統計力学I 小テストと解答(2015/5/22)

統計力学 I 小テストと解答 (2015/5/22)
問
確率 p で表、1 − p で裏を示すコインを投げることを考える。以下の問いに答えよ。
(1)
この系の統計力学エントロピーを求めよ。
(解答):
エントロピーの定義から
S = −kB
∑
pi ln pi
i=表 or 裏
= −kB {p ln p + (1 − p) ln (1 − p)}
(1)
(2)
前問から熱力学的にもっとも安定な p の値を求めよ。
(解答):
熱力学的にもっとも安定なとき、エントロピー S が最大となるときである。
0 ≤ p ≤ 1 であることから、この範囲において、(1) 式が最大となる p の値を求めればよい。
lim x ln x = 0
x→0
であることから、p = 0, p = 1 において S = 0 となる。一般に S ≥ 0 であり、(1) は定義域にお
いて連続関数であることから
dS
=0
dp
なる p の値が S を最大とする値である。
(
)
dS
1
(−1)
= −kB ln p + p − ln (1 − p) + (1 − p)
dp
p
1−p
= −kB (ln p − ln (1 − p))
p
= −kB ln
1−p
=0
∴p=
1
2

Download Report