講義ノート37～40

基礎物理２／電磁気学
アンペールの法則
電流のまわりには磁場（磁力線）ができることを学んだ。
① どんな形状の導体に電流が流れていても，② 電流が複数あっても，
磁場を求めることができる，一般的に成り立つ法則はあるだろうか。
電流のまわりの磁力線は渦をまき，湧き出し・吸い込みが存在しない。
→ 磁場に関するガウスの法則では，磁場を決められない。
電流が作る磁束密度
B
I
2 r
。
r
2 r … 磁力線の長さに関係していそうだ。
⇒
2 r
I

磁束密度 B の循環
電流が作る磁束密度の式を
B  ( 2 r )   I
と変形し，左辺の量
 B  B  (2 r ) ［T･m］＝［N/A］

を，磁束密度 B の循環と呼ぶ。循環は“渦の強さ”を表

す量である。直線電流の周りの磁束密度 B の循環  B は，
I
どの磁力線に沿って求めたかに依らず，その磁力線が取
閉曲線 C
り囲んでいる電流の大きさ I に比例する。
r
B  I
ds
A
アンペールの法則
上の関係式は，
① 電流が直線形状でない曲がった電流
② ２本以上の電流が磁力線（向き付き閉曲線 C ）の内側を通っている
ような，一般的な場合にも成り立つ。
任意の向き付き閉曲線 C に対して計算した循環  B と，C の内側を通る
全電流を I in の間には，
 B   I in

C
Bs  ds   I in
の関係が成り立つ。
（この法則は，閉曲線 C が磁力線に沿っていなくても成り立つ。）
：アンペールの法則
（アンペアの法則）
37
Bs  B
基礎物理２／電磁気学
（参考）
ある向き付きの閉曲線 C について，循環  B を次
B
Bs
の積分で計算する。
B 

C

( B cos )  ds 
C
ds
B s  ds
A


B
このアンペールの法則により，どんな形状の電流でも，そのまわりの磁束密
度（磁力線）が決定される。
例題① 半径 r ［m］の円形の磁力線 C に沿って，積分
積分
 ds を計算せよ。
C
 ds とは，半径 r の円周 C の長さ L を，微小な長さ ds（たとえば ds 
C
L
）の部分に区切り，そのすべての微小な長さ ds を，１周分足し合わ
1000
せることである。
したがって，
L
 ds  ds  1000  1000  1000  L
r
C
ds
 2 r
C
この積分は，磁力線の長さ（円周の長さ）に等しい。
閉曲線 C の内側を通る全電流 I in は，
C の向きに回した右ねじが進む向きに流れる電流を正，
その逆向きに流れる電流を負として，
足し合わせで求める。
Bs
正の電流
I2
負の電流
I1
I3
ds
C

B
右手
（右ねじ）
閉曲線
I in 
I1  I 2
［A］
38
の向き
基礎物理２／電磁気学
例題②
真空中で次の場合の，閉曲線 C の内側を通る全電流 I in から，閉曲線 C に

沿っての磁束密度 B の循環  B を求めよ。
ただし， I1  10 ［ A ］， I 2  20 ［ A ］， I 3  30 ［ A ］， I 4  40 ［ A ］，
I 5  50 ［A］とする。
閉曲線 C
閉曲線 C の向きに右ねじをまわすと，
I1
表から裏の向きにねじが進む。
したがって，
向きの電流が正，
I 2 I 4 I3 I5
向きの電流が負
I in   I1  I 2  I 4  (10  20  40)[A]  10[A]
アンペールの法則より，
」
 B   I in  4  10 7 [N/A 2 ]  10 [A]  4  10 6 [N/A]
例題③ 十分に長い直線上の導線に I［A］の電流を流したとき，導線から距離 r［m］
だけ離れた位置にできる磁束密度の大きさ B ［T］を，アンペールの法則を
用いて求めよ。
磁力線は円形状にできるから，直線電流 I 上の点を中心とする半径 r ［m］の
円周 C を考える。
B
C の向きは電流に対して右ねじを回す向きにとる。
アンペールの法則は，

Bs  ds   I in
C
左辺＝

C
Bs  ds 

C
B  ds  B 
ds

C
ds
I
r
 B  2 r
右辺＝  I in   I
∴ B  2 r   I
→
C
B
I
2 r
［T］
☆ 直線電流の磁束密度 B の式の分母 2 r は，磁力線の長さである！
39
基礎物理２／電磁気学
応用導線をらせん状に，間隔をあけないで密に巻いた円筒状のコイルをソレノイ
ドという。1［m］あたりの巻き数が n ［1/ｍ］である十分に長いソレノイド
の内部の磁束密度の大きさ B を，アンペールの法則を用いて求めよ。
ソレノイドが作る磁力線は，ソレノイドの内部に閉じ込められ，
B
ソレノイドの内部ではソレノイドに平行で，
S
電流の向きに右ねじを回したときに右ねじが進む向き
ソレノイドの外部ではゼロである。
N
I
閉曲線 C ：（長方形）abcda を考える。
ab： Bs  B
，bc： Bs  B cos 90  0
cd： Bs  0
，da： Bs  B cos 90  0
左辺＝

C
Bs  ds 

b
a
I
b
Bd s  B   d s  B  L
a
L
閉曲線 abcda の内側を通る導線の数 N  nL
右辺＝   I in    N  I    nL  I
B   nI
d
c
外部
a
b
内部
B
アンペールの法則より， B  L    nL  I
∴
B
［T］
真空中（  0  4  10 7 ［N/A2］
）で， n  20000 ［m－1］， I  10 ［A］として，
B   nI  4  10 7 ［N/A2］  20000 ［m－1］  10 ［A］  0.25 ［T］
S
静電場を決定する法則
①電場に関するガウスの法則：  E 
r
Q in

ある閉曲面 S から出て行く電気力線の数  E は，
閉曲面 S の内部に囲まれた全電気量Q in によって決まる。
②静電場には渦がない：  E  0
点電荷の場合，  E  E  S ， S  4 r 2 より E 
1
Q
4 r 2
静磁場を決定する法則
③アンペールの法則：  B   I in
④磁場に関するガウスの法則：  B  0
（磁場には，湧き出し／吸い込みが存在しない。）
40

が得られる。

Download Report