null

演習問題 1
解答
参考文献[3]の 5.2 節を見てください．
演習問題 2
手順１
解答
因子の割り付け
必要な線点図
手順２
データの構造式
x=
µ + a + b + c + d + f + g + h + (ab) + (ac) + (ah) + (bf ) + ε
ε ～ N (0, σ 2 )
手順３
データのグラフ化
1
手順４分散分析表の作成
Anova Table (Type II tests)
Response: data
Sum Sq Df F value
Pr(>F)
A
121.00 1 12.2532 0.024886 *
B
289.00 1 29.2658 0.005655 **
C
D
49.00 1
4.9620 0.089854 .
169.00 1 17.1139 0.014413 *
F
6.25 1
0.6329 0.470831
G
42.25 1
4.2785 0.107419
H
9.00 1
0.9114 0.393806
A:B
90.25 1
9.1392 0.039043 *
A:C
20.25 1
2.0506 0.225408
A:H
12.25 1
1.2405 0.327784
B:F
4.00 1
0.4051 0.559083
Residuals 39.50 4
（プ―リングのプロセス省略）
2
Response: data
Sum Sq Df F value
Pr(>F)
A
121.00 1 13.6338 0.006109 **
B
289.00 1 32.5634 0.000451 ***
C
49.00 1
D
5.5211 0.046703 *
169.00 1 19.0423 0.002401 **
G
42.25 1
4.7606 0.060685 .
A:B
90.25 1 10.1690 0.012825 *
A:C
20.25 1
2.2817 0.169353
Residuals 71.00 8
手順５分散分析後のデータの構造式
x = µ + a + b + c + d + g + (ab) + (ac) + ε
ε ～ N (0, σ 2 )
手順６最適水準の決定・点推定・区間推定（QCtools を利用）
最適水準は，𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 𝐷𝐷2 𝐺𝐺1
A B C
D G
fit
lwr
upr
1
l1 l1 l1 l1 l1 28.75 23.892316 33.60768
2
l2 l1 l1 l1 l1 20.75 15.892316 25.60768
3
l1 l2 l1 l1 l1 15.50 10.642316 20.35768
4
l2 l2 l1 l1 l1 17.00 12.142316 21.85768
5
l1 l1 l2 l1 l1 27.50 22.642316 32.35768
6
l2 l1 l2 l1 l1 15.00 10.142316 19.85768
7
l1 l2 l2 l1 l1 14.25 9.392316 19.10768
8
l2 l2 l2 l1 l1 11.25 6.392316 16.10768
9
l1 l1 l1 l2 l1 35.25 30.392316 40.10768
10 l2 l1 l1 l2 l1 27.25 22.392316 32.10768
11 l1 l2 l1 l2 l1 22.00 17.142316 26.85768
（省略）
3
最大値
演習問題 3
手順 1
解答
データの構造式
x = µ + a + b + c + d + f + (ab) + (ad ) + ε
ε ～N (0, σ 2 )
手順 2
交互作用の列
A × B …… [6]列，[7]列
A × D …… [8]列, [10]列
a × abc =
a 2bc … [10]列
a 2 × abc = a3bc = bc … [8]列（2 乗しても同じ，を利用）
手順 3
データのグラフ化
グラフで縦軸の範囲を揃えたいとき，
with(Dataset, plotMeans(x, A, D, error.bars="none", ylim=c(-10, 18)))
のように，ylim=c(最小値, 最大値)で指定する．
A× D
A× B
1
A× D
手順 4
分散分析表の作成
Anova Table (Type II tests)
Response: x
Sum Sq Df F value
Pr(>F)
A
380.07 2 4.3290 0.053194 .
B
1300.96 2 14.8180 0.002041 **
C
500.07 2 5.6958 0.028967 *
D
9.85 2 0.1122 0.895236
F
15.63 2 0.1780 0.840151
A:B
293.48 4 1.6714 0.248430
A:D
424.59 4 2.4181 0.133932
Residuals 351.19 8
分散分析表(1)より， B, C は有意となった． F , A × B は有意ではなく，p 値も大き
いので誤差にプールする． A, A×D は有意ではないが，p 値が小さいのでプールしな
い． D は F0 値が小さいが， A × D を残すのでプールしない．
Anova Table (Type II tests)
Response: x
Sum Sq Df F value
Pr(>F)
A
380.07
B
1300.96
C
500.07
D
9.85
2 0.1044 0.9015219
424.59
4 2.2506 0.1156908
A:D
2 4.0293 0.0414817 *
2 13.7919 0.0004903 ***
2 5.3014 0.0193195 *
Residuals 660.30 14
手順 5
分散分析後の推定のためのデータの構造式
x = µ + a + b + c + d + (ad ) + ε
ε ～N (0, σ 2 )
手順 6
最適条件における母平均の推定
2
A
B C
D
fit
lwr
upr
1
l1 l1 l1 l1 -17.7037037 -27.9243724 -7.48303497
2
l2 l1 l1 l1
-7.3703704 -17.5910391
2.85029836
3
l3 l1 l1 l1
-5.7037037 -15.9243724
4.51696503
4
l1 l2 l1 l1 -18.0370370 -28.2577058 -7.81636831
5
l2 l2 l1 l1
-7.7037037 -17.9243724
2.51696503
6
l3 l2 l1 l1
-6.0370370 -16.2577058
4.18363169
7
l1 l3 l1 l1
-3.1481481 -13.3688169
7.07252058
8
l2 l3 l1 l1
7.1851852 -3.0354835 17.40585392
（省略）
52 l1 l3 l3 l2
53 l2 l3 l3 l2
54 l3 l3 l3 l2
12.5185185
2.2978498 22.73918725
9.5185185 -0.7021502 19.73918725
17.1851852
6.9645165 27.40585392
55 l1 l1 l1 l3 -18.0370370 -28.2577058 -7.81636831
56 l2 l1 l1 l3
-0.7037037 -10.9243724
9.51696503
57 l3 l1 l1 l3 -11.7037037 -21.9243724 -1.48303497
58 l1 l2 l1 l3 -18.3703704 -28.5910391 -8.14970164 最適（最小値）
59 l2 l2 l1 l3
-1.0370370 -11.2577058
3
9.18363169
演習問題 4
手順 1
解答
データのグラフ化
（省略）
手順 2
データの構造式
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑗𝑗 + (𝑎𝑎𝑎𝑎)𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ～ N (0, σ 2 )
手順 3
𝑟𝑟𝑘𝑘 ～ N (0, σ R2 )
分散分析表
R Console に次を入力
> dat.aov = aov(強度 ~ A + B + A:B + Error(R), data=Dataset)
> summary(dat.aov)
Error: R
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 1
9.127
9.127
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
3 16.552
5.517
4.525 0.0267 *
B
2
6.453
3.227
2.646 0.1153
A:B
6 12.513
2.086
1.710 0.2084
Residuals 11 13.413
1.219
この結果を分散分析表に整理すると表 1 となる．
1
表 1 分散分析表(1)
要因
𝑅𝑅
S
9.127
ϕ
1
V
𝐹𝐹0
9.127
7.487
*
𝑝𝑝値
0.0194
σ 2 + 12 σ R2
*
0.0267
σ 2 + 6 σ 2A
E (V )
𝐴𝐴
16.552
3
5.517
4.525
𝐵𝐵
6.453
2
3.227
2.646
0.1153
σ 2 + 8 σ B2
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵
12.513
6
2.085
1.710
0.2084
σ 2 + 2 σ A2 × B
𝐸𝐸
13.413
11
1.219
58.058
23
計
σ2
分散分析表より， R および A が有意となった． A × B は有意ではなく，微妙であるが
𝑝𝑝値が 0.2 を超えているので誤差にプールする． B は有意ではないが𝑝𝑝値が 0.2 より小
さいのでプールしない． A × B をプールした分散分析表を作成すると次のようになる．
> dat.aov = aov(強度 ~ A + B + Error(R), data=Dataset)
> summary(dat.aov)
Error: R
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 1
9.127
9.127
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
3 16.552
5.517
3.618 0.0347 *
B
2
6.453
3.227
2.116 0.1512
Residuals 17 25.927
1.525
2
手順 4
推定のためのデータの構造式
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑗𝑗 + 𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ～ N (0, σ 2 )
𝑟𝑟𝑘𝑘 ～ N (0, σ R2 )
手順 5 最適水準・推定（点推定のみ）
> LinearModel.1 <- lm(強度 ~ A + B, data=Dataset)
のモデルに対して，QCtools の推定・予測を利用
A
B
fit
lwr
upr
1
A1 B1 11.88333 10.41742 13.34925
2
A2 B1 13.08333 11.61742 14.54925
3
A3 B1 14.11667 12.65075 15.58258
4
A4 B1 13.61667 12.15075 15.08258
5
A1 B2 12.98333 11.51742 14.44925
6
A2 B2 14.18333 12.71742 15.64925
7
A3 B2 15.21667 13.75075 16.68258
8
A4 B2 14.71667 13.25075 16.18258
9
A1 B3 12.98333 11.51742 14.44925
10 A2 B3 14.18333 12.71742 15.64925
11 A3 B3 15.21667 13.75075 16.68258
12 A4 B3 14.71667 13.25075 16.18258
（省略）
最適水準組合せは，𝐴𝐴3 𝐵𝐵2 または𝐴𝐴3 𝐵𝐵3 ．
3
演習問題 5 解答
手順 1
データの構造式
xijkl = µ + rl + ai + ε (1)il + b j + ck + (ab)ij + (ac)ik + (bc) jk + (abc)ijk + ε (2)ijkl
rl ：ブロック因子（反復） rl ～ N (0, σ R2 )
2
) に従う．
ε (1)il ：１次誤差． N (0, σ (1)
2
) に従う．
ε (2)ijkl ：2 次誤差． N (0, σ (2)
手順 2
データのグラフ化
図 1 伸びデータのグラフ
A, B, C の効果はありそうである． B × C については判然としない．
R, A×B, A×C はなさそうである．
1
手順 3
分散分析
> dat.aov = aov(強度 ~ A*B*C + Error(R/A), data=Dataset)
> summary(dat.aov)
Error: R
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 1 0.0625 0.0625
Error: R:A
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
2
Residuals 2
39.18 19.590
3.04
12.88 0.072 .
1.521
--Signif. codes:
0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
B
1
10.56
10.56 104.178 3.81e-08 ***
C
2 168.39
84.19 830.411 4.35e-16 ***
A:B
2
0.13
0.06
0.616
0.5530
A:C
4
0.07
0.02
0.171
0.9497
B:C
2
0.67
0.33
3.288
0.0655 .
A:B:C
4
0.46
0.11
1.130
0.3795
Residuals 15
1.52
0.10
1 次要因は１次誤差で，２次要因は２次誤差で検定する．その結果，𝐸𝐸(1) ，B，Cが有
意となった．また，𝐴𝐴，𝐵𝐵 × 𝐶𝐶は有意ではないが，p 値が小さいため無視しない．そこ
で， R を E(1) に， A × B ， A × C ， A × B × C を E(2) にプールして分散分析を行う．
> dat.aov = aov(強度 ~ A+B+C + Error(R:A), data=Dataset)
> summary(dat.aov)
Error: R:A
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A
2
Residuals 3
39.18 19.590
3.10
18.93 0.0199 *
1.035
---
2
Signif. codes:
0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
B
1
10.56
10.56
100.4 1.36e-10 ***
C
2 168.39
84.19
800.4 < 2e-16 ***
Residuals 27
手順 4
2.84
0.11
分散分析後のデータの構造式
xijkl = µ + ai + ε (1)il + b j + ck + (bc) jk + ε (2)ijkl
手順 5
最適水準・推定（点推定のみ）
> LinearModel.1 <- lm(強度 ~ A+B+C+B:C, data=Dataset)
> data.frame(dat, predict(LinearModel.2, newdata=dat,
int="c", level=0.95))
A
B C
fit
lwr
upr
1
A1 B1 C1 14.97222 14.55299 15.39146
2
A2 B1 C1 15.76389 15.34465 16.18312
3
A3 B1 C1 13.26389 12.84465 13.68312
4
A1 B2 C1 13.55556 13.13632 13.97479
5
A2 B2 C1 14.34722 13.92799 14.76646
6
A3 B2 C1 11.84722 11.42799 12.26646
7
A1 B1 C2 18.63889 18.21965 19.05812
8
A2 B1 C2 19.43056 19.01132 19.84979
9
A3 B1 C2 16.93056 16.51132 17.34979
10 A1 B2 C2 17.55556 17.13632 17.97479
11 A2 B2 C2 18.34722 17.92799 18.76646
12 A3 B2 C2 15.84722 15.42799 16.26646
（省略）
最適水準組合せは，𝐴𝐴2 𝐵𝐵1 𝐶𝐶2 である．
3
演習問題 6
(1)
解答
手順 1
データの構造式
手順 2
データのグラフ化
手順 3
分散分析表
Anova Table (Type II tests)
Response: 収率
Sum Sq Df F value
Pr(>F)
AF
325.69
2 40.8873 3.043e-05 ***
BF
594.64
2 74.6518 2.491e-06 ***
AF:BF
30.57
Residuals 35.84
4 1.9187
0.1915
9
1
手順 4
推定のためのデータの構造式
手順 5
最適水準・推定（QCtools を利用）
AF BF
fit
lwr
upr
1 4.5 20 72.75 69.55772 75.94228
2 5.5 20 78.65 75.45772 81.84228
3 6.5 20 67.50 64.30772 70.69228
4 4.5 30 84.20 81.00772 87.39228
5 5.5 30 93.40 90.20772 96.59228
6 6.5 30 82.95 79.75772 86.14228
7 4.5 40 83.70 80.50772 86.89228
8 5.5 40 85.85 82.65772 89.04228
9 6.5 40 76.25 73.05772 79.44228
(2)
> library(rsm)
> # コード化データの作成
> # コード化の式：x1 ~ (A - 5.5)/1,
x2 ~ (B - 30)/10
> dat = coded.data(Dataset, x1 ~ (A - 5.5)/1, x2 ~ (B - 30)/10)
> head(dat)
A
B 収率
AF BF
1 4.5 20 71.6 4.5 20
2 4.5 20 73.9 4.5 20
3 5.5 20 80.8 5.5 20
4 5.5 20 76.5 5.5 20
5 6.5 20 68.7 6.5 20
6 6.5 20 66.3 6.5 20
Data are stored in coded form using these coding formulas ...
x1 ~ (A - 5.5)/1
x2 ~ (B - 30)/10
2
> dat.rsm = rsm(収率 ~ SO(x1, x2), data=dat)
> summary(dat.rsm)
Call:
rsm(formula = 収率 ~ SO(x1, x2), data = dat)
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 92.23333
1.21708 75.7823 < 2.2e-16 ***
x1
-2.32500
0.66662 -3.4877 0.004482 **
x2
4.48333
0.66662 6.7254 2.117e-05 ***
x1:x2
-0.55000
0.81644 -0.6737 0.513298
x1^2
-8.07500
1.15463 -6.9936 1.447e-05 ***
x2^2
-9.40000
1.15463 -8.1412 3.142e-06 ***
--Signif. codes:
0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Multiple R-squared: 0.9351,
Adjusted R-squared:
F-statistic: 34.61 on 5 and 12 DF,
p-value: 1.001e-06
Analysis of Variance Table
Response: 収率
Df Sum Sq Mean Sq F value
FO(x1, x2)
PQ(x1, x2)
Residuals
2.42
2.420
0.4538
63.99
5.333
Lack of fit 3
28.15
9.382
Pure error
35.84
3.983
9
2.3557
Stationary point of response surface:
x2
-0.1522360 0.2429289
Stationary point in original units:
A
0.5133
2 614.26 307.131 57.5946 7.053e-07
12
x1
Pr(>F)
2 306.07 153.035 28.6979 2.674e-05
TWI(x1, x2) 1
0.9081
B
3
0.1399
5.347764 32.429289
Eigenanalysis:
$values
[1] -8.020192 -9.454808
$vectors
[,1]
[,2]
x1 -0.9807119 0.1954589
x2 0.1954589 0.9807119
交互作用をプールする．
> dat.rsm = update(dat.rsm, . ~ . - TWI(x1, x2), data=dat)
> summary(dat.rsm)
Call:
rsm(formula = 収率 ~ FO(x1, x2) + PQ(x1, x2), data = dat)
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 92.23333
1.19124 77.4263 < 2.2e-16 ***
x1
-2.32500
0.65247 -3.5634 0.003466 **
x2
4.48333
0.65247 6.8713 1.133e-05 ***
x1^2
-8.07500
1.13011 -7.1453 7.530e-06 ***
x2^2
-9.40000
1.13011 -8.3178 1.456e-06 ***
--Signif. codes:
0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Multiple R-squared: 0.9327,
Adjusted R-squared:
F-statistic: 45.04 on 4 and 13 DF,
0.912
p-value: 1.703e-07
Analysis of Variance Table
Response: 収率
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
FO(x1, x2)
2 306.07 153.035 29.9565 1.356e-05
PQ(x1, x2)
2 614.26 307.131 60.1206 2.695e-07
4
Residuals
13
66.41
5.109
Lack of fit 4
30.57
7.642
Pure error
35.84
3.983
9
1.9187
Stationary point of response surface:
x1
x2
-0.1439628 0.2384752
Stationary point in original units:
A
B
5.356037 32.384752
Eigenanalysis:
$values
[1] -8.075 -9.400
$vectors
[,1] [,2]
x1
-1
0
x2
0
1
> persp(dat.rsm, ~ x1 + x2)
最大値を与える A，B の値はそれぞれ，
5.356037 32.384752 である．
鳥瞰図，等高線図を作成すると右図となる．
5
0.1915

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