練習 (最大・最小 N o.2)
a を定数とする。x の関数 f (x) = x2 − 2x − 2a|x − 1| + 2 について，以下の問いに答えよ。
(1) t = |x − 1| とするとき，f (x) を t を用いて表せ。
(2) y = f (x) の最小値が −8 となるとき，a の値を求めよ。
〔解答〕
(1) t = |x − 1| とおくと
t2 = |x − 1|2
= x2 − 2x + 1
⇐⇒ x2 − 2x + 2 = t2 + 1
よって
f (x) = (x2 − 2x + 2) − 2a|x − 1|
= t2 − 2at + 1
y
(2) t = |x − 1| より t = 0
g(t) = t2 − 2at + 1 (t = 0) とおくと
g(t) = (t − a)2 − a2 + 1
(i) a < 0 のとき
グラフより 最小値 1 (t = 0)
a
O
最小値が −8 とならないので不適。
t
(ii) a = 0 のとき
グラフより 最小値 −a2 + 1 (t = a)
よって −a2 + 1 = −8
⇐⇒ a = 3 (a = 0 より)
y
(i), (ii) より a = 3
a
O
t

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無題 - SUUGAKU.JP

§ ¦ ¤ ¥ O y x 1 a y = x2 − 2x + 1 1 2 x2 − 2x +1=1 ⇒ x = 0, 2 O y x 2 a

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y = 1 x2 - SUUGAKU.JP

統計力学I 小テストと解答(2015/5/22)

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