数学

第 1 章　式の計算
標準新演習　中２数学　指導のポイント
加法と減法⑴
1
◆指導ページ　P.6 ～ 9 ◆　【指導のねらい】
★単項式，多項式，次数について学ぶ。
★簡単な式の加減ができるようにする。
はじめに
学習内容・補足事項など
＜導入＞
学習１　単項式と多項式理解 ⇒Ａ１・２
1
本章は，中学 1 年で学習した文字式
・単項式
例　5a， 5 a，5
と特に関連の強い分野である。学習済
・多項式
例　5a ＋ 1，3a2 ＋ b
みである文字式での約束事項（×は省
・次数
例　5ab2 →次数は 3
く，計算の順序など）がしっかりと身
・式の次数例　5ab2 ＋ cd →式の次数は 3
についているか確認する必要がある。
・係数
例　5ab →係数は 5
また，本章で学習することは中学 3 年
例題
での学習内容にもつながるので，重要
▷　x ＋ y，a2，－ 6ab，a ＋ 1 のうちで，単項式と多項式のどちらか。
であると意識づけた上で指導したい。
単項式　a2，－ 6ab
この単元では，単項式，多項式，次
多項式　x ＋ y，a ＋ 1
数という言葉が新しく出てくる。まず
※ 1 つの文字や 1 つの数なども単項式である。
は，言葉の意味を正しく理解させたい。
▷　多項式 x2 － 7xy － 3 の項を答えよ。また，文字をふくむ項については，その文字の係数を
＜事前確認＞
学習１
単項式…数や文字について，乗法だけ
でできている式。
多項式… 2 つ以上の単項式の和の形で
できている式。
次数…単項式でかけ合わされている文
字の個数。
式の次数…多項式では，各項の次数の
うち，もっとも高いものを，その多
項式の次数という。
係数…文字の前についている数字。
学習２
同類項… 1 つの多項式で，文字の部分
が同じもの。
学習３
答えよ。
項　x2，－ 7xy，－ 3
x2 の係数　1
xy の係数　－ 7
※ x2 － 7xy － 3 ＝ x2 ＋（－ 7xy）＋（－ 3）と単項式の和の形にすると間違いが減る。
※ x2 については，1 × x2 だから，係数は 1 である。
■補足
多項式 3x2 － x2y ＋ y2 は 3 次式
3x2 は 2 次，－ x2y は 3 次，y2 は 2 次
もっとも高い次数（式の次数）は 3 次なので 3 次式。
学習２　同類項をまとめる　⇒Ａ３，Ｂ１
例題
▷　多項式 5x2 － 4x ＋ x2 ＋ 3x の同類項をまとめて簡単にしなさい。
5x2 － 4x ＋ x2 ＋ 3x
＝ 5x2 ＋ x2 － 4x ＋ 3x
5x2 と x2，－ 4x と 3x がそれぞれ同類項
＝（5 ＋ 1）x2 ＋（－ 4 ＋ 3）x
＝ 6x2 － x
式の加法・減法
学習３　式の加法・減法　⇒Ａ４，Ｂ２～４
・かっこをはずして同類項をまとめる。
例題
かっこの前が負の符号のとき，はず
▷　（3x ＋ 5y）＋（4x － 7y）
そのままかっこをはずす
し方に注意する。
＝ 3x ＋ 5y ＋ 4x － 7y
学習４
縦書きの計算
・同類項の位置をそろえる。
＝ 3x ＋ 4x ＋ 5y － 7y
＝（3 ＋ 4）x ＋（5 － 7）y
同類項をまとめる
＝ 7x － 2y
▷　（6a ＋ 2b）－（3a － 4b）
＝ 6a ＋ 2b － 3a ＋ 4b
＝ 6a － 3a ＋ 2b ＋ 4b
＝（6 － 3）a ＋（2 ＋ 4）b
そのままかっこをはずす
同類項をまとめる
＝ 3a ＋ 6b
学習４　縦書きの計算　⇒Ａ５
例題
▷ 3a ＋ 5b － 3
＋）
a － 2b ＋ 5
4a ＋ 3b ＋ 2
2a － 4b ＋ 5c
－）
3a － 2b － 2c
－ a － 2b ＋ 7c
※縦書きの加法では，縦にそろった同類項の上と下をたして，それぞれの和を下に書く。減法
では，ひく式の各項の符号を変え，加法になおす。
第 1 章　式の計算
標準新演習　中２数学　指導のポイント
加法と減法⑵
2
◆指導ページ　P.10 ～ 13 ◆　【指導のねらい】
★分配法則を利用した多項式の計算ができるようにする。
★分数形の式の加法・減法を身につける。
はじめに
＜導入＞
学習内容・補足事項など
学習１　多項式と数の乗法　⇒Ａ１，Ｂ１
前単元同様，中学 1 年の文字式を習例題
得していることが大切である。まず， ▷　4（2a ＋ 3b）
分配法則
分配法則が身についていることを確認＝ 4 × 2a ＋ 4 × 3b
しておきたい。
＝ 8a ＋ 12b
（
）
）
（
中学 2 年からは，文字を 2 種類以上 ▷　（8x － 4y）× － 1
2
扱う。同類項をまとめることを徹底さ
1
1
＝ 8x × － 2 － 4y × － 2
せたい。
かっこをはずす際にミスが起きやす＝－ 4x ＋ 2y
（
）
分配法則（符号に注意する）
い。途中式を丁寧に書くことで，式の
変化を意識させることが重要である。学習２　多項式と数の除法　⇒Ａ２，Ｂ１
分数形の式の加減では，方程式の計例題
算と混同してしまい，分母を消去して ▷　（10a － 15b）÷ 5
しまう間違いが発生する。方程式の計解法①　乗法の形になおす
1
算と文字式の計算との違いをしっかり（10a － 15b）÷ 5 ＝（10a － 15b）× 5
区別できるように示す必要がある。
＝ 2a － 3b
＜事前確認＞
解法②　各項を数でわる
10a 15b
（10a － 15b）÷ 5 ＝ 5 － 5
＝ 2a － 3b
学習１，
２
多項式と数の乗法・除法
・分配法則を利用する。
分配法則
a
（x ＋ y）
＝ ax ＋ ay
学習３
分配法則と式の加法・減法
①かっこをはずす。
②同類項をまとめる。
分配法則では符号に注意
学習４
分数形の式の加法・減法
乗法の形になおして計算する
各項を数でわる
学習３　分配法則と式の加法・減法　⇒Ａ３，Ｂ３・４
例題
▷　2（3a － 4b）＋ 3（2a ＋ 5b）
＝ 6a － 8b ＋ 6a ＋ 15b
＝ 12a ＋ 7b
▷　6（x ＋ 2y）－ 4（2x － y）
＝ 6x ＋ 12y － 8x ＋ 4y
かっこをはずす
同類項をまとめる
かっこをはずす（符号に注意する）
＝－ 2x ＋ 16y
学習４　分数形の式の加法・減法　⇒Ａ４，Ｂ２・３
例題
▷　2a ＋ 3b － a － b
3
2
解法①
注意すること。
・通分，または式を変形させて計算を 2a ＋ 3b － a － b
3
2
行う。
2（2a ＋ 3b）－ 3（a － b）
＝
6
4a ＋ 6b － 3a ＋ 3b
＝
6
a ＋ 9b
＝
6
1
＝ 6 a ＋ 32 b
・分母をはらって計算しないように　（
通分する
分子のかっこをはずす
）
解法②
2a ＋ 3b
a－b
－
3
2
1
1
＝ 3（2a ＋ 3b）－ 2（a － b）
分配法則
＝ 23 a ＋ b － 12 a ＋ 12 b
通分する
4
3
2
1
＝ 6 a － 6 a ＋ 2 b ＋ 2 b
＝ 1 a ＋ 3 b
6
2
※方程式の計算と混同してしまい，分母を消去してしまわないように注意したい。
第 1 章　式の計算
標準新演習　中２数学　指導のポイント
乗法と除法
3
◆指導ページ　P.14 ～ 17 ◆　【指導のねらい】
★単項式どうしの乗除の計算方法を身につける。
★乗法と除法の混ざった式の計算が正確に処理できるようにする。
学習内容・補足事項など
はじめに
＜導入＞
学習１　単項式×単項式　⇒Ａ１，Ｂ１
この単元では，文字を 2 種類以上
例題
扱っているため，中学 1 年の文字式の ▷　6x × 3y
計算と比べれば複雑な計算となってい＝ 6 × 3 × x × y
係数の積×文字の積
るが，文字式の計算の約束事項がしっ＝ 18xy
かりと身についていれば，難しくはな ▷　2ab × 4b2
い。約束事項を確認しつつ，指導して＝ 2 × 4 × a × b × b × b
いくのも良い。
同じ文字は累乗にする
＝ 8ab3
符号のミスや累乗の数えミスなどの
注意をすれば避けられる安易なミスが学習２　単項式の累乗　⇒Ａ２，Ｂ１
発生しやすい。計算に慣れるまでは，例題
2 ＝（－ 4a）×（－ 4a）
途中式を丁寧に書くように徹底させた ▷　（－ 4a）
い。
＝ 16a2
2 ＝（－ 2y）× 3xy × 3xy
累乗や逆数などは，中学 1 年で既習 ▷　（－ 2y）×（3xy）
の内容である。授業の導入において理＝－ 18x2y3
2 の符号に注意。
※－ a2 と（－ a）
解度を確認しておくと良い。あまり理
解できないようであれば，今後も用い
る内容なので，しっかりと身につけさ学習３　単項式÷単項式　⇒Ａ３，Ｂ１
せておきたい。
例題
＜事前確認＞
▷　12xy ÷ 3x
12xy
＝ 3x
学習１，
２
単項式×単項式
・係数の積に文字の積をかける。
・同じ文字は累乗で表す。
学習３
単項式÷単項式
・分数の形にして約分する。
または
4
分数の形にする
約分する
1
12 × x × y
＝
3×x
1
1
＝ 4y
（
）
）
▷　6x2 ÷ － 3 x
4
4
＝－ 6x2 × 3x
乗法の形にする
（
2
1
6
×
x
＝－
（ 3 ×× xx1 × 4 ）
約分する
1
・除法を乗法の形になおして計算する。
＝－ 8x
3
4
4
※ 4 x の逆数は 3x である。 3 x としないよう注意したい。
学習４
乗法と除法の混じった式
①わる式の逆数をつくり，乗法だけ学習４　乗法と除法の混じった式　⇒Ａ４・５，Ｂ２～４
例題
の　形にする。
②符号を決めて，乗法だけの形にする。 ▷　4ab2 × 5a2b ÷ 2ab
＝ 4ab2 × 5a2b × 1
A × B ÷ C ＝ A × B
2ab
C
2
1
A
b × 5a2b
A ÷ B ÷ C ＝ B × C
＝ 4 × ab2 ×
× ab
1
わる式を逆数にして，乗法だけの形にする
約分する
1
＝ 10a2b2
（
）
▷　12x2y2 ÷（－ 2x）÷ － 32 y2
1
2
＝ 12x2y2 × 2x × 3y²
4
1
1
1
＝ 12 × x × x × y2 × 2
2 × x × 3 × y2
＝ 4x
1
1
1
わる式を逆数にして，乗法だけの形にする
約分する
1
※約分に注意して計算したい。初めは途中式を丁寧に書くように指導し，計算に慣れてきたら
約分の途中式を省けるようにしたい。
第 1 章　式の計算
標準新演習　中２数学　指導のポイント
式の計算の応用
4
【指導のねらい】
★式の値では，できるだけ式を簡単にしてから代入し，式の値を求めるようにする。
★等式変形や式による説明を順序立てして求めることができるようにする。
はじめに
＜導入＞
◆指導ページ　P.18 ～ 21 ◆　学習内容・補足事項など
学習１　式の値理解 ⇒Ａ１・２，Ｂ１
本単元では，式の値，等式の変形，例題
式による説明，図形への応用の 4 つを ▷　x ＝－ 3，y ＝ 5 のとき，8x3y2 ÷ 4xy の値
学習する。文章を文字式に表すことは，　解法①　直接代入
3 × 52 ÷｛ 4 ×（－ 3）× 5 ｝
中学 1 年でも学習しているが，より複 8x3y2 ÷ 4xy ＝ 8 ×（－ 3）
雑になっているので，差がつきやすい
＝ 8 ×（－ 27）× 25 ÷（－ 60）
部分でもある。中学 3 年にもつながる
＝（－ 5400）÷（－ 60）
内容なので，文章のどこに着目し，式
＝ 90
にするかなどをしっかりと身につけさ解法②　式を簡単にしてから代入
8x3y2
せたい。
8x3y2 ÷ 4xy ＝ 4xy
式を簡単にする
式の値は，中学 1 年時にも学習した
＝ 2x2y
内容である。直接代入して求める場合
2 × 5 ＝ 90
これに，x ＝－ 3，y ＝ 5 を代入して，2 ×（－ 3）
と，式を簡単にしてから代入して求め
▷　A ＝ 2x － y，B ＝ x ＋ 3y のとき，A ＋ B ＋ 2（A － B）を x，y で表すと，
させる場合の両方で解かせ，後者の方
A ＋ B ＋ 2（A － B）
式を簡単にする
が素早く正確に値を導き出せることを
＝ 3A － B
実感させたい。
これに，A ＝ 2x － y，B ＝ x ＋ 3y を代入して，
等式の変形は，文字について解くこ
3A － B ＝ 3（2x － y）－（x ＋ 3y）　かっこに入れる
とをしっかりと身につけさせたい。こ
＝ 6x － 3y － x － 3y
の後に学ぶ連立方程式にも関わる内容
＝ 5x － 6y
なので，順序立てて処理できるように
数をこなさせておきたい。
式による説明は，偶数や奇数などを
文字式によってどのように表すことが
できるかを理解しているか確認が必要
である。
図形への応用では，中学 1 年時に学
学習２　等式の変形理解 ⇒Ａ３，Ｂ２
・等式の性質を利用して，方程式のように解く。
例題
▷　ℓ＝ 2πr を r について解く。
ℓ＝ 2πr　習した空間図形，平面図形の基本内容
を復習しておきたい。
＜事前確認＞
学習１
式の値
両辺を入れかえる
2πr ＝ℓ
ℓ
r ＝ 2π
両辺を 2πでわる
学習３　式による説明　⇒Ａ４，Ｂ３
・偶数は 2 ×（整数），奇数は偶数＋ 1 or 偶数－ 1，5 の倍数は 5 ×（整数）などと表せる。
→中 1 で学習済み
・式を簡単にしてから代入する。
例題
学習２
m，n を整数とすると，偶数は 2m，奇数は 2n ＋ 1 と表される。
等式の変形
▷　偶数と奇数の和は奇数になることを説明せよ。
このとき，2m ＋（2n ＋ 1）＝ 2m ＋ 2n ＋ 1 ＝ 2（m ＋ n）＋ 1
・文字について解く…等式の中の 1 つ m ＋ n は整数なので，2（m ＋ n）＋ 1 は奇数である。
の文字を，ほかの文字の式で表すよって，偶数と奇数の和は奇数になる。
ことを，その文字について解くと
いう。
学習３，
４
式による説明，図形への応用
学習４　図形への応用　⇒Ａ５，Ｂ４・５
例題
▷　底面が 1 辺 a cm の正方形で，高さが b cm の直方体がある。この
直方体の表面積 S cm2 を文字を使った式で表せ。
・整数や図形の数値を文字に置き換え表面積を求めるときには，展開図をかく。
下の図から，S ＝ a2 × 2 ＋ ab × 4
ることで証明する。
＝ 2a2 ＋ 4ab
²
²
第 2 章　連立方程式
標準新演習　中２数学　指導のポイント
連立方程式の解法
5
◆指導ページ　P.26 ～ 29 ◆　【指導のねらい】
★ 2 元 1 次方程式について理解する。
★ 2 つの方程式を組み合わせた連立方程式を解く手順を身につける。
はじめに
＜導入＞
学習内容・補足事項など
学習１　連立方程式の解理解 ⇒Ａ１・２ , Ｂ１
中学 1 年で学習した方程式は，1 つの
文字をふくむ 1 次方程式，1 元 1 次方
1 次方程式では，解が無数に存在する
ことを説明する。2 元 1 次方程式が 2
つ組み合わさった式（連立方程式）にな
x ＋ y ＝ 11
・連立方程式…　例　x ＋ y ＝ 11，2x ＋ 3y ＝ 25　表記は 2x ＋ 3y ＝ 25
※中学 2 年で扱う連立方程式は，正式には連立 2 元 1 次方程式という。
例題
▷　x，y が 1 けたの自然数であるとき，連立方程式
前章で学んだ次数にもふれ，1 次式
であるから 1 次方程式であることを説
明できれば，2 次以上の方程式もある
ということを促せられる。連立方程式
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 6 5 4 3 2 1
2x － y ＝ 10 を満たす組み合わせ　x 9 8 7 6
y 8 6 4 2
連立方程式の解法はいくつかある。
学習２　連立方程式の解法（加減法）①　⇒Ａ３ , Ｂ２
例題
▷　形」が習得できていなければ，今回の
単元でしっかりと身につくよう指導し
数・公約数についての理解が浅いと手
間取ることもあるので，注意したい。
＜事前確認＞
学習１
x ＝ 2，y ＝ 1
y ＝ 1 x ＝－ 1，y ＝ 3
x ＝－ 1
学習３　連立方程式の解法（加減法）②　⇒Ａ４，Ｂ２・４
x ＋ 2y ＝ 14 …①
3x － y ＝ 7 …②
①
②× 2
合わせたもの。
連立方程式の解…組にしたすべての方
程式を成り立たせる文字の値の組。
▷　x ＋ 2y ＝ 14
＋）6x － 2y ＝ 14
7x ＝ 28
x ＝ 4
▷　連立方程式… 2 つ以上の方程式を組み
学習２，
３
① 2x ＋ 3y ＝ 7
② －）2x － 5y ＝－ 17
8y ＝ 24 →符号注意
y ＝ 3
x ＝ 2 を①に代入して，2 ＋ 3y ＝ 5 y ＝ 3 を①に代入して，2x ＋ 9 ＝ 7
2元 1 次方程式… 2 つの文字をふくむ例題
1 次方程式。
x ＋ 3y ＝ 5 …①
2x ＋ 3y ＝ 7　…①
▷　2x － 3y ＝ 1 …②
2x － 5y ＝－ 17 …②
① x ＋ 3y ＝ 5
② ＋）2x － 3y ＝ 1
3x ＝ 6
x ＝ 2
前章の「縦書きの計算」，「等式の変
たい。また，加減法の計算では，公倍
ので，確実に習得させておきたい。
表に共通する x，y の値の組が解であるので，x ＝ 6，y ＝ 2
は，後に学ぶ 1 次関数にも深く関わる
x＋y＝8
の解を，表をつくって求めよ。
2x － y ＝ 10
x ＋ y ＝ 8 を満たす組み合わせ　ることで解が求まることを示し，理解
を深めさせる。
程式であったことに触れながら，2 元
本章では，連立方程式について学ぶ。・2 元 1 次方程式…　例　2x ＋ 3y ＝ 25
2x － 3y ＝ 5 …①
5x ＋ 2y ＝ 22 …②
①× 2
②× 3
x ＝ 4 を②に代入して，12 － y ＝ 7
4x － 6y ＝ 10
＋）15x ＋ 6y ＝ 66
19x ＝ 76
x ＝ 4
x ＝ 4 を②に代入して，20 ＋ 2y ＝ 22
y ＝ 5
y ＝ 1
加減法… 1 つの文字の係数をそろえ， x ＝ 4，y ＝ 5
x ＝ 4，y ＝ 1
2 式を加減し 1 つの文字を消去して
※文字の係数をそろえる際に，左辺のみかけ算して，右辺を計算しわすれないよう注意したい。
解く方法。
る方法。
例題
▷　y ＝ x ＋ 1 …①
x ＋ y ＝ 3 …②
①を②に代入する ①を y について解くと，y ＝ 5 － x …③
x ＋（x ＋ 1）＝ 3
③を②に代入すると，
2x ＝ 2
2x － 3（5 － x）＝ 5
x ＝ 1
2x － 15 ＋ 3x ＝ 5
x ＝ 1 を①に代入して，
5x ＝ 20
y ＝ 1 ＋ 1，y ＝ 2 x ＝ 4
x ＝ 1，y ＝ 2
これを③に代入して，y ＝ 5 － 4 ＝ 1
x ＝ 4，y ＝ 1
▷　x ＋ y ＝ 5　…①
2x － 3y ＝ 5 …②
代入法…代入して 1 つの文字を消去す
学習４　連立方程式の解法（代入法）　⇒Ａ５，Ｂ３・４
学習４
※代入する計算は，代入する文字の係数と符号に常に注意をはらいたい。代入する値をかっこ
でくくり，その後分配法則で確実にかっこをはずすように指導する。

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