(n ¡ 2)Ý(n ¡ r + 1)

1
2
n を自然数とする．数字 1 が書かれたカードが n 枚，数字 4 が書かれたカー
異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して並べる順列の総数
ドが 1 枚，4 が書かれたカードが 1 枚，合計 n + 2 枚のカードがある．これ
n Pr
ら n + 2 枚のカードから 2 枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字
の合計を得点とするが，引いたカードの中に 4 が書かれたカードが含まれ
= n(n ¡ 1)(n ¡ 2)Ý(n ¡ r + 1)
（ただし n = r = 1 ）
に関して以下の問いに答えよ．
る場合には，得点は 0 点とする．
1
( P
¡ P ) が成り立つことを示せ．
r + 1 k+1 r+1 k r+1
n+r Pr+1
(2) r Pr + r+1 Pr + r+2 Pr + Ý + n+r¡1 Pr =
が成り立つことを示せ．
r+1
(3) 次の等式がすべての自然数 k に対して成り立つような定数 A; B; C を求
(1) k > r ならば k Pr =
(1) 得点が 0 点となる確率，得点が 2 点となる確率，得点が 5 点となる確率を
それぞれ求めよ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
めよ．
(3) (2) で求めた期待値を an とおくとき，an+1 ¡ an の符号を調べることによ
k4 = k+3 P4 + A £ k+2 P3 + B £ k+1 P2 + C £ k P1
り，an が最大になる n をすべて求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
(4)
14 + 2 4 + 3 4 + Ý + n 4
を n の 3 次式で表せ．
1+2+3+Ý+n
（大阪府立大学 2015 ）
-1-
3
4
四面体 OABC が与えられており，各辺の長さが
OA = 2;
OB = 3;
OC = 3;
AB = 3;
BC = 2;
CA = 3
実数全体を定義域とする関数 f(x); g(x) をそれぞれ
f(x) = ex ;
であるとする．また，点 O，A，C を通る平面を ®，点 O，A，B を通る平
g(x) =
ex+1 + e¡x¡1
2
で定める．曲線 y = f(x) 上の点 (t; et ) における法線に関して，直線 x = t
面を ¯ とし，点 B を通り平面 ® に垂直な直線を g，点 C を通り平面 ¯ に垂
を対称移動した直線を ` とする．このとき，以下の問いに答えよ．
直な直線を h とする．
(1) ` の方程式を求めよ．
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
(1) 内積 OA ¢ OB，OB ¢ OC，OA ¢ OC を求めよ．
¡!
(2) 直線 g と平面 ® の交点を P，直線 h と平面 ¯ の交点を Q とするとき，OA，
¡! ¡!
¡! ¡!
OB，OC を用いて，OP，OQ を表せ．
(2) ` は曲線 y = g(x) に接することを示し，その接点の x 座標を求めよ．
(3) (2) で求めた接点を P とする．` と曲線 y = f(x)，および P を通り y 軸に
平行な直線で囲まれた部分の面積を S(t) とする．t が実数全体を動くとき，
(3) 直線 g と直線 h は交わることを示せ．また，直線 g と直線 h の交点を R と
¡! ¡! ¡!
¡!
するとき，OA，OB，OC を用いて，OR を表せ．
S(t) の最小値を求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
（大阪府立大学 2015 ）
5
n を自然数とする．数字 1 が書かれたカードが n 枚，数字 4 が書かれたカー
ドが 1 枚，4 が書かれたカードが 1 枚，合計 n + 2 枚のカードがある．これ
ら n + 2 枚のカードから 2 枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字
の合計を得点とするが，引いたカードの中に 4 が書かれたカードが含まれ
る場合には，得点は 0 点とする．
(1) 得点が 0 点となる確率，得点が 2 点となる確率，得点が 5 点となる確率を
それぞれ求めよ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
(3) (2) で求めた期待値を an とおくとき，an+1 ¡ an の符号を調べることによ
り，an が最大になる n をすべて求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
-2-
6
8
異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して並べる順列の総数
n Pr
= n(n ¡ 1)(n ¡ 2)Ý(n ¡ r + 1)
（ただし n = r = 1 ）
(¤)
に関して以下の問いに答えよ．
1
( P
¡ P ) が成り立つことを示せ．
r + 1 k+1 r+1 k r+1
n+r Pr+1
(2) r Pr + r+1 Pr + r+2 Pr + Ý + n+r¡1 Pr =
が成り立つことを示せ．
r+1
(3) 次の等式がすべての自然数 k に対して成り立つような定数 A; B; C を求
(1) (¤) が実数解をもち，それらがともに a 以上 b 以下であるための必要十分
条件を p; q についての連立不等式で表せ．
(2) (1) で導いた p; q についての連立不等式を満たす座標平面上の点 (p; q)
全体の集合を D とするとき，a; b を用いて D の面積を表せ．
めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
k4 = k+3 P4 + A £ k+2 P3 + B £ k+1 P2 + C £ k P1
14 + 2 4 + 3 4 + Ý + n 4
を n の 3 次式で表せ．
1+2+3+Ý+n
（大阪府立大学 2015 ）
7
x2 ¡ px + q = 0
について以下の問いに答えよ．
(1) k > r ならば k Pr =
(4)
a; b; p; q を実数の定数（ただし a < b ）とする．2 次方程式
a を正の定数とする．放物線 C : y = ax2 上の点 P(t; at2 )（ただし t Ë 0 ）
に対して，C の P での接線を m，P を通り，y 軸に平行な直線を v とする．
直線 m に関して v を対称移動した直線を ` とする．このとき，以下の問い
に答えよ．
(1) ` の傾きを，a; t を用いて表せ．
(2) ` の y 切片は t によらず一定であることを示せ．
（大阪府立大学 2015 ）
-3-
9
10 数直線上の座標 x に点 P があるとき，表と裏がそれぞれ
次の問いに答えよ．
(1) 次の文章の
貨 2 枚を 1 回投げて，点 P の位置を次のように決める．
に適する答えを記入せよ．
次のように 1 から 5 までの数字が書かれたカードを用意する．
1
2
3
4
1
の確率で出る硬
2
‘ 2 枚とも表が出たときは，座標 x + 1 に移動する．
’ 2 枚とも裏が出たときは，座標 x ¡ 1 に移動する．
5
“ 表と裏が 1 枚ずつ出たときは，移動しない．
それに次のように 4 の数字が書かれたカードを 1 枚加える．
1
2
3
4
5
点 P の最初の位置を座標 0 とする．硬貨 2 枚を 5 回投げ終わったときに，点
P が次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．
4
(1) 座標 4
この 6 枚のカードを 1 列に並べて 6 桁の整数をつくる．このとき，つくられ
(2) 座標 3
る相異なる整数の場合の数は
(3) 座標 0
なる整数の場合の数は
2
1
であり，その中で 5 の倍数となる相異
である．次に，この 6 枚のカードに 0 と書か
（大阪府立大学 2014 ）
れたカードを加えて 7 枚のカードにし，この 7 枚のカードを 1 列に並べる．
左端に 0 以外のカードが来ることによって 7 桁の相異なる整数になる場合の
数は
3
である．その中で，1 のカードと 2 のカードが隣りあう相異な
る整数の場合の数は
4
である．
(2) 次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
Z
x log(1 + x) dx
（大阪府立大学 2014 ）
-4-

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