補足 C デタラメさ最大から生まれるフィボナッチ数

補足 C デタラメさ最大から生まれるフィボナッチ数
堀部（1987）による議論を紹介する。
2 要素からなる対象の内の一つの事象の出現確立が p である場合，n 個の球が壺に入っていて，うち
pn 個は赤で，番号 1，2，…，pn がつき，残りの qn 個(q=1—p)は白で，やはり 1，2，…，qn と番号がつ
いている。このようなことがわかっているとして，壺から球 1 個を無作為に抽出するき，その球の≪色
と番号の両方」を予測するときの不確かさは log n であるが，≪色を知らされて番号≫を予測するとき
の不確かさは平均 p log(pn) + q log(qn)である。だから≪色だけ≫を予測するときの不確かさは，
log n—(p log(pn)+q log(qn))
= -plog p - (1- p)log(1- p)
となるべきである。こうして，色の分布(p, 1—p)の不確かさ（エントロピー）を H(p, 1—p)で表せば
H(p, 1- p) = -plog p -(1- p)log(1- p)で与えられることになる。
二つの要素を「短」と「長」とするとき，次に「短」が出現するか「長」が出現するかの不確かさ，
エントロピーH は，H(p, 1—p)である。ここで，
「短」は 1 単位の時間を，「長」は 2 単位の時間を費やし
て出現するから，その出現には平均 p・1+(1-p)・2=2-p 時間が費やされる。そこで，単位時間あたりの
エントロピーは
F(p) =
H(p,1- p)
2- p
となる。これを最大化する条件は
1
p
log - log
p
1- p
F'( p) =
=0
(2 - p)2
となる。これから
1
p
=
p 1- p
が得られる。この p を満足する値こそ黄金数（黄金比）τ，したがってフィボナッチ数を満足すること
になる。通常この比τは ( 5  1) 2 と書かれるが，これは 1 と比べた大きい方の値であり，大きい方を 1
とした黄金比は ( 5  1) 2 である。
単位時間のあたりのエントロピーが最大であることは，十分に長い一定時間間隔に出現するパターン
が最大になること，デタラメさが最大になること，最大の多様性が現れることを意味する。そのとき，
上に示した樹形の自由度が最大となり，現れる樹形が最も多様なパターンを持つ。
堀部安一（1987）
：
「黄金比とエントロピー」
，数理科学，No.294, pp.62-65.
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