2014/04/18(金) 19:40-21:10 数学演習第 2 回解答 (概要)
1. 次の式から ( ) 内の定数を消去して, 微分方程式を作れ.
[50 点]
(1) y = a cos kx + b sin kx
(a, b)
(2) ax2 + by 2 = 1, ただし b ̸= 0
(a, b)
解答 (概要). はじめに, 各式の両辺を x で微分し,
(微分方程式の一般解にあらわれる任意定数の個数) = (微分方程式の導関数の次数)
となることに注意し, y = y(x) を未知関数とする微分方程式を導出しよう.
(1) 微分方程式の解 y = a cos kx + b sin kx の任意定数は a, b の 2 つなので, その解をみたす方程式は 2 階の微分方程式である.
はじめに, y = a cos kx + b sin kx の両辺を x で微分すると
y ′ = −ak sin kx + bk cos kx.
(∗)
また, (∗) 式の両辺を x で微分すると
y ′′ =(−ak sin kx + bk cos kx)′
= − ak 2 cos kx − bk 2 sin kx
= − k 2 (a cos kx + b sin kx)
= − k 2 y.
したがって, 2 階の微分方程式 y ′′ = −k 2 y が得られる.
· · · (答)
(2) 微分方程式の解 ax2 + by 2 = 1 の任意定数は a, b の 2 つなので, その解をみたす方程式は 2 階の微分方程式である.
はじめに, y が x の関数であることに注意し, ax2 + by 2 = 1 の両辺を x で微分すると
(ax2 + by 2 )′ = 0
⇐⇒ 2ax + 2byy ′ = 0.
(∗∗)
ここで, y ′ も x の関数であることに注意し, yy ′ の両辺を x で微分すると
(yy ′ )′ =y ′ y ′ + y(y ′ )′
′ 2
(積の微分公式より)
′′
=(y ) + yy .
(∗∗∗)
よって, (∗∗) 式の両辺を x で微分し, (∗∗∗) 式を用いると
(2ax + 2byy ′ )′ = 0
⇐⇒ 2a + 2b(yy ′ )′ = 0
⇐⇒ 2a + 2b((y ′ )2 + yy ′′ ) = 0,
(∗4)
すなわち, a = −b((y ′ )2 + yy ′′ ) を (∗∗) 式に代入すると
2ax + 2byy ′ = 0
⇐⇒ − 2b((y ′ )2 + yy ′′ )x + 2byy ′ = 0.
最後に, b ̸= 0 より, (∗5) 式の両辺を −2b で割ると, 2 階の微分方程式 ((y ′ )2 + yy ′′ )x − yy ′ = 0 が得られる.
(∗5)
· · · (答)
2. 次の微分方程式を解け.
[50 点]
(1) y + 2x
dy
=0
dx
(2) (1 + x2 )dy + (1 + y 2 )dx = 0
解答 (概要). (1) 与式より,
dy
y
=−
dx
2x
である. はじめに, x = 0, y ̸= 0 のとき
∫
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∫
dy
dx
=−
y
2x
1
log y = − log |x| + C
2
√
log y = − log x + C
1
log y = log √ + C
x
ec
log y = log √
x
C
y = √ , C ̸= 0. (eC を C と置き換えた)
x
C
なお, x = 0, y = 0 も解であるが, C = 0 を (⋆) 式に代入した解と同一である. したがって, y = √ (C は任意定数).
x
(⋆)
· · · (答)
(2) 与式より,
dy
dx
+
=0
1 + y2
1 + x2
である. したがって,
∫
dy
+
1 + y2
∫
dx
= 0,
1 + x2
すなわち,
tan−1 y + tan−1 x = C
(注 1)
⇐⇒ tan−1 y = C − tan−1 x
⇐⇒ y = tan(C − tan−1 x)
tan C − tan(tan−1 x)
1 + tan C · tan(tan−1 x)
C −x
⇐⇒ y =
. (tan C を C と置き換えた)
1 + Cx
(注 2)
⇐⇒ y =
以上より, y =
C −x
(C は任意定数).
1 + Cx
· · · (答)
注意. 1. tan−1 y + tan−1 x = C と y + x = C は同値ではない.
2. 正接 (tan) の加法定理:
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
を用いた (α = C, β = tan−1 x を (⋆⋆) 式に代入し, 各自で確かめよう).
2
(⋆⋆)

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