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宇宙の相対性と量子性
逆座標変換によって宇宙論は甦った
ダークエネルギー・ダークマターの正体
宇宙論は，一般相対性理論，特殊相対性理論および量子理論が,
数学的物理的に矛盾なく統一されていなければならない．
船越克巳
[email protected]
まえがき
仮説１
観測によって認識される宇宙は現象の世界であって，宇宙の実相ではない．
宇宙の実相は理論によってのみ認識される世界である．
仮説２
相対論は積分界，量子論は微分界として，数学的物理的に統一できる．
前提条件
理論系はアインシュタイン・ドジッター宇宙モデルとする．
（平坦なフリードマン宇宙モデル，宇宙定数 Λ = 0 ）
記号
真空中の光速度
c
万有引力定数
G
プランク定数
h = 2π h
ボルツマン定数
k
スケールファクター
a （ただし， a 0 = 1 ）
ローレンツファクター
γ
ハッブル定数
H 0 = 70 km/s/Mpc と仮定する
(2.2685 × 10
−18
s −1
1 年
1 yr ≡ 3.1557 × 10 7
s
1 光年
1 ly ≡ 9.4605 × 1015
ｍ
)
１．宇宙の曲率半径と年齢
１．１
物質期
（理論系の場合）
宇宙曲率半径
3
c
c ⎛
⎞
R (τ m ) =
a (τ m ) =
⎜H0 τ m ⎟
2
H0 ⎝
H0
⎠
宇宙年齢
τm =
2/3
.
(1.1）
1 2 3/2
a
.
H0 3
（1.2）
R (τ m ) を τ m で微分して a について整理すると
dR (τ m )
c ⎛
3⎞
v (τ m ) =
=
⎜H0 ⎟
dτ m
H0 ⎝
2⎠
膨張速度
∴
2 /3
2 −1 / 3
τm
= c a −1 / 2 .
3
（1.3）
dτ m = c −1a 1 / 2 dR (τ m ) .
（1.4）
（観測系の場合）
式（1.3）の v (τ m ) は無限小領域の記述式で，局所慣性系として特殊相対性理論の法則が成立する．
そこで， v (τ m ) について逆座標変換を行い観測系の膨張速度 v (t m ) を求める．
( 参考：「アインシュタイン
膨張速度
相対性理論」
内山龍雄
(
−1
v (t m ) = v (τ m ) γ m
= c a −1 / 2 1 + a −1
ここで
[
γ m = 1 − β (t m )2
]
)
訳・解説
−1 / 2
−1 / 2
dR (t m )
,
dt m
[
(
= 1 + β (τ m )2
β (τ m ) = β (t m ) γ m =
]
1/ 2
= 1 + a −1
tm
dt m =
tm =
宇宙曲率半径
R (t m ) =
,
（1.6）
a −1
1/ 2 c
∫0 c (1 + a ) H 0 da (t m ) .
[
1/ 2
v (τ m )
= a −1 / 2 .
c
]
1 2
(1 + a )3 / 2 − 1 .
H0 3
宇宙年齢
)
（1.5）
v (t m )
= (1 + a )−1 / 2 ,
c
dt m = c −1 (1 + a )1 / 2 dR (t m ) .
∫0
訳者補注 23 )
= c (1 + a )−1 / 2 =
−1
β (t m ) = β (τ m ) γ m
=
∴
岩波文庫 1988
2 /3
⎤
3
c
c ⎡⎛
⎞
a (t m ) =
− 1⎥ .
⎢⎜ H 0 t m + 1⎟
2
H0
H 0 ⎢⎣⎝
⎠
⎥⎦
（1.7）
（1.8）
（1.9）
以上より，現在の
宇宙曲率半径は式（1.1）と式（1.9）より R 0 (τ m ) ≡ R 0 (t m ) = 140 億光年，
宇宙年齢は，理論系式（1.2）より τ 0 = 93 億歳，観測系式（1.8）より t 0 = 170 億歳が得られる．
なお，式（1.4）と式（1.6）より， dR (τ m ), dR (t m ), dτ m , dt m には，つぎの関係が認められる．
sin θ m
c dτ m
a 1 / 2 dR (τ m )
⎛ a ⎞
=
=
=⎜
⎟
1
2
/
c dt m
(1 + a ) dR (t m ) ⎝ 1 + a ⎠
1/ 2
−1
= γm
,
（1.10）
(c dt m )2 = (dR )2 + (c dτ m )2 .
（1.11）
１．２放射期
（理論系の場合）
宇宙曲率半径
R (τ r ) =
宇宙年齢
τr =
c
c
(H 0 2 τ r )1 / 2 .
a (τ r ) =
H0
H0
（1.12）
1 1 2
a .
H0 2
（1.13）
R (τ r ) を τ r で微分して a について整理すると
v (τ r ) =
膨張速度
∴
dR (τ r )
c
(H 0 2)1 / 2 1 τ r −1 / 2 = c a −1 .
=
dτ r
H0
2
（1.14）
dτ r = c −1 a dR (τ r ) .
（1.15）
（観測系の場合）
式 (1.14) の v (τ r ) は物質期と同様，局所慣性系として特殊相対性理論の法則が成立する．
したがって， v (τ r ) について逆座標変換を行い，観測系の膨張速度 v (t r ) を求める．
膨張速度
(
v (t r ) = v (τ r ) γ r−1 = c a −1 1 + a − 2
ここで，
[
γ r = 1 − β (t r )2
]
)
= c 1+a2
(
)
= 1 + β (τ r )2
[
]
1/ 2
−1 / 2
−1 / 2
β (t r ) = β (τ r ) γ r−1 =
−1 / 2
=
dR (t r )
,
dt r
= 1 + a −2
(
)
v (t r )
= 1+ a2
c
)
(
1/ 2
（1.16）
,
−1 / 2
,
β (τ r ) = β (t r ) γ r =
∴
(
dt r = c −1 1 + a 2
)
1/ 2
v (τ r )
= a −1 .
c
dR (t r ) .
tr
a
∫0 dt r = ∫0 c
ここで，放射期は a ≪ 1 であるから，
tr
−1
(1.17）
(1 + a )
(1 + a )
2 1/ 2
a
c
da (t r ) .
H0
2 1/2
（1.18）
≈ 1 とみなしうる．したがって
1
∫0 dt r ≈ ∫0 H 0 da (t r ) .
(1.19)
1
a.
H0
宇宙年齢
tr ≈
宇宙曲率半径
R (t r ) =
(1.20)
c
a (t r ) ≈ c t r .
H0
（1.21）
式（1.15）と式（1.17）より，物質期と同様，つぎの関係が認められる．
⎛ a2
c dτ r
a dR (τ r )
sin θ r =
=
=⎜
2
⎜
c dt r
2 1/ 2
1+a
dR (t r ) ⎝ 1 + a
(
)
(c dt r )2 = (dR )2 + (c dτ r )2 .
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
= γ r−1 ,
（1.22）
（1.23）
２．宇宙の膨張速度と密度パラメータ
減速パラメータは，次の式でも求めることができる．
q=−
d log v
．
d log a
2．１物質期
（理論系の場合）
式 (1.3) v (τ m ) = c a −1 / 2 の場合
→
1
log v (τ m ) = − log a + log c .
2
d log v (τ m ) 1
= .
d log a
2
減速パラメータ
q (τ m ) = −
密度パラメータ
Ω(τ m ) = 2 q (τ m ) = 1 .
（2.1）
（2.2）
（2.3）
（観測系の場合）
式 (1.5) v (t m ) = c (1 + a )−1/ 2 の場合 → log v (t m ) = −
減速パラメータ
密度パラメータ
計算の結果を図 2 に示す．
q (t m ) = −
1
log (1 + a ) + log c .
2
d log v (t m )
d log v (t m ) d log (1 + a ) 1 a
.
=−
=
d log a
d log (1 + a ) d log a
2 1+a
Ω(t m ) = 2 q (t m ) =
a
−2
= γm
.
1+a
（2.4）
（2.5）
（2.6）
log a に対して，理論系の膨張速度 log v (τ m ) は超光速から右下がりの直線，現在は光速 c で log a = ∞
で停止する．この勾配の符号を変えたのが減速パラメータで q (τ m ) = 1/ 2 と一定である．したがって，密度パ
ラメータは Ω(τ m ) = 1 である．
一方，観測系では膨張速度 log v (t m ) は光速以下で始まり，徐々に減速，現在は光速の 1
2 倍で，
log a = ∞ で停止する．減速パラメータ q (t m ) は a の関数として無限小から現在は理論系の値の 1/ 2 倍
で， a = ∞ で最終的に理論系の値に近づく．したがって，現在観測されうるのは q (t m ) ≤ 1/ 4 ，すなわち，
Ω(t m ) ≤ 1/ 2 で， a を 0～1 まで加重平均すると Ω (t m ) = 0.3069 となる．要するに，実相が平坦なフリードマン
宇宙 (Λ = 0 ) であっても，宇宙は恰も開いているかのような現象が観測されうると考えられる．
２．２放射期
（理論系の場合）
式 (1.14) v (τ r ) = c a −1 の場合
→
log v (τ r ) = − log a + log c .
（2.7）
d log v (τ r )
= 1.
d log a
減速パラメータ
q (τ r ) = −
密度パラメータ
Ω(τ r ) = 2 q (τ r ) = 2 .
（2.8）
（2.9）
（観測系の場合）
(
式 (1.16) v (t r ) = c 1 + a 2
減速パラメータ
密度パラメータ
)
−1 / 2
q (t r ) = −
(
)
1
の場合 → log v (t r ) = − log 1 + a 2 + log c .
2
(
)
d log v (t r )
d log v (t r ) d log 1 + a 2
1 a
.
=−
=
2
d log a
2 1 + a2
d log a
d log 1 + a
(
Ω(t r ) = 2 q (t r ) =
a
1+a2
)
.
（2.10）
（2.11）
（2.12）
３．宇宙の質量とエネルギー
３．１物質期
（理論系の場合）
宇宙体積 V (τ m ) と臨界密度 ρ cr (τ m ) から理論系の宇宙質量 M (τ m ) を求める．
3
⎞
4 ⎛ c
a ⎟⎟ ，
宇宙体積 V (τ m ) = π ⎜⎜
3 ⎝ H0 ⎠
3 H2
ρ cr (τ m ) =
，
8π G
臨界密度
⎞
4 ⎛ c
M (τ m ) = V (τ m ) ρ cr (τ m ) Ω(τ m ) = π ⎜⎜
a ⎟⎟
3 ⎝ H0 ⎠
3
H
2
=
H 02
a3
から,
3 H2
c3
=
= 8.8980 × 10 52 kg ,
8 π G 2 G H0
（3.1）
となり， M (τ m ) は τ m と関係なく一定となる.
（観測系の場合）
観測系の宇宙質量 M (t m ) は,
Ω(t m )
c3
a
a
M (t m ) = M (τ m )
=
= 8.8980 × 1052
kg
Ω(τ m ) 2 G H 0 1 + a
1+a
（3.2）
となり， M (t m ) はローレンツファクター γ m の２乗に反比例して宇宙の膨張とともに増加し，無限遠において
M (τ m ) に近づく．
３．２
放射期（うち極創成期）
放射期のうち，極創成期の宇宙はまだ十分成長していないので，物質を構成する素粒子よりも宇宙は小
さく，パウリの排他原理により，物質を構成する素粒子は存在し得ない．したがって，すべてが放射エネル
ギー状態と考えられる．放射エネルギーを E とすれば,
（理論系の場合）
⎞
4 ⎛ c
M (τ r ) = V (τ m ) ρ cr (τ m ) Ω(τ r ) = π ⎜⎜
a ⎟⎟
3 ⎝ H0 ⎠
E (τ r ) = M (τ r ) c
2
(
3
3 H2
c3
2=
= 1.7796 × 10 53 kg ,
G H0
8π G
)(
c5
=
= 1.7796 × 1053 kg 2.9979 × 10 8 m s
G H0
)
2
（3.3）
= 1.5994 × 10 70 J . （3.4）
（観測系の場合）
Ω(t r )
c3
a
a
M (t r ) = M (τ r )
=
= 8.8980 × 10 52
kg ,
2
Ω(τ r ) 2 G H 0 1 + a
1+ a2
E (t r ) = M (t r ) c
2
c5
a
a
=
= 7.9972 × 10 69
J.
2
2 G H0 1+ a
1+ a2
（3.5）
（3.6）
４．宇宙の量子性
(
)
ビッグバン当時は R B ≡ dR B と考えられ，プランク長さ L P = 1.6162 × 10 −35 m を与えると，式
(1.1),(1.9),(1.12),(1.21)の何れも，ビッグバン時のスケールファクターは a B = 1.2230 × 10 −61 となる．したが
って， R B は dR B が歯止めになり，宇宙は R B = 0 から始まったのではなく， R B = L P から始まり，特異点 (無
限大のエネルギー密度，無限大の温度など)はなく，量子力学的要請により宇宙は誕生したと考えられる．
この a B を代入することにより,
式 (3.4)より
E (τ B ) =
c5
= 1.5994 × 10 70 J ,
G H0
(4.1)
式 (3.6)より
E (t B ) =
aB
c5
= 9.7805 × 10 8 J ,
2
2 G H 0 1 + aB
(4.2)
式 (1.13)より
τB =
1 1 2
a B = 3.2968 × 10 −105 s ,
H0 2
(4.3)
式 (1.15)より
dτ B = c −1a B dR (τ B ) = 6.5935 × 10 −105 s ,
(4.4)
式 (1.20)より
tB =
式 (1.17)より
dt B = c −1 1 + a B2
1
a B = 5.3912 × 10 − 44 s ,
H0
(
)
1/ 2
(4.5)
dR (t B ) = 5.3912 × 10 − 44 s ,
(4.6)
が得られ，次式のような一連のハイゼンベルクの不確定性関係が成立する．となれば，微小量 dR , dτ , dt
などは，量子論的（離散的）に ΔR , Δτ , Δt などと考えるべきである．
ΔE ⋅ Δt ≥
ハイゼンベルクの不確定性関係
理論系
E (τ B ) ⋅ dτ B
″
観測系
″
E (τ B ) ⋅ τ B
E (t B ) ⋅ t B
E (t B ) ⋅ dt B
(
= (1.5994 × 10
= (9.7805 × 10
= (9.7805 × 10
1
h = 5.2729 × 10 − 35 J ⋅ s .
2
)(
)
J ) ⋅ (6.5935 × 10
s ) = 1.0546 × 10
J )⋅ (5.3912 × 10
s ) = 5.2729 × 10
J ) ⋅ (5.3912 × 10
s ) = 5.2729 × 10
(4.7)
= 1.5994 × 1070 J ⋅ 3.2968 × 10 −105 s = 5.2729 × 10 −35 J ⋅ s .
70
8
8
−105
−44
−44
(4.8)
−34
J⋅s.
(4.9)
−35
J⋅s.
(4.10)
J⋅s .
(4.11)
−35
理論系では， E (τ B ) は M (τ m ) c 2 の２倍量， dτ B は τ B の 2 倍量である．観測系では，式 (4.2)により E (t B )
は E P の 1 2 倍量である．式 (4.5),(4.6)により t B と dt B は t P となる．式 (4.7)と(4.8),(4.10),(4.11)の各右辺は
完全に一致している．式 (4.9)の右辺は式 (4.7)の 2 倍量である．宇宙が膨張を始め，レプトン・バリオンなど
フェルミ粒子が登場し始めるころになると，マクロな宇宙の量子性は失われ，量子性はミクロな宇宙，すなわ
ち，放射素粒子のみの世界になる．
因みに，現在の量子時空においては，式 (1.4) より dτ 0 = t P ，式 (1.6) より dt 0 = 2 t P である．
(t
P
= 5.3912 × 10 −44 s : プランク時間 ;
E P = 1.9561 × 109 J : プランクエネルギー
)
５．宇宙の実相（理論系）と現象（観測系）
ロバートソン・ウォーカー計量
⎡ dχ 2
2
2
2
2
2
2⎤
ds 2 = −c 2 dτ m
sin
+ a (τ m )2 ⋅ ⎢
+
+
χ
d
θ
χ
θ
d
φ
⎥,
2
⎢⎣1 − Kχ
⎥⎦
(5.1)
から共動座標 χ を求める． ds = 0, dθ = 0, dφ = 0, K = 0 とおいて整理すると,
c dτ m = a (τ m ) dχ .
(5.2)
式 (5.2)に，式 (1.4)すなわち， dτ m = c −1 a 1 / 2 dR (τ m ) を代入すると,
a 1 / 2 dR (τ m ) = a (τ m ) dχ ,
(5.3)
c
a −1/ 2 da .
H0
(5.4)
∴ dχ =
a e に光を放射した天体 C e の共動座標 χ e は,
χe
∫0
∴
dχ =
χe =
c
H0
a 0 −1 / 2
∫a
a
ここで a e =
da ,
e
(
1
1 + ze
（ z e は赤方偏移）.
)
c
2 1 − a 1e / 2 .
H0
(5.5)
(5.6)
放射時空における放射天体 C e と地球 E e の固有距離 de は,
de = a e ⋅ χ e = a e ⋅
(
)
c
2 1 − a 1e / 2 .
H0
(5.7)
現在時空における放射天体 C0 と地球 E 0 の固有距離 d 0 は,
d0 = a 0 ⋅ χe = a 0 ⋅
(
)
c
2 1 − a 1e / 2 .
H0
(5.8)
未来時空における放射天体 C f と地球 E f の固有距離 d f は,
df =
(
)
c
1
1
⋅ χe =
⋅
2 1 − a 1e / 2 .
ae
ae H 0
（ χ e , A と d H の作図・数値計算においては H0 = 1, c = 1, 4π = 1 とする. ）
式 (5.6), (5.7), (5.8), (5.9)の夫々の関係を図 3 に示す．
(5.9)
現在の宇宙の実相は太い円 d 0 (理論系 )，私たちが観測しているのは de (観測系 )の宇宙で現象の世界
である．したがって，私たちには現在の宇宙の実相を観測する手段はない．
曲線 de および d f を中心軸の周りに回転して得られる曲面は観測点地球 E 0 近傍において過去及
び未来の光円錐を形成する．そして， de の回転曲面の表面積 Ae 式（5.11）は観測系の宇宙における可視
領域である． Ae は正に測地線の幾何学的表現である．
2
現在の宇宙の表面積理論系
〃
観測系
⎛ c
⎞
A0 = 4 π ⎜⎜
a 0 ⎟⎟ = 1
⎝ H0
⎠
Ae = 2 π
∫
1
0
⎛ c
⎜⎜
⎝ H0
de
(5.10)
2
2
⎞
⎞
⎛d
⎟⎟ + ⎜
de ⎟ da
⎠
⎝ da
⎠
2
⎛ c ⎞
⎟⎟ × 0.1683 = 0.1683
= 4 π ⎜⎜
⎝ H0 ⎠
（5.11）
また， d f は無限の未来時空において，共動座標 χ = 2R に収束する． 2R 以遠については永遠に観測され
ることはない．
d H は a 0 = 1における粒子的地平線 d Hm = 3cτ =
c
2a 3 / 2 である．
H0
なお，適当な３天体を選んで諸量を計算した結果を次表に示す．
３C273
０９５７＋５６１A,B
SDSS J 1148+5251
該当
de
d0
df
de
d0
df
de
d0
df
z
0.158
0.000
----
1.413
0.000
----
6.42
0.000
----
a
0.864
1.000
1.158
0.414
1.000
2.413
0.135
1.000
7.42
5.5
χe
0.1414
0.1414
0.1414
0.7125
0.7125
0.7125
1.2658
1.2658
1.2658
5.6
R (億光年 )
120.6
139.7
161.8
57.9
139.7
337.1
18.8
139.7
1036.5
1.1, 1.9
d (億光年 )
17.1
19.8
22.9
41.2
99.5
240.2
23.8
176.8
1312.0
5.7～5.9
τ (億歳 )
74.7
93.1
116.1
24.8
93.1
349.1
4.6
93.1
1882.2
1.2
t (億歳 )
143.8
170.3
202.1
63.5
170.3
494.1
19.4
170.3
2182.1
1.8
式 No.
β (τ m )
1.076
1.000
0.929
1.553
1.000
0.644
2.724
1.000
0.367
1.5
β (t m )
0.733
0.707
0.681
0.841
0.707
0.541
0.939
0.707
0.345
1.5
Ω(τ m )
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
2.3
Ω(t m )
0.463
0.500
0.537
0.293
0.500
0.707
0.119
0.500
0.881
2.6
◎ たとえば，クェーサー SDSS J 1148+5251(z=6.42) の場合 ,
理論系では宇宙年齢 4.6 億歳当時，観測系では宇宙年齢 19.4 億歳，宇宙曲率半径 18.8 億光年，密
度パラメータ Ω(t m ) = 0.119 ，地球より固有距離 23.8 億光年離れたクェーサーから放射された光を，150.9 億
年後 (=170.3-19.4)の現在の地球 E 0 で観測していることになる．そして，このクェーサーが現在も健在であ
れば固有距離 176.8 億光年の彼方にあり，この時空からの光の放射が地球で観測されるのは，遥か
2011.8 億年後 (=2182.1-170.3)と推定される．ただし，これよりかなり早い時期に地球は消滅していると考
えられる．
あとがき
１．
私たちが観測している宇宙は，肉眼であれ，望遠鏡その他の機器であれ，遠方を観測するほど過去
の世界であり，宇宙の実相とはかけ離れている．それにも拘らず，私たちはそれを十分承知していなが
ら，宇宙の実相を観測の中に求めようとしている．一般相対性理論に基づく理論的宇宙は，観測によ
って直接証明することは不可能な世界である．天体よりも若い宇宙の年齢，ミッシング・マスなど，理論
的にありえない現象も観測されうるし，逆に超光速で膨張する宇宙など実相の世界ではありうるかも知
れない．その要となるのが特殊相対性理論である．
２．
積分界 (R , τ , t など ) を相対論的な世界，微分界 (dR , dτ , dt など ) を量子論的な世界として統一で
きる． dR (τ m ) ≡dR (t m ) ≡dR (τ r ) ≡dR (t r ) ≡ΔR = L P (プランク長さ) と考えると， dR は時間の関数では
なく過去・現在・未来に亘って量子力学的期待値としての普遍的な物理量，すなわち，定数である．式
(4.8)と式 (4.9)の不一致は δ ρ / ρ = 2 につながり，「ゆらぎ」の根本原因である．
３．
図 1 から， dR は実数， dτ は虚数， dt は複素数であることが窺える．さらに敷衍し，共役複素数の世
界を考えれば，反時間，反エネルギー，反宇宙の世界が対生成した可能性も否定できない．
余話
〔０１〕アインシュタインの特殊相対性理論の論文には，運動系と静止系と定義されているが，
私の論文「宇宙の相対性と量子性」（以下私論という）では，一般相対性理論に基づく
座標系を理論系とし，逆変換した観測に基づく座標系を観測系とした．なぜなら，宇宙
は膨張しており，一般相対性理論に基づく宇宙はいかなる手段を用いても，私たちには
絶対観測することができない理論系（実相の世界）である．一方また，宇宙には静止し
ているものは何もない，私たちに見える宇宙も，ものすごい速度で膨張しており，私た
ちに見える宇宙を静止系というのは相応しくないので，観測系（現象の世界）とした．
〔０２〕
私論では一貫して，空間はスケールファクター a を用い，赤方偏移 z は観測には必要
だが，理論計算では複雑になるので最小限にとどめた．ハッブル定数 H0は観測誤差が
大きいので，とりあえず仮定値を用いた．
〔０３〕
私はアインシュタインの相対性理論に興味を持ったときから，特殊相対性理論と一般
相対性理論を関連づけるものが全くないのを不思議に思った．また，一般相対性理論と
謂いながら，私の知る限り，絶対的に宇宙年齢が結論付けられているのが納得できなか
った．浅学の私では，いろんな文献を調べても見つからなかった．唯一，岩波文庫「ア
インシュタイン相対性理論」で．原論文 (Zur Elektrodyn amik bewegter K&o&rper 1905 ) を翻訳
された内山龍雄教授の訳者補注 23 に一抹の僥倖を見いだした．これにより，理論系か
ら観測系に逆変換することができた．それは，
大抵の参考書には，ローレンツ変換は
x ′ = γ (x − v t ) ,
(
)
t′ = γ t − v x c 2 .
その逆変換は
x = γ (x ′ + v t ′) ,
(
)
t = γ t ′ + vx ′ /c 2 .
γ =
ただし
1
⎛v ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c ⎠
2
.
とある．
問題は逆変換の場合である．逆変換の場合静止系の速度 v は未知であり，運動系の速
度 v′から求めねばならない場合がある．すなわち
γ =
1
⎛v ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
⎛v ′ ⎞
= 1+ ⎜ ⎟
⎝c ⎠
2
である．
ベクトルとマトリックスで表すと
⎛ x′ ⎞ ⎛ γ
⎜
⎟ ⎜
⎜ y′ ⎟ ⎜ 0
⎜ z′ ⎟ = ⎜ 0
⎜
⎟ ⎜
⎜ ic t ′ ⎟ ⎜ − iβγ
⎝
⎠ ⎝
⎛ x ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y ⎟ ⎜
⎜ z ⎟=⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ic t ⎟ ⎜ iβγ
⎝ ⎠ ⎝
0
1
0
0
γ
β =
⎛ x ⎞
⎜
⎟
⎜ y ⎟
⎜ z ⎟ ⇒
⎜
⎟
⎜ ic t ⎟
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
0
γ
0 − iβγ ≡ −iβ ′ ⎞
⎟
0
0
⎟
⎟
1
0
⎟
⎟
0
γ
⎠
0
0
1
0
0
≡ iβ ′ 0
ここで，
iβγ
0
0
1
0
v
，
c
β′ =
v′
，
c
β =
⎛ x′ ⎞
⎜
⎟
⎜ y′ ⎟
⎜ z′ ⎟
⎜
⎟
⎜ ic t ′ ⎟
⎝
⎠
1
γ
x ′ = γ (x − v t ),
y' = y , z' = z ,
vx ⎞
⎛
t ′ = γ ⎜t − 2 ⎟
c ⎠
⎝
x = γ (x ′ + v t ′) ≡ γ x ′ + v ′ t ′,
y = y' , z = z' ,
⇒
v x′⎞
v′x′
⎛
t = γ ⎜t ′ + 2 ⎟ ≡ γ t ′ + 2
c ⎠
c
⎝
β′．
静止系でv > １２ｃならば，　運動系では v ′ > c となり, 超光速となる．
＊＊
物質期を例にとり，
私論の式（ 1.5）v (t m ) = c (1 + a )
[
]
) = [1 + β (τ ) ]
γ (t m ) = 1 − β (t m )2
γ (τ m
−1/ 2
−1 / 2
2 1/ 2
m
≡ v,
式 (1.3）v (τ m ) = c a −1/ 2 ≡ v ′
[
= 1 − (1 + a )−1
(
= 1 + a −1
)
]
−1 / 2
(
= 1 + a −1
と置き換えれば，
)
1/ 2
1/ 2
となり，ローレンツファクターは γ (t m ) ≡ γ (τ m ) と，全く同一になるが，逆変換前は v (t m )
は未知であり， v (τ m ) から求めねばならない．
これにより求められた私論 1 章の観測系の宇宙年齢は 170 億歳である．
〔０４〕
私論の図１では dR , cd τ , cdt はピタゴラスの定理を形成する．ビッグバン時 θ B ≈ 0o ，
現在値は θ 0 = 45 o ，さらに宇宙の膨張とともに拡大し，無限の未来において θ ∞ = 90 o に
収束する．
〔０５〕
観測系の膨張速度は光速度を超えることはないが，理論系は光速度を超える．参考の
ため，私論，式 (1.14) v B (τ r ) = c a B −1 からビッグバン時の膨張速度を求める．
a B = 1.2230 × 10 −61 とおくと（私論 4 章．宇宙の量子性参照）
(
)(
v B (τ r ) = 2.9979 × 10 8 m ⋅ s −1 ⋅ 1.2230 × 10 − 61
)
−1
= 2.4512 × 10 69 m ⋅ s −1
となる．これは光速度に対して 8.1766 × 10 60 倍と恐るべき膨張速度である．でも，無限
大の速度ではない．加速度を求めると
v& B (τ r ) =
d 2R
dτ B2
= −c H 0 a B− 3 = −3.7176 × 10173 m ⋅ s − 2
となり，減速膨張の開始点である．だが，一方つぎに示すように宇宙唯一の加速膨張が
量子期にある．いま別法で v B (Q ) を表す．
dR B = L P （プランク長さ）と式 (4.4) dτ B = 6.5935 × 10 −105 s より
v B (Q ) =
dR B
1.6162 × 10 −35 m
=
= 2.4512 × 10 69 m ⋅ s −1
−
105
dτ B
6.5935 × 10
s
となる．したがって，ビッグバンによる膨張加速度 v& B (Q ) は
v& B (Q ) =
d v B (Q ) 2.4512 × 10 69 m ⋅ s −1
=
= 3.7176 × 10173 m ⋅ s − 2
−
105
dτ B
6.5935 × 10
s
となる．なんと！量子宇宙はビッグバンによって vB ≈ 0 から，想像を絶する膨張加速
度でもってはじまったのである．
（この加速度をビッグバン膨張加速度と名付ける．）
曲率半径がたった L P = 1.6162 × 10 −35 m （プランク長さ）の量子宇宙に，式 (4.1)にみら
れる，この膨大なエネルギー E (τ B ) の根源は？
宇宙と反宇宙の対生成の反発（私論付 2
滅多に起きない量子同士の衝突による
参照）によって得られたと考えられる．v B (Q )
は先に示した減速開始点 v B (τ r ) と一致している．この直後，減速膨張に転ずる．減速し
たとはいえ，現在の理論系の膨張速度は式（ 1.3 ） v (τ m ) = c a −1/2 から光速度である．ビ
ッグバンから現在までの平均速度は光速度の 1.5 倍にもなる．
〔０６〕
私論２章，大抵の参考書には，減速パラメータ q の求め方は
q = −
a a&&
a& 2
であるが，これから，観測系の減速パラメータを求めるには浅学の私には手に負えず，
私論 2 章では以前によく利用した対数微分によった．
これによると物質期の理論系の場合，密度パラメータは式 (2.3) より Ω(τ m ) = 1 である
が，観測系の場合は式 (2.6) より Ω(t m ) ≤ 1/2, 加重平均値は Ω (t m ) = 0.3069 である．した
がって私論では，レプトン・バリオンとダークマターの観測値が Ω (t m ) を満たしておれ
ばよい．
（太陽ニュートリノ問題もこれにて一件落着）
Ω(τ m ) − Ω (t m ) = 1 − 0.3069 = 0.6931 が理論系から観測系に逆座標変換したことによって
欠落した密度である，たとえ実相の宇宙の Ω が１であっても，現象の世界に住む私たち
には絶対に観測することができない，いわゆる「ミッシング・マス」である．
これがダークエネルギーの正体である．
（ダークマターについては〔１１〕参照．）
ところで本来，物質期の密度パラメータは，放射エネルギー密度も考慮しなければな
らないが，計算が複雑になり，そのわりに結果に与える影響は小さいので省略し，付１
に譲った．
〔０７〕
c3
c
私論 3 章・物質期の理論系；式 (3.1) M (τ m ) =
を
について解くと
2G H 0 H 0
R0 =
2G M (τ m )
c
=
= rg (τ m ) = 1.3969 × 1010 ly
2
H0
c
すなわち，宇宙曲率半径 R 0 はシュバルツシルドの重力半径 rg (τ m ) となる．要するに物質期の理
論系の宇宙は壮大なブラックホールそのものであることを窺わせる． M (τ m ) が時間によらず一定
のため， rg (τ m ) も一定である．等密度時の宇宙曲率半径は R m = r = 7.0549 × 10 5 ly であり (私論
付１参照 ) , R m = r ≪ rg (τ m ) である．現在の宇宙はやっとブラックホールの表面に達した．さらに膨
張する宇宙の未来についてはブラックホールから脱け出すことになる．現在理論系の宇宙は光
速度で膨張を続けているが，ブラックホールは光も脱け出せないと謂われている．もし，脱け出せ
なければ宇宙は膨張できない．
c3
a
c
a
を
について解くと
一方，観測系では，式 (3.2) M (t m ) =
2G H 0 1 + a H 0 1 + a
2G M (t m )
c
a
=
= rg (t m )
H0 1 + a
c2
となり，重力半径は密度パラメータ γ (t m ) の 2 乗に反比例する．したがって，現在の宇宙曲率半
径は観測系の重力半径 rg (t m ) の 2 倍あり，すでにブラックホールから脱け出し，さらに未来に向
かって膨張しつつある現象を私たちに見せていると想われる．
観測系のことは現象の世界のできごとであり,さておくとして，理論系は実相の世界であり，ブラ
ックホールのパラドックスか？否！中性子星の密度以上の高密度でなければ，宇宙の重力崩
壊はない．しかし，宇宙は重力崩壊するほどの高密度はおろか，中性子星ほどの高密度にもなら
なかった．したがって，宇宙そのもののブラックホールは蜃気楼のようなもので実体がない．
〔０８〕
一般相対性理論と量子理論はなかなかうまく両立できないといわれてきた．だが，宇
宙論の場合，曲率半径 R は式 (1.1),(1.9),(1.12),(1.21) ともに
R =
c
a
H0
R =
c
H0
であるが，
a
∫0 da
とおくならば，
da は微小量を表し， 0 ではない，したがって，積分記号の下辺値は
R =
c
H0
a
∫dada
でなければならない．このように考えると，この積分式は量子性の世界である
dR =
c
da
H0
と，相対性の世界である
R =
c
a
H0
との架け橋である．ビッグバンの時には R B = dR B となり，相対性と量子性は統一され
ていた．
したがって，数式で漫然と下辺値を 0 と置いているのは疑問である．ともか
く，物理的には（少なくとも宇宙論では）長さの微小量の極限値を
dR =
c
c
da =
Δa = ΔR = L P (プランク長さ )
H0
H０
と考えるのが妥当である．
〔０９〕
私論 4 章，宇宙の量子性を考えるとき，宇宙はプランク単位で始まったとされるのは
観測系である．確かに，プランク単位の諸量は観測系の実測データを基に理論構築され
たものであり，当然と云えば当然である．ここで，ハイゼンベルクの不確定性関係が適
用されているとは思っても見なかった．驚きである．
〔１０〕
私論５章，図 3 では， de , d f がこのように描けるとは思っても見なかったので，
ここでも驚きだった．光が曲線を描いて進むのが実感できたし，光が重力によって曲げ
られなければ私たちは，銀河や星たち，否，宇宙の全ての現象も観測できない．また光
円錐も実感できた．特筆すべきは，式 (5.7) の de は角度距離，式 (5.9) の d f は光度距離
と謂われている．妙な巡り合わせである．
〔１１〕
私論５章，過去圏の光円錐の積分値 Ae = 0.1683 が広大な宇宙 A0 = 1 の中にあって,私
たちが現実に観測できる可視領域はこれだけである．
したがって， A0－Ae = 1－0.1683 = 0.8317 が観測系の不可視領域である．不可視領域の
物質が，いわゆる「ダークマター」である．ダークマターは可視領域の物質となんら変わりがない同
質の物質である．ただ，観測点地球 E0 の位置からは観測できないだけである．もしも私たちが自
由に観測系の宇宙を駆け巡ることができるならば，観測系の宇宙の全てが可視領域となる．東京
からは全地球は見渡せない．同じことである．これがダークマターの正体である．
〔１２〕
私論２章の物質期・観測系の密度パラメータの加重平均値 Ω (t m ) = 0.3069 に，
可視領域 Ae = 0.1683 ,
不可視領域 A0－Ae = 1－0.1683 = 0.8317 ,
それぞれ乗ずると,
バリオン・レプトンの観測値 Ω (t m )B & L =0.0517 と ,
ダークマターの観測値 Ω (t m )DM =0.2552 の ,
夫々の理論的 Ω (t m ) が求められる .
付１
等密度時と分離時 (宇宙の晴れ上がり )
式 (1.3) v (τ m ) = c a −1/ 2 と，式 (1.14) v (τ r ) = c a −1 を比較した場合，数学的には
a < 1ならば，膨張速度は放射期の方が物質期よりも速い．
a = 1ならば，膨張速度は放射期と物質期は同じである．
a > 1ならば，膨張速度は物質期の方が放射期よりも速い．
しかし，物理学的には放射期は a ≪1 であり，等密度時と分離時の宇宙年齢は放射期を採らねば
ならない．
（物質期は放射期の後に続くので採らない），したがって
等密度時は，放射期の理論系
約 18 歳，観測系
約 5800 歳，観測系
分離時は，放射期の理論系
約 70 万歳
である．
約 1270 万歳である．
諸量の計算値は次の通りである．
χ eは　H 0 = 1; c = 1;
該当式 No.
等密度時
分離時
現在時
スケールファクター a
5.0507 × 10 −5
9.0867 × 10 −4
1.0000 × 10 0
赤方偏移 z
19799
1100
０
5.5
共動座標 χe
1.9858
1.9397
０
5.6
曲率半径 R (ly )
7.0553 × 10 5
1.2693 × 10 7
1.3969 × 1010
1.1
物質エネルギー密度 ε m J/m 3
6.4202 × 10 3
1.1025 × 10 0
8.2718 × 10 −10
( 注 1)
3
6.4202 × 10 3
6.1282 × 10 −2
4.1779 × 10 −14
( 注 2)
理論系
2.0000
1.0556
1.0000
( 注 3)
観測系
0.0001
0.0009
0.5000
2.6 ， 2.12
5.3973 × 10 4
3.000 × 10 3
2.726 × 10 0
( 注 4)
理論系
3.3427 × 10 3
2.5508 × 10 5
9.3126 × 10 9
1.2 ( 注 5)
観測系
7.0554 × 10 5
1.2696 × 10 7
1.7027 × 1010
1.8
理論系
1.7817 × 101
5.7670 × 10 3
6.9845 × 10 9
1.13
観測系
7.0554 × 10 5
1.2693 × 10 7
1.3969 × 1010
1.20
理論系
1.4071 × 10 2
3.3174 × 101
1.0000 × 10 0
1.3
観測系
9.9997 × 10 −1
9.9955 × 10 −1
7.0711 × 10 −1
1.5
理論系
1.9799 × 10 4
1.1005 × 10 3
1.0000 × 10 0
1.14
観測系
1.0000 × 10 0
1.0000 × 10 0
7.0711 × 10 −1
1.16
3 H2 2
c ，
8π G
(注２ )
放射エネルギー密度 εr
密度パラメータ
(Ω m
+ Ωr )
温度 T
宇宙
物質期
年齢
(yr )
膨張
放射期
物質期
速度
(v / c )
放射期
( )
(J/m )
(K )
εm =
（注１）
物質エネルギー密度
（注 3）
密度パラメータ理論系
（注４）
分離時温度 T DEC = 3000K ,
（注５）
正確に記するならば，宇宙年齢（物質期・理論系）の現在時は
Ω=
(
放射エネルギー密度
εr =
εm + εr
εm
宇宙背景放射現在時　TCMB = 2.726K
)
9.3126 × 10 9 − 2.5508 × 10 5 − 5.7670 × 10 3 = 9.3124 × 10 9 (yr ) .
π2 k4
15 h 3 c 3
T4
付２
宇宙と反宇宙の対生成
あとがきで触れた反宇宙の反粒子は，宇宙の反粒子とは趣を異にする．
宇宙 U (τ ) での粒子 P (τ ) および反粒子 P (τ ) … … ならびに，
反宇宙 U (τ ) での反粒子 P (τ ) および粒子 P (τ ) … … とすれば，
宇宙 U (τ ) では粒子 P (τ ) と反粒子 P (τ ) が遭遇すれば対消滅する．これは，反宇宙 U (τ ) においても同
じで，反粒子 P (τ ) と粒子 P (τ ) が遭遇すれば対消滅する．しかし，宇宙 U (τ ) の粒子 P (τ ) と反宇宙 U (τ )
の反粒子 P (τ ) はビッグバン ( τ ≈ 0 ≈ τ
) により対生成したが，対消滅することはない．なぜならば，
宇宙 U (τ ) の時間 τ に対して，反宇宙 U (τ ) は反時間 τ のため， P (τ ) と P (τ ) は対生成後全く遭遇する
ことはない．
宇宙創造のシナリオ
１．
ビッグバン時，宇宙はどんな物質素粒子よりも小さかった．フェルミ粒子と呼ばれるパウ
リの排他原理に制約される物質素粒子は存在できない．したがって、ゲージボソンとメソン
と呼ばれるパウリの排他原理に制約されないボーズ粒子のみが生成された．
２．
中間子と光子は弱い相互作用 Z によって [u, d, e, ν e ]とそれらの反粒子に変換された．
役目を終え寿命の尽きた弱い相互作用 Z は強い相互作用 S と重力相互作用ｇに変換される．
３．さらに， [u, d, e, ν e ]とそれらの反粒子は重力相互作用ｇによって質量を与えられ膨張した
宇宙に物質として，反宇宙に反物質として登場する．
付３‐１．初期宇宙の相対論的挙動
ビッグバン時
Big Bang time
スケールファクター
a B = 1.2230 × 10 −61
宇宙曲率半径
L B = 1.6162 × 10 −35 m
宇宙年令
τ B = 3.2968 × 10 −105 s
宇宙膨張速度
v B = 2.4513 × 10 69 m ⋅ s -1
宇宙の温度
T B = 2.2289 × 10 61 K
宇宙のエネルギー
E (τ B ) = 1.5994 × 10 70 J
dτ B = 6.5935 × 10 −105 s
物質部分
Matter part
7.9972 × 10 69 J
放射部分
Radiant part
7.9972 × 10 69 J
宇宙の密度パラメータ
Ω(τ B ) = 2.0000
Equi-Density time
等密度時
スケールファクター
a eq = 5.0507 × 10 −5
宇宙曲率半径
L eq = 6.6745 × 10 21 m
宇宙年令
τ eq = 5.6226 × 10 8 s
宇宙膨張速度
v eq = 5.9357 × 1012 m ⋅ s -1
宇宙の温度
Teq = 5.3973 × 10 4 K
宇宙のエネルギー
E (τ eq ) = 1.5994 × 10 70 J
物質部分
Matter part
7.9972 × 10 69 J
放射部分
Radiant part
7.9972 × 10 69 J
宇宙の密度パラメータ
Ω(τ eq ) = 2.0000
Decoupling time
分離時
スケールファクター
a dec = 9.0867 × 10 −4
宇宙曲率半径
L dec = 1.2008 × 10 23 m
宇宙年令
τ dec = 1.8199 × 1011 s
宇宙膨張速度
v dec = 3.2992 × 1011 m ⋅ s -1
宇宙の温度
Tdec = 3.000 × 10 3 K
宇宙のエネルギー
E (τ dec ) = 8.4417 × 10 69 J
物質部分
Matter part
7.9972 × 10 69 J
放射部分
Radiant part
4.4447 × 10 68 J
宇宙の密度パラメータ
Ω(τ dec ) = 1.0556
付３‐２．
初期宇宙の相対論的挙動 LOG
Big Bang time
log a B = −60.9125
log L B = −34.7915 m
log τ B = −104.4819 s
log dτ B = −104.1809 s
log v B = 69.3894 m ⋅ s -1
log TB = 61.3480 K
E (τ eq ) = 1.5994 × 10 70 J
Matter part
7.9972 × 10 69 J
Radiant part
7.9972 × 10 69 J
Ω(τ B ) = 2.0000
Equi-Density time
log a eq = −4.2966
＊
56.6159
log L eq = 21.8244 m
＊
56.6159
log τ eq = 8.7499 s
＊
113.2318=56.6159×2
log v eq = 12.7735 m ⋅ s -1
log T eq = 4.7322 K
＊
－ 56.6159
＊
－ 56.6159
E (τ eq ) = 1.5994 × 10 70 J
Matter part
7.9972 × 10 69 J
Radiant part
7.9972 × 10 69 J
Ω(τ eq ) = 2.0000
Decoupling time
log a dec = −3.0416
＊
57.8709
log L dec = 23.0795 m
＊
57.8709
log τ dec = 11.2601 s
＊
115.7420=57.8709×2
log v dec = 11.5184 m ⋅ s -1
＊
－ 57.8709
log Tdec = 3.4771 K
E (τ dec ) = 8.4417 × 10 69 J
Matter part
7.9972 × 10 69 J
Radiant part
4.4447 × 10 68 J
Ω(τ dec ) = 1.0556
* differences between Big Bang time
＊
－ 57.8709

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