問題PDF版

）
日向
長さ 21の棒 Sの両端におもり A とおもり Bを取り付けた回転子 Rがある。
棒 Sの中点は，鉛直でなめらかな壁に釘で固定されており，回転子 R は棒の中
点を支点として壁面上をなめらかに回転できるものとする。おもり A の質量を
M，おもり Bの質量を m，重力加速度の大きさを g とする。ただし， M >m と
，
し，棒と釘は変形せず，おもり A の大きさ，おもり Bの大きさ，釘の大きさ
棒の質量，空気抵抗や摩擦は無視できるものとする。図 1に示すように，棒 S
の中点を原点 O とし，鉛直上向きに z軸をとる。また，原点 O とおもり A を結
ぶ線分と鉛直下向きがなす角を Oとし
反時計まわりを正の向きとする。
z
B
，
，
'
，
、
、
、
'
'
'
図1
A〕回転子 R を，おもり A とおもり Bが z軸上にない状態で静かに放したと
〔
ころ，周期的な運動を始めた。このときの運動について，回転子 R を，棒
Sとおもり A とおもり Bに分けて考える。
a）おもり A の速さが uのとき，おもり A が棒 Sに及ぼす力を考える。そ
(
，。のうち必要な記号
,v
, M,m
,f
の力について，棒と平行な成分を， g
を用いて表せ。ただし，原点 0からおもり A に向かう向きを正の向きと
する。
- 1
)
5
3-1
8
6
(
O M2
棒 Sにはたらく力の合力は 0であり，棒 Sにはたらく原点 0 のまわりの
力のモーメントの和も Oであるけ参考）。以下では，この考えにもとづき議
論を進める。
棒 Sに対して，釘，おもり A，おもり Bが及ぼす力を考える。これらの
力について，棒と垂直な成分を，それぞれれ， F
1
, F2とする。図 2に示す
ように F
1と F2は反時計回りを正の向きとし， Foの正の向きは F
1の正の向
きと同じとする。
z
F2の正の向き
、
，
'
、
'
F。
の
正の向き l
、
、
F
1の正の向き
図2
(
b
）棒と垂直な方向について，棒 Sにはたらく力のつりあいの式を求め
よ。また，棒 Sにはたらく原点 0のまわりの力のモーメントのつりあい
の式を求めよ。それぞれ Fo
.F
1
,F
2
, fのうち必要な記号を用いて表
せ
。
（？参考）
棒 Sの両端にはおもりがついており，棒 Sは無限に速く運動するこ
とはない。仮に棒 Sにはたらく力の合力が Oでない，もしくは，棒 Sにはた
らく原点 O のまわりの力のモーメントの和が Oでないとすると，棒 Sの質量
は無視できるとしているので，棒 Sは無限に速く運動することになり矛盾す
る
。
-2-
＞
くM2(
6
8
3 1
6
)
棒と垂直な方向のおもり A の加速度を αとし，図 3に示すように，反時
計回りを正の向きとする。以下の（C)
,(
d)
,(
e）
では， M =2mとする。
(
c）棒と垂直な方向に関するおもり A の運動方程式を F1を用いて表せ。た
,f
,m
,e
のうち必要な記号を用いてよい。同様
だし， F1の他に α，g
に，棒と垂直な方向に関するおもり Bの運動方程式をれを用いて表せ。
,i
, m, e
のうち必要な記号を用いてよい。
ただし， F2の他に α，g
(
d） αを
， g, i
, m,
eのうち必要な記号を用いて表せ。
(
e
）以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答には g, i
, m を必要に応
じて用いてよい。解答欄には答のみを書くこと。
回転子 Rを Oが十分小さい状態から静かに放したところ振動を始め
た。おもり A の最下点からの円周にそった変位を xとし，反時計回りを
i
n0士弓 0が成りたち，
正の向きとする。振動の振れが十分小さいとき， s
α二仁己 xと表すことカ
往復するとみなせるので，単振動すると考えてよい。この振動の周期は
仁己となる。
-3-
＞
くM2(683-17
)
z
、
、
，
，
，
，
，
，
，
、
'
んりρ
図3
-4-
<)M2(
6
8
3-18)
〔
B〕図 4のように，質量 m の物体 Cが，なめらかな床の上を壁にそって右向
きに進んできた。ただし，物体 Cの大きさは無視でき，物体 Cは直線
z= t上を運動すると考えてよい。おもり A が反時計回りに運動し， z軸
を左から右に通過したとき，物体 Cがおもり A と衝突した。物体 Cの衝突
前の速さは u，衝突後の速さは j であり，衝突後も物体 Cは，壁にそって
右向きに運動した。おもり A と Bの衝突直前の速さは u，衝突直後の速さ
は〆であり，衝突直後もおもり A と Bは，反時計回りに運動した。ただ
し
， u>v>0であり，この衝突において u-v＝〆 −u’が成りたってい
た。また，衝突の前後で物体 C と回転子 R の運動エネルギーの和が保存さ
れるものとする。摩擦や空気抵抗は無視でき，おもり A，おもり Bは床と
衝突しないものとする。なお，おもり A，おもり Bの質量はそれぞれ M,
m である。
z
、
−
B
、
、
、
、
，
'
'
，
'
c
~4~：二二三」ーι〈：
図4
-5-
<
>M2(683
1
9
)
l 衝突の前後の運動エネルギー保存の式を記せ。この式を利用して，
f
(
u'
九1+m)v+mu=(M+m）〆＋ m
（
が成りたつことを示せ。ただし，衝突の前後で物体 Cと回転子 R の運動
量の和は保存されないことに注意せよ。
以下では， M =2mとする。
, vの
,u
（回衝突直後において，回転子 R全体の運動量の大きさを，.￡， m
うち必要な記号を用いて表せ。また，衝突により釘に与えられた力積の大
, vのうち必要な記号を用いて表せ。
,u
きさを，.￡， m
（同衝突前，回転子 Rは周期的な運動をしており，衝突後も周期的な運動
をした。衝突前のおもり A の z座標の最大値は一」−fであり，衝突後の
2
，
, u＇を
, u
'
v
このときの
−fであっ弁。
おもり A の z座標の最大値は」8
−
それぞれ uを用いて表せ。ただし，物体 Cが回転子 Rに衝突した後，物
体 Cは回転子 R に再び衝突することはなかったとする。
- 6-
。
M2(683-20)
囚
ω点）
間隔を変えることのできる平板コンデンサーが組み込まれた図 1の装置を用い
て実験を行う。平板コンデンサーは水平に配置され，下側の極板（下極板）は土台
に固定されている。上側の極板（上極板）は質量の無視できる糸によって巻き上げ
機につながれ，その高さを変えることができる。上極板は前後左右に揺れること
がないよう両側から支えられており，常に水平を保ちながら摩擦なく上下に動
く。それぞれの極板の面積を A，上極板の質量を m とする。極板の大きさに比
べて極板の間隔は十分に小さく，コンデンサーの端での電場の乱れは無視できる
ものとする。また，極板内の電荷は常に水平方向に一様に分布するものとする。
z
巻き上げ機
接点 2
h
』
装置
x
図1
紙面手前を x軸の正の向き，紙面右方を y軸の正の向きとし，上方を z軸の正
の向きにとる。下極板の上面を z= 0とし，上極板の位置はその下面の z座標に
よって表す。極板の表面には厚さの無視できる絶縁膜が貼られており，上極板の
位置が z=Oであっても二枚の極板が接して電荷が移動することはない。
上極板が z=hまで上昇すると，上極板とともに移動する接点 lが接点 2と接
触し，コの字型をした放電回路にコンデンサーが接続されるようになっている。
放電回路は z=Oおよび、 z=hの高さに水平に置かれた導線と，鉛直に置かれた
Oでない抵抗を持つ長さ hの細い棒よりなる。接点 1および接点 lと上極板を
-9-
）
く M2(
6
8
3 2
3
)
つなぐ導線は上極板の下面の高さに取り付けられており，それらの質量は無視で
きるものとする。
o，重力加速度の大きさを g とす
装置の内外は真空であり，真空の誘電率を c
る。重力の向きは z軸の負の向きである。なお，極板，接点，導線，放電回路以
外の部分は絶縁体であり，電荷がもれることはないものとする。
A〕まず，装置の土台を動かないように固定して実験を行う。はじめ，上極板
〔
の
は z= 0の位置に静止しており，上極板に＋ Q，下極板に− Q(Q> O）
電荷が与えられている。その後巻き上げ機により上極板を上昇させ， z=h
の位置で上極板が放電回路に接続されたところで静止させる。上極板の上昇
中に糸がたるむことのないよう，加速，減速はゆっくり行うものとする。以
, hのうち必要な
,z
.A. Q, m, g
に答えよ。解答には εo
d）
から（
）
a
下の問（
ものを用いよ。
ただし 0<z<h）のとき，極板間の電場の強さ Eと
（剖上極板の位置が z（
下極板を基準とした上極板の電位 Vを求めよ。
ただし 0<z<h）のとき，コンデンサーに蓄えられ
）上極板の位置が z（
b
(
ている静電エネルギーを求めよ。
) 上極板が一定の速度で上昇しているときの糸の張力を求めよ。
c
(
d) 上極板が z=hに達し上昇が止まると同時に，上極板は接点を通して放
(
電回路に接続される。そしてコンデンサーが完全に放電する。この放電に
よって発生するジュール熱を求めよ。
0- 1
。
M2(683-24)
〔B〕次に，装置をなめらかで水平な床の上に置き，摩擦なく自由に動けるよう
にした。装置全体の質量は M である。さらに装置を含む空間全体に磁束密
B
,0
, 0）の一様磁場を x方向にかけた。
度 B= (
一様磁場 B
⑨
z
ν
増
装置
図2
はじめ，装置全体は静止している。上極板は z=Oの位置に静止してお
り，上極板に＋ Q，下極板に− Q(Q>O）の電荷が与えられている。その
後巻き上げ機により上極板を上昇させ， z=hの位置で上極板が放電回路に
接続されたところで静止させる。上極板の上昇中に糸がたるむことのないよ
う，加速，減速はゆっくり行うものとする。
今度は磁場中を電荷が移動することによって生じるローレンツカのため，
装置全体が y軸にそった方向に運動する。このローレンツ力の効果は非常に
小さに通常の実験においては無視しても差し支えない。しかしここではこ
の効果を無視せずに評価し，装置の運動がどの程度になるかを見てみよう。
装置の向きは変化しないものとする。
(
e)
,(
f
)
,(
g）
には εo
,A
,B
, Q,
M, m,
g
, z
,
hのうち必要なものを用い
て答えよ。（
却には数値で答えよ。
(
e) 以下の空欄に当てはまる適切な数式を答えよ。解答欄には答のみを書く
こと。
- 1
1-
く
）M2(683 2
5
)
上極板の上昇中，微小時間企tの聞に，上極板の高さ zが位変化し，装
置全体の y方向の速度 uが U 変化した。上酬の上昇速度は告装置
日向の加速度寸であり，それらの比は十仁日であ
る。これが定数であることと， z=0において v=0であることを用いる
)関数として v＝仁己と与えられる。
j
と，速度 v~j: z(
) 上極板が高さ zの位置を一定の速度で上昇しているときの糸の張力は，
f
(
で求めた磁場が無い場合の値に比べてどれだけ変化するか答えよ。ただ
c）
(
し，増加する場合を正とする。
g)
(
以下の空欄に当てはまる適切な数式を答えよ。解答欄には答のみを書く
こと。
上極板が z=hに達し上極板の上昇が止まると同時に，放電回路を通し
tの聞の上極板の電荷の変化を
i
て放電が始まる。放電中のある微小時間 l
vとすると，そ
i
Q（増加する場合を正），装置の y方向の速度 uの変化を !
1
1
~(J
の聞に放電回路を流れる電流は上向きを正として一工である。このこと
｜
から，比企ι＝
企t
ウ
｜は定数である。また，放電が始まった瞬間に
一一一一I
一
」ーよー」
Q
1
!
I
V
は装置の y方向の速度と電荷の比は一一＝｜工｜である。これらの
」
一
一
L
Q
y方向の速度は
，コンデンサーが完全に放電したときの装置の
ことから
v＝仁日であることがわかる。
（同前に述べたように，磁場の影響による装置全体の運動は非常に小さい。
このことを具体的に数値を計算して確認しよう。以下の数値を用いて，上
極板が z=hに到達した瞬間の，装置の y方向の速度を有効数字 3桁で求
sで答えること。
めよ。単位は m/
,M
m
0c
0
,h=2.
0m2
.0
A =1
,
0g
0
, 111 =1
g
0k
.0
=1
,
0T
.0
, B =1
V
0k
.0
,=1
V,
Eo=
ただし
1m/s2
8
.
2F/m, g = 9
01
5× 1
8
.
8
，，は上極板が z=hに到達した瞬間のコンデンサ一両極板間の電
v
位差である。
2- 1
)
6
2
3
8
6
くM2(
＞
囚肌点）
水面にできる波について考えよう。水平面上に座標軸 x
, yおよび原点 O をと
る。また各点で、の水面の鉛直方向の変位を zで表し，波がない場合を z= 0とす
る
。
〔
A〕いま，図 l中の破線の矢印に示されるように， x軸に対して 3
0
° の向きに
進む平面波を考える。図中で，時刻 t= 0における波の山の波面が実線で表
されており，その lつは原点を通っている。この波は正弦波で表すことがで
きるものとし，波の振幅の減衰は考えないものとする。波の振幅を A，周期
を T，波長を Aとする。
(
a
) 時刻 tでの点 P(/3'
1
,1
'）における水面の変位 Zpを求めよ。
(
b
）時刻 t= 0において点 Pを通る波の山の波面は，時間とともに進行す
る。その山の波面の進行速度の x成分， y成分をそれぞれ求めよ。
(
c
) 時刻
t=0における y軸上での波形を描け。なおこの波形は正弦波とな
る
。
＼
y
m穴べず＼
，
，
x
図1
- 1
5-
OM2(683 2
9
)
0
° の向きに
〔B〕次に，図 2中の破線の矢印に示されるように， x軸に対して 3
進む平面波と， y軸の正の向きに進む平面波が同時に存在する場合を考え
る。図中で，時刻 t=0における 2種類の波の山の波面が実線で表されてお
り
，山の波面の lつずつが原点を通っている。これらの波は，ともに振幅
A
, 周期工波長 Aの正弦波で表すことができるものとし，波の振幅の減衰
は考えないものとする。
(
d) 時刻 tでの点 P(/3'
1
,1
'）における水面の変位 Zpを求めよ。
γ
／．究 j
(
e) 時刻 tでの点 Qド
十）における水面の変位 Z Qを求めよ。
(
f
) 図 2に示した時刻 t= 0の瞬間，点 Pにおいて，
なって高い山となっている。この高い山は，
2つの平面波の山が重
2つの波の進行とともに移動
する。この高い山の移動を追跡することを考える。時刻 t=Tにおける，
この高い山の位置を Y として，点 P’の位置を答案用紙に示せ。
波の進行する向き
{[3
入
、
ふ
，
~；（与す）
山の波面
x
図2
1
6-
＞
くM2(
6
8
3 3
0
)
(
g) 時刻 t= 0において点 Pにある高い山の移動速度の z成分， y成分をそ
れぞれ求めよ。
〔
C〕次に図 3のように， y軸の正の向きに進む平面波と，原点 O を波源とす
る球面波が同時に存在する場合を考える。図中で，時刻 t= 0における 2
種類の波の山の波面が実線で表されており，山の波面の lつずつが点 P
C
f子t
i
,i
t）を通っている。すなわち，点 Pにおいては，
2つの波の山が重
なって高い山となっている。これらの波は，振幅 A，周期工波長 Aの正弦
波で表すことができるものとし，簡単のため波の振幅の減衰は考えないもの
とする。
（
同この高い山の移動を追跡することを考える。高い山の移動速度の x成
分
， y成分の時間変化を表すグラフの概形として適当なものを図 4中の
①∼⑩よりそれぞれ選べ。なお同じものを 2回選んでも良い。
y
平面波の進行する向き
。
x
図3
- 1
7-
0M2(
6
8
3
-3
1
)
平成 2 7年度東京工業大学前期日程試験の問題訂正について
「物理J の試験問題の一部に訂正があります。
日〔
C〕
（ h)
問題冊子 18ページの「図 4J を全て
速度
下記の図に差し替えて解答しなさい。
速度
①
②
。
。
速度
③
速度
④
。
。
速度
⑤ 速度ト
ー
⑤
。
i
速度
⑦
。
速度
⑨
。
。
，
，，
速度
③
。
速度
⑮
。
(
i
) この高い山の描く軌跡の概形として適当なものを図 5中の①∼⑥より l
つ選べ。
(
j）時刻 t=0
,
T
T
の 3つの瞬間における y軸上の波形を答案用紙
4’ 2
中に描け。
①
y
②
③
④
⑤
⑥
p
。
x
図5
- 1
9-
0M2(683 3
3
)

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