例題
(大小の比較)
√
(1) x > 0 のとき，log x < x を示せ。
(2) 関数 f (x) =
log x
(x > 0) の増減を調べ，グラフを描け。
x
(3) 99100 と 10099 の大小を調べよ。
● 99100 , 10099 のように，指数型であれば対数をとるのが定石です。
〔解答〕
√
x − log x (x > 0) とおく。
√
1
1
x−2
g ′ (x) = √ − =
2x
2 x x
(1) g(x) =
g ′ (x) = 0 となるのは，x = 4 のとき。 x
0
′
g (x)
···
4
···
−
0
+
極小
g(x)
g(4) = 2 − log 4 = 2(1 − log 2) > 0 であるので，
x > 0 において g(x) > 0
したがって，x > 0 のとき，log x <
√
x が成り立つ。
1
· x − log x
1 − log x
(2) f ′ (x) = x
=
x2
x2
f ′ (x) = 0 となるのは，x = e のとき。
x
0
′
f (x)
···
e
···
+
0
−
1
e
f (x)
ここで，(1) より，x:::::::::::::
> 1 において
0 < log x <
::::::::
√
log x
1
x ⇐⇒ 0 <
<√
x
x
1
= 0 であるから，
x
lim √
x→∞
はさみうちの原理より lim f (x) = lim
x→∞
x→∞
log x
=0
x
y
また， lim f (x) = −∞ であるので，グラフは
x→+0
右図のようになる。
y=
1
e
log x
x
x → ∞ より x > 1 で考えます。
x > 1 でないと，log x > 0 を利用できません。
O
e
x
(3) x > e において，f (x) は単調減少。
n = 3 のとき
f (n) > f (n + 1)
⇐⇒
log n
log(n + 1)
>
n
n+1
n
> log(n + 1)
⇐⇒
log nn+1
底 e (> 1) より nn+1 > (n + 1)n
n = 99 として 99100 > 10099
問題
(
)
1
1
(1) x > 0 のとき，不等式 log 1 +
>
を示せ。
x
x+1
(
)99 (
)100
100
101
(2) と
の大小を比較せよ。
99
100
〔解答〕
(
)
1
1
(1) f (x) = log 1 +
−
(x > 0) とおく。
x
x+1
1
2
1
1
f ′ (x) = − x
+
=−
<0
2
1
(x + 1)
x(x + 1)2
1+
x
x > 0 において，f (x) は単調減少。
{ (
)
}
1
1
lim f (x) = lim log 1 +
−
x→∞
x→∞
x
x+1
(x > 0 より。)
= 0
より，x > 0 において f (x) > 0
(
)
1
1
したがって，x > 0 のとき，log 1 +
が成り立つ。
>
x
x+1
(
)x
1
(2) g(x) = 1 +
(x > 0) とおく。
x
g(x) > 0 より，両辺の自然対数をとると
(
log g(x) = log 1 +
1
x
)x
(
)
1
= x log 1 +
x
両辺 x で微分して
1
(
)
− 2
1
g ′ (x)
x
= log 1 +
+x·
1
g(x)
x
1+
x
{ (
)
}
1
1
⇐⇒ g ′ (x) = g(x) log 1 +
−
x
x+1
)
(
1
1
−
> 0 ((1) より。) から g ′ (x) > 0
g(x) > 0, log 1 +
x
x+1
x > 0 において，g(x) は単調増加。
(
)n (
)n+1
1
1
よって，自然数 n において 1 +
< 1+
n
n+1
(
)99 (
)100
1
1
n = 99 として 1 +
< 1+
99
100
(
)99 (
)100
100
101
したがって <
99
100

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