(n¡2)Ý(n¡r+1)

1
n を自然数とする．数字 1 が書かれたカードが n
3
枚，数字 4 が書かれたカードが 1 枚，4 が書か
OA = 2;
四面体 OABC が与えられており，各辺の長さが
OB = 3;
OC = 3;
AB = 3;
BC = 2;
れたカードが 1 枚，合計 n + 2 枚のカードがあ
る．これら n + 2 枚のカードから 2 枚のカードを
であるとする．また，点 O，A，C を通る平面を
同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得
®，点 O，A，B を通る平面を ¯ とし，点 B を通
点とするが，引いたカードの中に 4 が書かれた
り平面 ® に垂直な直線を g，点 C を通り平面 ¯
カードが含まれる場合には，得点は 0 点とする．
に垂直な直線を h とする．
(1) 得点が 0 点となる確率，得点が 2 点となる確率，
得点が 5 点となる確率をそれぞれ求めよ．
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
(1) 内積 OA ¢ OB，OB ¢ OC，OA ¢ OC を求めよ．
(2) 直線 g と平面 ® の交点を P，直線 h と平面 ¯ の
¡! ¡! ¡!
交点を Q とするとき，OA，OB，OC を用いて，
¡! ¡!
OP，OQ を表せ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
(3) (2) で求めた期待値を an とおくとき，an+1 ¡an
の符号を調べることにより，an が最大になる n
をすべて求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
(3) 直線 g と直線 h は交わることを示せ．また，直
¡! ¡!
線 g と直線 h の交点を R とするとき，OA，OB，
¡!
¡!
OC を用いて，OR を表せ．
（大阪府立大学 2015 ）
2
異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して
並べる順列の総数
= n(n¡1)(n¡2)Ý(n¡r+1)
n Pr
（ただし n = r = 1 ）
に関して以下の問いに答えよ．
1
( P
¡ P )
r + 1 k+1 r+1 k r+1
が成り立つことを示せ．
n+r Pr+1
(2) r Pr +r+1 Pr +r+2 Pr +Ý+n+r¡1 Pr =
r+1
が成り立つことを示せ．
(1) k > r ならば k Pr =
(3) 次の等式がすべての自然数 k に対して成り立つ
ような定数 A; B; C を求めよ．
k4 = k+3 P4 +A£ k+2 P3 +B£ k+1 P2 +C£ k P1
(4)
14 + 2 4 + 3 4 + Ý + n 4
を n の 3 次式で表せ．
1+2+3+Ý+n
（大阪府立大学 2015 ）
-1-
C
4
6
実数全体を定義域とする関数 f(x); g(x) をそ
れぞれ
f(x) = ex ;
異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して
並べる順列の総数
g(x) =
ex+1 + e¡x¡1
2
= n(n¡1)(n¡2)Ý(n¡r+1)
n Pr
（ただし n = r = 1 ）
に関して以下の問いに答えよ．
で定める．曲線 y = f(x) 上の点 (t; et ) におけ
る法線に関して，直線 x = t を対称移動した直
1
( P
¡ P )
r + 1 k+1 r+1 k r+1
が成り立つことを示せ．
n+r Pr+1
(2) r Pr +r+1 Pr +r+2 Pr +Ý+n+r¡1 Pr =
r+1
が成り立つことを示せ．
(1) k > r ならば k Pr =
線を ` とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) ` は曲線 y = g(x) に接することを示し，その
(3) 次の等式がすべての自然数 k に対して成り立つ
接点の x 座標を求めよ．
ような定数 A; B; C を求めよ．
(3) (2) で求めた接点を P とする．` と曲線 y =
f(x)，および P を通り y 軸に平行な直線で囲ま
k4 = k+3 P4 +A£ k+2 P3 +B£ k+1 P2 +C£ k P1
れた部分の面積を S(t) とする．t が実数全体を
動くとき，S(t) の最小値を求めよ．
(4)
（大阪府立大学 2015 ）
5
14 + 2 4 + 3 4 + Ý + n 4
を n の 3 次式で表せ．
1+2+3+Ý+n
（大阪府立大学 2015 ）
n を自然数とする．数字 1 が書かれたカードが n
枚，数字 4 が書かれたカードが 1 枚，4 が書か
れたカードが 1 枚，合計 n + 2 枚のカードがあ
る．これら n + 2 枚のカードから 2 枚のカードを
7
a を正の定数とする．放物線 C : y = ax2 上の
同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得
点 P(t; at2 )（ただし t Ë 0 ）に対して，C の P
点とするが，引いたカードの中に 4 が書かれた
での接線を m，P を通り，y 軸に平行な直線を v
カードが含まれる場合には，得点は 0 点とする．
とする．直線 m に関して v を対称移動した直線
(1) 得点が 0 点となる確率，得点が 2 点となる確率，
を ` とする．このとき，以下の問いに答えよ．
得点が 5 点となる確率をそれぞれ求めよ．
(1) ` の傾きを，a; t を用いて表せ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
(2) ` の y 切片は t によらず一定であることを示せ．
(3) (2) で求めた期待値を an とおくとき，an+1 ¡an
（大阪府立大学 2015 ）
の符号を調べることにより，an が最大になる n
をすべて求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
-2-
8
a; b; p; q を実数の定数（ただし a < b ）とす
9
る．2 次方程式
(1) 次の文章の
(¤)
次の問いに答えよ．
に適する答えを記入せよ．
次のように 1 から 5 までの数字が書かれたカー
x2 ¡ px + q = 0
ドを用意する．
について以下の問いに答えよ．
1
2
3
4
5
(1) (¤) が実数解をもち，それらがともに a 以上 b
以下であるための必要十分条件を p; q について
それに次のように 4 の数字が書かれたカードを
の連立不等式で表せ．
1 枚加える．
(2) (1) で導いた p; q についての連立不等式を満
1
2
3
4
5
4
たす座標平面上の点 (p; q) 全体の集合を D と
するとき，a; b を用いて D の面積を表せ．
この 6 枚のカードを 1 列に並べて 6 桁の整数を
（大阪府立大学 2015 ）
つくる．このとき，つくられる相異なる整数の
場合の数は
1
であり，その中で 5 の倍数と
なる相異なる整数の場合の数は
2
である．
次に，この 6 枚のカードに 0 と書かれたカード
を加えて 7 枚のカードにし，この 7 枚のカード
を 1 列に並べる．左端に 0 以外のカードが来る
ことによって 7 桁の相異なる整数になる場合の
数は
3
である．その中で，1 のカードと 2
のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は
4
である．
(2) 次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省
略してよい．
Z
x log(1 + x) dx
（大阪府立大学 2014 ）
-3-
10 数直線上の座標 x に点 P があるとき，表と裏が
1
の確率で出る硬貨 2 枚を 1 回投げ
2
て，点 P の位置を次のように決める．
それぞれ
‘ 2 枚とも表が出たときは，座標 x + 1 に
移動する．
’ 2 枚とも裏が出たときは，座標 x ¡ 1 に
移動する．
“
表と裏が 1 枚ずつ出たときは，移動し
ない．
点 P の最初の位置を座標 0 とする．硬貨 2 枚を 5
回投げ終わったときに，点 P が次の位置にある
確率をそれぞれ求めよ．
(1) 座標 4
(2) 座標 3
(3) 座標 0
（大阪府立大学 2014 ）
-4-

Download Report