x ≧ 2 “ x2 + 6! = y2 b)+4 > 0 かつ a + b > 4 (log2 x)2

年番号
1
次の条件 ‘，’，“ を同時に満たす整数の組 (x; y) をすべて求めよ．
3
氏名
曲線 y = f(x) = x3 ¡ 3x2 + x + 6 を C1 とする．このとき，次の問いに
答えよ．
‘ y は x の整数倍である
’ x=2
(1) 曲線 C1 の接線で点 (¡1; f(¡1)) を通るもののうち，傾きの小さいもの
“ x2 + 6! = y2
を `1 ，傾きの大きいものを `2 とする．`1 ; `2 の方程式を求めよ．
（富山大学 2014 ）
(2) g(x) を x の 2 次式とし，曲線 y = g(x) を C2 とする．曲線 C2 が，曲線
C1 と直線 `1 の共有点および曲線 C1 と直線 `2 の共有点を通るとき，g(x)
を求めよ．
2
次の問いに答えよ．
(3) 曲線 C2 と直線 `1 ; `2 によって囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(1) 2 つの実数 a; b がともに 2 より大きいための必要十分条件は，ab ¡ 2(a +
（富山大学 2014 ）
b) + 4 > 0 かつ a + b > 4 であることを示せ．
(2) 定数 k に対して，方程式
4
3 次関数 f(x) は，次の 2 つの条件を満たすとする．
2
(log2 x) ¡ (k + 2) log2 x ¡ k + 17 = 0
‘ 関数 f(x) は，x = 1 と x = 2 で極値をもつ
’ 整式 f(x) を x2 ¡ 3x + 1 で割った余りは ¡x + 2 である．
を考える．
‘ 方程式が実数解 ®; ¯ をもつとき，log2 (®¯) と (log2 ®)(log2 ¯) を k
を用いて表せ．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) f(x) を求めよ．
’ 方程式が 4 より大きい異なる 2 つの実数解をもつような k の値の範囲を
求めよ．
(2) 方程式 f(x) = 0 を解け．
(3) 関数 f(x) の増減を調べ，そのグラフをかけ．
（富山大学 2014 ）
（富山大学 2013 ）
5
6 つの面にそれぞれ 0; 0; 1; ¡1; i; ¡i と書かれたさいころがある．ここ
7
で i は虚数単位である．このさいころを 3 回投げ，1 回目に出た目の値を X1 ，
(1) 連立不等式
次の問いに答えよ．
2 回目に出た目の値を X2 ，3 回目に出た目の値を X3 とする．このとき，次
V
の問いに答えよ．
(1) 積 X1 X2 が実数となる確率を求めよ．
x2 + y2 ¡ 6y ¡ 16 5 0
y + 3x ¡ 8 = 0
の表す領域 D を図示せよ．
(2) 和 X1 + X2 が実数となる確率を求めよ．
(2) 点 (x; y) が領域 D を動くとき，y ¡ 2x の最大値と最小値を求めよ．
(3) 積 X1 X2 X3 が 0 となる確率を求めよ．
（富山大学 2012 ）
（富山大学 2013 ）
8
n が奇数のとき，
S = n + (n + 1)2 + (n + 2)3
6
2 つの曲線 C1 : y = x2 ¡ 1 ，C2 : y = m(x + 1)2 (0 < m < 1) を考え
は 16 の倍数であることを示せ．
る．このとき，次の問いに答えよ．
（富山大学 2012 ）
(1) x > 0 の範囲における C1 と C2 の 2 つの交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) と
する．®; ¯ を m を用いて表せ．
9
(2) C1 と C2 で囲まれた図形のうち，x 5 ® を満たす部分の面積を S1 ，x = ®
を満たす部分の面積を S2 とおく．S1 ; S2 を，m を用いて表せ．
(3) S1 = S2 のとき m の値を求めよ．
3 次関数 f(x) = x3 + ax2 + b について，曲線 y = f(x) 上の点 P(t; f(t))
における曲線の接線を `t とする．
(1) `t の方程式を求めよ．
(2) `t が原点を通るような t の値がただ 1 つに定まるための a; b の条件を求
（富山大学 2013 ）
めよ．
(3) a; b が (2) の条件を満たすとき，点 (a; b) が存在する領域を図示せよ．
（富山大学 2012 ）
10 放物線 C : y = x2 ¡ 4x + 3 と直線 ` : y = mx ¡ m を考える．このとき，
次の問いに答えよ．
13 次の 2 つの条件を同時にみたす正の整数 a; b を求めよ．
p
a + b の小数第 2 位を四捨五入すると 3:3 になる．
E
a
(条件 2)
の小数第 2 位を四捨五入すると 1:6 になる．
b
(条件 1)
(1) 放物線 C と直線 ` が接するときの m の値 m0 を求めよ．
(2) m > m0 とする．放物線 C と直線 ` および y 軸で囲まれた図形の面積を S1
（富山大学 2010 ）
とし，放物線 C と直線 ` で囲まれた図形の面積を S2 とする．S1 と S2 をそ
れぞれ m を用いて表せ．
(3) m > m0 における S2 ¡ 2S1 の最小値，およびそのときの m の値を求めよ．
（富山大学 2011 ）
14 2 次方程式 x2 + 2x + 3 = 0 の 2 つの解を ®; ¯ とするとき，2 つの数
4®2 + 5® + 6
;
4¯2 + 5¯ + 6
11 次の問いに答えよ．
(1) 関数 y = x2 ¡ 2x ¡ 3 のグラフをかけ．
(2) a を実数とする．このとき，方程式 x2 ¡ 2x ¡ 3 = a の実数解の個数を
4¯2 + 5¯ + 6
4®2 + 5® + 6
を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ．
（富山大学 2010 ）
求めよ．
(3) 方程式
x2 ¡ 2x ¡ 3 ¡ 6 = 2 の実数解の個数を求めよ．
（富山大学 2011 ）
F
12 cos µ =
15 f(x) = 2x3 + 3x2 ¡ 12x とするとき，次の問いに答えよ．
3
のとき
5
(1) 関数 y = f(x) のグラフをかけ．
p
2 5(sin µ + cos µ) ¡ 5 sin 2µ
a=
2
(2) a を実数とするとき，直線 y = ax + a + 13 が a に関係しない 1 点を通る
ことを示せ．また，その点が (1) のグラフ上にあることを示せ．
とおく．ただし，0± < µ < 90± とする．次の問いに答えよ．
(1) a の値を求めよ．
(3) (1) のグラフと (2) の直線との共有点の個数を求めよ．
（富山大学 2010 ）
1
(2) (1) で求めた a に対して，
の分母を有理化せよ．
a
（富山大学 2011 ）

Download Report