カ イ 2乗 検定 9-1 カ イ 2乗 検 定 一 般 に,帰 無仮説 の 下 で あ る検 定統計 量 が χ2分 布 に従 う場合 ,こ の検 定 を カ イ 2乗 検定 とい う名 で よぶ ことが 多 い 。カイ 2乗 検 定 には,適 合度検定 や分 割表 での独立性 の検定 な どが ある。 9… 2 適合度検 定 母 集 団 は互 い に排 反 な た個 の 級 Cl,C2,° …,Cた に分 れ て い る とし,こ の母 集 団 か ら 1個 の標 本 を とる とき,そ れが Cl,C2,° ,Cた に入 る確 率 を 夕1,夕 2, ん(ェ タ′ =1)と す る。い ま,母 集 団 か ら η個 の標 本 を とる とき,そ れ ら 0,Cた が Cl,… に入 る観 測度 数 を πl,π 2,… ° ,多 た(ュ πJ=π )と すれ ば,こ れ ら ° 級 に入 る期待度 数 はπl=π 少1,多 2=の 2,… ,2た =の たとな る。 … 0,夕 観測度数 期待度数 この とき , 帰 無仮 説 島 :母 集 団 の 各級 の 確 率 (ま た は確 率 分布 )は κ=夕 た 0 夕1=夕 lo,夕 2=夕 20, °… ,夕 である の検 定 に ,検 定統 計 量 として 131 9 132 2=二 χ カイ 2乗 検定 =』 が 使 われ る。この統計量 は 多が大 き く,各 %Jが 5以 上 で あれ ば 島 の下 で近 2分 似 的 に 自由度 ν=カ ー1の χ 布 に従 う。この検 定 を適 合度検 定 とい う。有 意 水準が α%の この検定 の棄却域 は u-k-lAx 2>χ ′ (た -1) χ で与 えられる . 期待度数の計算 で,母 集団の未知母数 を推定する ことが必要な場合 には,推 定 O χ:(ん -1) され る母数 が ε個 な らば,こ の ときのカイ 2乗 検定 の棄却域 は 2>χ ′ (ヵ ―ε-1) χ となる。 9-3 独 立 性 の検 定 π個 の標本 を 2つ の属性 ∠,3に よって,次 の よ うな 2元 表 に分割 す る.こ こで ,π ′ Jは 級 (∠ J,島 )に 入 る標 本 の個 数 で ,こ の表 は r× s分 割 表 とよばれ る.分 類 に用 い る属性 は定性的 な もので も定量的 な もので もよい e γ×s分 割表 η γ2 %。 1 %。 2 1個 の標 本 が 級 Tlts ηl. Tlzs η20 π rs πr. ・・・ 2・ s (∠ π J. π π "' ..' 一 一 π llzz 御 ｓ Σ月 一 ｒ ΣＨ 一 /l,n ll'zt 計 〓 lltt Bs 衡 ″ ΣＨ B2 ， π ′ ¨ ２ 計 Bl 中 力月 羽一 Ｓ ス ス ．︰ ４ 沢 η J,島 )に 入 る確 率 を 夕JJ,級 ∠Jに 入 る確 率 を 沙 ,級 BJ J。 ,3が 独 立 に入 る確 率 を 夕.Jと す る。ここで検 定 す べ き仮 説 は,2つ の 属性 ∠ で ある とい う仮説 ,す なわち P(五 〃o:夕 ″=夕 J。 ・ 夕 J J∩ BJ)=P(∠ J)P(3J)で ,こ れ は (グ =1,2,…・,γ , 0,s) ;ノ =1,2,… で表 され る.〃0が 真 の下 で級 (4J,島 )に 入 る標本 の期待度数 π′ Jは 多 ″ =け で与 え られ る.よ って,〃。を検定 す る統計量 は , 例 題 ｓ Σ月 ｒ ΣＨ 〓 ２χ _り し″ 133 )2 η J.π .J π で ,π が 十 分 大 き い な らば,〃 0が 真 の と き,こ れ は近 似 的 に 自由 度 ν=(γ -1)(s-1)の χ2分 布 に従 う。よって,こ の カイ 2乗 検 定 の有 意水準 α%の 棄 去日 珂tは 2>χ 多((γ -1)(s-1)) χ 2× 2分 害Jtt γ=s=2の 場合 を 2× 2分 割表 とい う。この とき χ2は ,次 の 式 にな る。 2= (α +b)(ε +グ )(α +ε )(b+グ 2× 沢 32 αtt b グ ε十グ b+グ αtt σ 計 計 ｂ α ε 1 42 ) 2分 割表 Bl ス イエーツの補 正 - bc)' n(ad χ η 2× 2の 分害J表 で期待度数 が小 さい場合 には χ2分 布 へ の 近似 をよくするために,÷ だけず らして 2=Σ Σ J=lJ=1 χ (lπ 一 π ″ ガ ト÷ )2 π JJ を使 うのが よい とされて い る。これ をイエー ツの補 正 とい う。 例 題 例題 1 (一 様分布の適合度検定) 観測者 が測 定器具 の 目盛 りを読 む とき,最 後 の桁 の数字 は 目測 で判読 さ れ る。その際 ,特 定 の数字 を好 む傾 向 の あ る ことが 指適 され て い る。い ま , 200個 の数字 について,次 の結果 が得 られた.こ の観 測者 は特 別 な数字 を 好 む傾 向が あるだ ろうか .5%有 意水準 で検定 せ よ。 最後 の桁 の数字 観測度数 0123 32 16 456789 18 19 17 25 11 計 16 30 16 200 134 解 9 カィ 2乗 検定 この場合 の帰無仮説 として は「観測者 は特別 な数字 を好 む傾 向 を もたな い」 を とるのが 適 当 で ,観 測者 が 最後 の桁 の 数字 を グと読 む確 率 を 夕Jと す る と,こ の仮説 は 島。 =夕 1=… =夕 9=士 :夕 で表 される。鳳)が 真 であれば,期 待度数 は明 らかに Tt,t: ltb to:200" + _ 20 で あるか ら,観 測度数 ηJと 期待度数 πJを 表 に して示す と 0123456789 よって 32 16 18 19 17 25 11 16 30 16 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 , = ノ=平 ν=10-1=9,α +… 十 =0。 05.χ 2分 =社 ・十 6 布表 よ り χ 5(9)=16.92.ゆ えに,棄 却域 は 2>16.92 χ デー タか ら求 めた χ2の 値 20。 `.。 6は 棄却域 に入 るか ら,〃0は 棄却 され る。 したが って,こ の 観 測者 には特 別 な数字 を好 む傾 向が あ る とい え る。実 際 この観測者 は 0と 8を 好 む よ うで ある。 例題 2 (適 合度検定 ) 人 間 の血 液 型 は 4種 類 で ,そ の構 成比 率 は ,2:夕 2+2夕 σ:γ 2+2α γ:2夕 γ で あ る とい う。ただ し 夕+α +γ =1.い ま,あ る職 業 につ い て い る 770人 の血 液型 を調 べ て , 180, 360, 132, 98 なる観測度数 を得 た。これ よ り,仮 説 「 この職業人 の血 液型 の分布 は,夕 0。 4,α =0。 4,γ =0。 2で 定 まる構成比率 を もつ」 を検定せ よ 解 . 仮 説 が正 しい として 4種 類 の血 液 型 の期 待 度 数 を求 めれ ば 2=770× 0.42=123.2 πl=π σ π2=π (夕 2+2夕 α)=770× (0.42+2× 0。 4× 0.4)=369。 6 = , 例 題 %3=π (γ 2+2σ γ)=770× (0.22+2× 0.4× 0.2)=154。 0 π4=π (2夕 γ)=770× (2× 0.4× 0.2)=123。 2 観 測 度 数 と比 較 す る と , ノ= + + + =34.73 α=0。 05,ν =4-1=3.χ 2分 布表 よ り χ 5(3)=7.81.よ って棄却域 は 2>7.81 χ 2の は に入 ってい るか ら 値 棄却域 χ ,仮 説 は棄却 され る。したが って この職 業人 `.。 の血 液型 の分布 は仮説 が与 える構成比 率 とは異 なる もので ある。 (ポ アソン分布 の適合度検定 ) 大気 中 に浮遊 す るある微小 な物質 の量 を推定 す るた め,空 間内 にい くつ かの 点 を選 び,そ の 点 の まわ りの単位 体 積 内 の 粒 子 数 を計 測 す る。い ま 300点 を選 んで観測 した結果 ,つ ぎのデ ー タが得 られた。 (a)粒 子 の数 の平均 と分散 を求 め よ。 (b)こ のデー タにポア ソン分布 をあてはめ,そ の適合性 を調 べ よ . 0 1 2 3 4 5 6以 38 75 8954 20 19 5 粒子の数 観測度数 (a) 解 上 計 300 粒子数 を″ 度数 を /と す る と,平 均 は , F=Σ 分散 は s2=Σ ∬Jん π 0× 38+1× 75+… ・+6× 5 =警 ≒2。 07 ノん_∬ 2=02× 38+12× 75+… +62× 5,=(警 )2≒ 2。 04 平均 と分散 が ほぼ等 しい ので ,粒 子 の数 の分布 として ポア ソン分布 が予 想 さ れる . 9 136 カイ 2乗 検定 (b)粒 子の数 は ス=2.07の ポアソン分布 に従 う とい う帰無仮 説 の下 で,期 待度数 を次のように求 める。 計 値 ″ J子 ■ 確率 〆 斜 0.13 0.26 0.27 期待度数 =300× 確率 39 78 81 観測度数 38 75 89 0。 19 0.10 0.04 0.01 57 30 12 3 300 54 20 19 5 300 1.0 これ か ら ノ= +… 十 =)" ・十 2=9.39は この値 を超 えないか ら りχ 5(6)=12.59.χ 仮説は採択である。よって このデータはポアソン分布 に適合 している。 α=0.05,ν =7-1=6よ `.。 (2× 2分 割 表 ) ある会社 の社員 60名 に,タ バ コをす うかすわないか と,パ チ ンコをす るか しないか を調査 した。その結果 は次のようであつた。タバ コをす うこ ととパ チ ンコをする ことは独立 か どうかを 5%有 意水準 で検定せ よ . パ チ ンコ をす る タバ コをす う すわない 解 しな い 9 3 18 30 この 問題 の 帰 無仮 説 は,島 :タ バ コ とパ チ ン コ とは独 立 ,で あ る.島 の下 での期待度数 は パ チ ンコ 27× 12/60=5.4 33× 12/60=6.6 27× 48/60=21.6 33× 48/60=26.4 イ エー ツの補 正 を施 して カ イ 2乗 検定 を行 う . 例 137 題 観測度数 π 期待度数 π′ J l (lη J-2fl― o.5)2 ηJ― 物 ￨― o.5 π ′ 9 5。 4 3.6 3 6.6 3.1 0.445 3.1 0.364 18 21.6 -3.6 -3.6 30 26.4 3.6 3.1 1,780 3.1 1,456 計 4.045 α=0。 05,ν =1よ りχ&05(1)=3.84で あるか ら,棄 却域 は χ2>3.84。 よって 帰 無仮説は棄却 される。したがってタバ コ とパ チンコは独立ではない . 例題 5(2× 4分 割表 ) アメ リカでの調査 による と,息 子が父親 の職業 と同 じ職 業 を選 ぶか どう か を調 べ て,次 の結果 を得 た。 父親 の職業 息子の職業 医者 銀行員 教員 弁護士 計 父 親 と 同 じ職 業 父親 と異 なる職業 34 166 27 123 28 152 19 81 522 計 200 150 108 「息子 の職業選択 と親 の職業 とは独立 で あ る」 とい う仮 説 を 5%有 意水準 で検定せ よ . 解 これは 2× 4分 割表 での独立性の検定の問題である。 各枡の期待度数 を求めると , ‰ = =鴫 物 3= πa= 物 =Щ =晰 = =nL よつて期待度数の表 は z 物 2= =%ム 物 4= =Щ 物が =24& 解が =認 Ю 9 138 34.3 165。 7 25。 7 30。 9 17.1 124.3 149。 1 82.9 カイ 2乗 検定 これ か ら ‐…+ 十 = ノ=耳 =0。 64 5(3)=7.81で あ るか ら,仮 説 は棄 却 され な い。 自由度 ν=(2-1)(4-1)=3,χ したが って 息子 の職 業選択 に親 の職業 は関係 しない。 `Ю 9章 の 問 題 9。 1 乱数 サイを 200回 実際 に振 つて,次 の結果 を得 た .こ の乱数 サ イ は正 しい と認 め られ るか。 目の数 度数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 計 26 27 20 13 19 19 15 19 27 15 200 次 の表 は 100個 の 乱 数 の 標 本 で あ る とい わ れ て い る。0か ら 9ま で の 各 数字 の 度 数 は その期 待 度 数 と有 意 に異 な るか 。5%有 意 水 準 で 検 定 せ よ。 9.2 35230 66852 50395 59228 28896 48780 00845 39797 86339 57380 92264 95450 41210 66273 91350 52137 02829 62316 46155 16031 9。 3 次 の表 は 10騎 馬 兵 団 の 20年 間 の記 録 で ,馬 に け られ て 死 ん だ 兵 士 の 数 で あ る。 これ は Bortkewitchに よって 集 め られ ,Fisherが 引 用 した 有 名 な例 で あ る。 これ に適 当 な ポ ア ソ ン分布 をあて は め ,そ の 適 合 性 を論 ぜ よ。 死者 の数 兵団数 0 1 2 3 4 109 65 22 3 計 1 200 9.4 流行性 感 冒 の予 防注射 の効 果 を調 べ るた め,流 行性 感 冒 にかか つた 人 とかか らなか つた人 について ,そ れ ぞれ予防注射 を したか ,し なか つたか を きき,次 の結果 を得 た.こ の予 防注射 は流行性感 冒 の予 防 に効 果 が あ る とい え るか◆1%有 意水準 で検定 せ よ。
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