるものは少数派である．そういう書・論文をどう
読んだらいいか．
わたしは，わかってもわからなくてもどんどん読
む……とにかく目を走らせる．そうすると，著者が何
をいいたいのか，ぼんやりとわかってくる．一通り目
岩村聯の『束論』（共立出版，1966 年）
を通し終えたら，もう 1 度読む（目を通す）．だいた
この書に関しては，いつどこで何のために購入した
い 2，3 度目を通すと，どのあたりをていねいに読め
かは不明である．1968 年に 2 刷りが出ているので，そ
ばいいかわかってくるし，おおよそ著者のいいたいこ
れよりあとなのは確かである．
とも何とか見当がついてくるもんです，はい．
この書も，t-ノルムについて調べたときも，クリー
ネ代数ないしクリーネのファジィ論理について考える
ときもずいぶんお世話になった．そんなとき，
「なんで
僕はこの本をもっているんだろうな。」なんて独りご
ちたものだ．
ついでながら，Birko® の『Lattice Theory』（1940
続編を期待しますといわれても
『ファジィ論理のほとんど全て』を注文いただいた方
から，送付後，入金しましたという通知メールに「続
編も期待しています。」とあった．
年）も，昔何かのおりに 1 冊丸ごとコピー・製本して
そういわれてもねえ | 本篇を書くのに 9 年かかっ
もっていたが，
『t-ノルムの全て』をまとめたあと，ど
た．その伝でいくと，続篇は 2024 年発行ということ
うも処分してしまったらしい．最近になって，富山大
になる．ま，それはそれとして，定年退職すると最新
の数学教室にあったのをふたたび全冊コピーした．コ
の情報から遮断されてしまうことが問題だ．目隠しさ
ピーは自腹だから，年金生活者にはこたえた．
れているような状態でどうせえというんだ．
論文の読み方
ファジィ論理ないし論理学一般について勉強しよう
［問い合わせ先］
中島 信之
930-0077 富山市磯部町 2-1-24
TEL & FAX:076-493-2104
と思ったら，日本語や英語はもちろんフランス語・ド
イツ語の論文を読む必要があった．
13 富山には日系ブラジル人たちがたくさん来ています．
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