1 2 3 4 5 6 7
第回
10 11ともなって変わる2つの量
12 13 14 15 16 17
20 21 22 23 24 25 26 27
30 31
６年
学習日
月日
ひれい
はん
ぴれい
比例と反比例
〈比例〉
右の表は，直方体の形をした水そうに水を
3倍
2倍
エックス
入れたときの，水を入れた時間x 分と，水の深さ
ワイ
yeの関係を表したものです。
あたい
右の表で，xの値が2倍，3倍，……になると，y
時間x
（分） 1
2
深さy（e） 6
12 18 24 30 36
3
の値も2倍，3倍，……になっています。
4
5
6
2倍
3倍
このように，ともなって変わる2つの量xとyがあ
り，xの値が2倍，3倍，……になると，yの値も2倍，3倍，……になるとき，yはxに比例す
るといいます。
たいおう
yがxに比例するとき，xの値でそれに対応する
時間x
（分） 1
2
yの値をわった商は，いつもきまった数になるこ
深さy（e） 6
12 18 24 30 36
とから，次の式が成り立ちます。
y/xの商
6
6
3
6
4
6
5
6
6
6
y÷x＝きまった数 ➡ y＝きまった数×x
例右上の表のxとyの関係を式で表すと，
←きまった数 6 は y÷x の商で，x = 1 のときのyの値
y=6*x 例題
1
はりがね
右の表は，ある針金の長さxqと重さyaの関
長さx（q） 3
5
イ
係を表したものです。この針金の長さと重さが比例し
重さy
（a）ア
60
192
ているとき，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。
⑵ ア，イにあてはまる数を求めなさい。
解き方
⑴ この針金の長さxqと重さyaは比例していて，x=5のときy=60だから，きまっ
た数は，
y/x=60/5=12
yをxの式で表すと，
y=12*x
⑵ ア ⑴の式に，x=3，y=アを代入すると，
ア=12*3=36
イ ⑴の式に，x=イ，y=192を代入すると，
192=12*イ ➡ イ=192/12=16
答
⑴ y=12*x ⑵ ア 36 イ 16
y
が一定であることから，次のように求めることもできます。
x
ア 60
ア =
➡ ア*5=3*60 ➡ ア=180/5=36
3
5
〈別解〉
y/x=
6 年第10回
74
第
10
回
ともなって変わる2つの量
たて
〈反比例〉
下の表は，面積が12gの長方形の，縦の長さxeと横の長さyeの関係を表したもの
です。
3倍
2倍
縦x（e） 1
2
3
4
横y（e） 12
6
4
3 2.4 2
5
1
2
6
1
3
上の表で，xの値が2倍，3倍，……になると，yの値は
1 1
，，……になっています。
2 3
このように，ともなって変わる2つの量xとyがあり，xの値が2倍，3倍，……になると，
1
2
1
3
yの値が，，……になるとき，yはxに反比例するといいます。
yがxに反比例するとき，xの値とそれに対応す
縦x
（e）
1
2
3
4
5
6
るyの値の積は，いつもきまった数になることか
横y
（e） 12
6
4
3 2.4 2
ら，次の式が成り立ちます。
x×yの積 12 12 12 12 12 12
➡ y＝きまった数÷x
x×y＝きまった数例
右上の表のxとyの関係を式で表すと，
←きまった数12は x×y の積で，x =1のときのyの値
y=12/x 例題
2
エー
ビー
右の表は，A市からB市まで行くときの，時
速xrとかかった時間y時間の関係を表したものです。
時速x（r）
32
40
イ
時間y
（時間）ア
6
4.8
このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ A市からB市までの道のりは何rありますか。
⑵ yをxの式で表しなさい。
⑶ yはxに反比例していますか。
⑷ ア，イにあてはまる数を求めなさい。
⑴ A市からB市まで，時速40rで走って6時間かかっているから，A市からB市ま
解き方
での道のりは，
←道のり=速さ×時間
40*6=240（r） ⑵ 道のり=速さ*時間より，
➡ y=240/x
x*y=240 ⑶ xとyの関係を表す式が，y=きまった数/x の形の式で表されるから，yはxに反比例し
ています。
⑷ ア ⑵の式に，x=32，y=アを代入すると，
ア=240/32=7.5
イ ⑵の式に，x=イ，y=4.8を代入すると，
4.8=240/イ ➡ イ=240/4.8=50
答
⑴ 240r ⑵ y=240/x ⑶ 反比例している ⑷ ア 7.5 イ 50
6 年第10回
75
ひれい
はんぴれい
〈比例のグラフと反比例のグラフ〉
げんてん
比例のグラフ ➡ 比例する2つの量の関係を表すグラフは，原点
（0の点）
を通る直線になります。
例下の表は，直方体の形をした水そうに水を入れたときの，
エックス
ワイ
水を入れた時間x分と水の深さyeの関係を表したものです。
時間x
（分） 0
1
2
深さy
（e） 0
6
12 18 24 30 36
3
4
5
6
xとyの関係を表す式は，y=6*x
これをグラフに表すと，右のようになります。
反比例のグラフ ➡ 反比例する2つの量の関係を表すグラフ
たて
じく
は，縦の軸や横の軸と交わらないなめらかな曲線になります。
例下の表は，面積が12gの長方形の，縦の長さxeと横の
長さyeの関係を表したものです。
縦x（e） 1
2
3
4
横y
（e） 12
6
4
3 2.4 2 1.5 1
5
6
8
12
xとyの関係を表す式は，y=12/x
これをグラフに表すと，右のようになります。
参考
2つの量の関係を表す式とグラフ
➡ y/x=一定 ➡ 比例のグラフ
⑴ 商が一定 ➡ x*y=一定 ➡ 反比例のグラフ
⑵ 積が一定 ➡ x+y=一定
⑶ 和が一定 x+y=6 ➡ y=6-x ➡ 右の図
例
➡ y-x=一定
⑷ 差が一定 y-x=2 ➡ y=x+2 ➡ 右の図
例
例題
3
次の⑴∼⑸のxとyの関係を表したグラフはどれですか。下の㋐∼㋔から選びなさい。
こ
⑴ 1個30円のみかんをx個買ったときの代金y円
⑵ 面積が20gの三角形の，底辺の長さxeと高さye
⑶ 時速50rで走る自動車の，走った時間x時間と進んだ道のりyr
⑷ 重さ5dの水そうに水を入れたときの，入れた水の重さxdと水そう全体の重さyd
⑸ 15個のあめを兄と弟で分けたときの，兄の個数x個と弟の個数y個
6 年第10回
76
第
解き方
10
回
ともなって変わる2つの量
xとyの関係を式に表して，どのようなグラフになるかを考えます。
⑴ xとyの関係を式に表すと，y=30*x（ただし，xは整数）
あたい
なら
yはxに比例し，x，yの値は整数だから，グラフは，原点を通る直線上に並んだ点になり
ます。したがって，グラフは，㋔
y=40/x
⑵ xとyの関係を式に表すと，x*y/2=20 ➡ x*y=40 ➡ yはxに反比例するから，グラフは，なめらかな曲線の㋐
←道のり=速さ×時間
⑶ xとyの関係を式に表すと，y=50*x yはxに比例するから，グラフは，原点を通る直線の㋓
⑷ xとyの関係を式に表すと，y=5+x ➡ y-x=5
yとxの差が一定だから，グラフは，㋑
⑸ xとyの関係を式に表すと，x+y=15（ただし，x，yは整数）
xとyの和が一定で，x，yの値は整数だから，グラフは，㋒
答
⑴ ㋔ ⑵ ㋐ ⑶ ㋓ ⑷ ㋑ ⑸ ㋒
ともなって変わる2つの量
ともなって変わる2つの量のいろいろな関係を調べていきましょう。
例題
4
つるすおもりの重さとのびる長さが比例するばねがあります。このばねに，30aの
おもりをつるすとばねの長さは19eになり，50aのおもりをつるすとばねの長さは25eに
なります。これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ このばねに60aのおもりをつるすと，ばねは何eのびますか。
⑵ 何もつるさないとき，このばねの長さは何eですか。
解き方
⑴ このばねは，50-30=20（a）で，
25-19=6
（e）のびるから，おもり1aでのびる長さは，
6/20=0.3
（e）
60aのおもりをつるしたときにのびる長さは，
0.3*60=18（e）
⑵ このばねは，30aのおもりをつるすと，
0.3*30=9（e）
のびるから，何もつるさないときのばねの長さは，
19-9=10
（e）
答
例題
5
⑴ 18e ⑵ 10e
じこく
1日に4分おくれる時計を，ある日の午前8時に正しい時刻に合わせました。この
日の午後5時には，この時計は何時何分何秒を指していますか。
解き方
時計のおくれは，時間に比例することを利用します。
1日=24時間，4分=60*4=240
（秒）だから，この時計は1時間に，
6 年第10回
77
240/24=10
（秒）
おくれます。
午前8時から午後5時までの，（12-8）+5=9（時間）におくれる時間は，
10*9=90
（秒）
じこく
だから，この時計が午後5時に指している時刻は，
5時-90秒=4時58分30秒
答
例題
6
エー
4時58分30秒
ビー
かみ合っている歯車A，Bがあります。Aの歯数は48，Bの歯数は60です。歯車A
が8秒間に15回転するとき，歯車Bは30秒間に何回転しますか。
解き方
歯車AとBがかみ合っているとき，Aの歯が1つ進むと
Bの歯も1つ進むから，2つの歯車の進む歯数は同じです。
つまり，2つの歯車で，
進む歯数＝歯車の歯数×回転数＝一定
はんぴ
だから，かみ合っている歯車では，歯車の歯数と回転数は反比
れい
数
←このとき，歯数の比は回転数の逆比になります。
例します。
数
歯車AとBで，進んだ歯数
（歯数*回転数）
は等しいから，
Aが8秒間に15回転するときの，Bの回転数を□回転とすると，
（回転）
48*15=60*□ ➡ □=48*15/60=12
8秒間に12回転する歯車Bが，30秒間に回る回転数は，
12*
例題
7
30
=45（回転）
8
答
45回転
うんちん
あるタクシーの運賃は，最初の2rまでは720円で，その後400q走るごとに90円
こ
きょ
ずつ加算されます。このタクシーで，運賃がはじめて1万円を超えるのは，乗ってからの距
り
離が何rを超えた地点ですか。タクシーが止まっているときの運賃は加算されません。
解き方
運賃が1万円以内のとき，90円が加算される
参考
タクシーの走行距離xrと
回数は，
運賃y円の関係を表すグラフ
（10000-720）/90=103あまり10
より，最も多くて103回。
90円が103回加算されたときの走行距離は，
2+0.4*103=43.2
（r）
したがって，運賃がはじめて1万円を超えるのは，
乗ってから43.2rを超えた地点になります。
答
43.2rを超えた地点
※43.2rまでの運賃は，720+90*103=9990（円）
43.2rを超えると，9990+90=10080（円）以上。
6 年第10回
78
第
問題
1
解答・解説
10
回
ともなって変わる2つの量
別冊37ページ
21
次のことがらのうちで，2つの量が比例しているものには〇，反比例しているものにはΔ，
どちらでもないものには*をつけなさい。
⑴ A駅からB駅まで走る電車の，速さとかかった時間
⑵ 一定の速さで走ったときの，走った時間と進んだ道のり
たんじょうび
⑶ 誕生日が同じ父の年令と子の年令
⑷ 円の直径と円周の長さ
⑸ 円の半径とその面積
⑹ 面積が48gの三角形の，底辺の長さと高さ
2
はりがね
エックス
ワイ
右のグラフは，ある針金の長さxqと重さyaの関係を表したもの
です。
これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。
⑵ 針金の長さが15qのとき，重さは何aですか。
⑶ 針金の重さが126aのとき，長さは何qですか。
3
右のグラフは，ある水そうに水を入れるときの，1分間に入れ
る水の量xLと水そうが満水になるまでの時間y分の関係を表した
ものです。
これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ yをxの式で表しなさい。
⑵ 1分間に12Lずつ水を入れると，水そうが満水になるまで何
L
分かかりますか。
⑶ 90秒で水そうを満水にするには，1分間に何Lずつ水を入れればよいですか。
6 年第10回
79
4
次の問いに答えなさい。
ワイ
エックス
ひれい
あたい
⑴ yはxに比例していて，x=4のときy=6です。x=10のときのyの値を求めなさい。
はんぴれい
⑵ yはxに反比例していて，x=5のときy=3.6です。y=0.9のときのxの値を求めなさい。
5
ともなって変わる2つの量xとyの関係が次の式で表されるとき，xとyの関係をグラフに表
しなさい。
⑴ y=1.2*x
6
⑵ y=8/x
次の問いに答えなさい。
つうか
りょうがえ
⑴ アメリカの通貨はドルです。今，1ドルは105円であるとします。42000円をドルに両替
すると何ドルになりますか。
⑵ 6Lのガソリンで72r走る自動車があります。この自動車は，450r走るのに何Lのガソ
リンを使いますか。
まい
⑶ 500枚の重さが2.4dのコピー用紙があります。このコピー用紙から何枚か取り出して重
さをはかったら，1440aありました。取り出したのは何枚ですか。
7
次の問いに答えなさい。
エー
ビー
⑴ A町からB町まで，時速50rで走ると7時間12分かかります。A町からB町まで4時間30
分で行くには，時速何rで走ればよいですか。
⑵ 歯数28の歯車Aと歯数42の歯車Bがかみ合っています。Aを90回転させると，Bは何回転
しますか。
6 年第10回
80
第
問題
解答・解説
10
回
ともなって変わる2つの量
別冊39ページ
16
次の⑴∼⑷のxとyの関係を式で表しなさい。また，それぞれのxとyの関係を最もよく表し
ていると思われるグラフを，下の㋐∼㋔から1つずつ選び，記号で答えなさい。
⑴ 面積が18gのひし形の，2本の対角線の長さxeとye
⑵ 1辺がxeの正方形のまわりの長さye
⑶ 高さが6e，面積が24gの台形の，上底xeと下底ye
えんしゅうりつ
えんちゅう
⑷ 円周率を3.14とするとき，底面の円の半径が5eの円柱の，高さxeと表面積yg
2
のびる長さが，つるしたおもりの重さに比例するばねがあ
なんこ
ります。右の表は，このばねに同じ重さのおもりを何個かつ
おもりの数
（個） 4
7
ばねの長さ
（e） 26
30.5
るしたときの，おもりの数とばねの長さを調べたものです。
これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ おもりを1個つるすと，ばねの長さは何eのびますか。
⑵ おもりをつるさないとき，ばねの長さは何eですか。
⑶ おもりを12個つるすと，ばねの長さは何eになりますか。
じこく
3
くら
正しい時刻と比べて，1日に2分48秒おくれる時計Aと2分進む時計Bがあります。この2つ
じほう
の時計を，ある日の午前6時の時報に合わせました。
これについて，次の問いに答えなさい。
⑴ 時計Aがその日の正しい時刻より1分38秒おくれているとき，時計Bは何時何分何秒を指
していますか。午前，午後をつけて答えなさい。
⑵ 時計AとBの指している時刻が1分54秒ちがうとき，正しい時刻は何時何分ですか。午前，
午後をつけて答えなさい。
6 年第10回
81
4
次の問いに答えなさい。
はりがね
⑴ 5qのねだんが120円で，18qの重さが360aの針金があります。この針金200aのねだん
は何円ですか。
つうかたんい
⑵ アメリカの通貨単位はドル，ヨーロッパの主な国の通貨単位はユーロです。今，1ドルは
108円，1ユーロは128円とします。81ユーロは何ドルですか。
5
次の問いに答えなさい。
エー
ビー
シー
⑴ 3つの歯車A，B，Cが，右の図のようにかみ合っていま
す。Aが8回転するとBは12回転し，Aが6回転するとCは
ひ
かんたん
3回転します。歯車A，B，Cの歯数の比を，最も簡単な整
数の比で表しなさい。
ディー
⑵ 4つの歯車A，B，C，Dが，右の図のようにかみ合って
いて，BとCはくっついて同時に回ります。歯の数は，A
が60，Bが40，Dが50です。Aがちょうど100回転した
とき，Dは75回転しました。Cの歯数を求めなさい。
うんちん
6
こ
あるタクシーの運賃は，最初の2rまでは680円で，2rを超えると300q走るごとに80円
ずつ加算されていきます。5000円持っている人がこのタクシーに乗ったとき，いちばん遠く
て何r先まで行くことができますか。
7 ある印刷所では，はがき印刷の料金は，次のようになっています。
まい
・50枚までは2800円
・50枚を超えると，10枚ごとに350円ずつ加算
これについて，次の問いに答えなさい。ただし，上の料金に，はがき代（1枚50円）はふくま
れていません。
⑴ 128枚印刷すると，はがき代もふくめて何円かかりますか。
⑵ 印刷代だけで4200円かかるとき，はがき代もふくめた料金は，何円以上何円以下になり
ますか。
6 年第10回
82
第
問題
解答・解説
はんぴれい
10
回
ともなって変わる2つの量
別冊41ページ
ふ
5
へ
反比例している2つの数量A，Bがあります。Aが25％増えると，Bは何％減りますか。
ある機械の使用料金は何分使ったかによって決まり，次の3つのコースから選ぶことができ
ます。
きほん
しはら
Aコース：基本料金250円を支払い，1分ごとに14円かかる。
こ
Bコース： 15時間までは何分使っても3000円で，それを超えたときは，
超えた時間が1分ごとに12円かかる。
Cコース： 40時間までは何分使っても8500円で，それを超えたときは，
超えた時間が1分ごとに10円かかる。
これについて，次の問いに答えなさい。ただし，1分未満は切り上げて計算することにしま
す。例えば，3分を超えて4分以下のときは，使用時間は4分です。
⑴ 使用時間が2000分のとき，それぞれのコースの料金は何円になりますか。
⑵ Bコースがいちばん安くなるのは，使用時間が何分から何分までのときですか。
ある駅から出るバスとタクシーの料金は，次のようになっています。
バス
： 2rまでは160円で，2rを超えると40円が加算され，さらに
いこう
それ以降400qごとに40円が加算される。
4人乗りタクシー：2rまでは580円で，それ以降210qごとに90円が加算される。
5人乗りタクシー：2rまでは760円で，それ以降180qごとに80円が加算される。
だんたい
おんせん
今，駅前に18人の団体がいます。バスかタクシーを使って，2.7rはなれた温泉へ行くと
き，次の問いに答えなさい。
⑴ 全員が4人乗りのタクシーで行くとき，料金の合計は何円になりますか。
⑵ 料金の合計が最も安くなるような乗り方をするとき，料金の合計は何円になりますか。
6 年第10回
83
1 210 3 4 5 6 7
第回
10 11ともなって変わる2つの量
12 13 14 15 16 17
第
かいとう
したがって，グラフは，解答の図のようになり
ます。
回
ともなって変わる2つの量
⑵ ④と②の部分を満たすのに，
4+2=6
（分）
問題
かかるから，水を入れ始めてから6分後までの辺
ABの目もりは0e
問題
79 ページ
解答
1
①の部分を満たすのに2分かかるから，辺AB
の目もりが15eになるのは，
⑴ Δ ⑵ 〇 ⑶ × ⑷ 〇
⑸ × ⑹ Δ
6+2=8
（分後）
2
③の部分を満たすには，4分かかるから，辺
⑶ 8.4q
⑴ y=15*x ⑵ 225a
3
ABの目もりが30eになるのは，
⑴ y=60/x ⑵ 5分
8+4=12（分後）
⑶ 40L
⑤の部分を満たすのにも4分かかるから，辺
4
⑴ 15 ⑵ 20
5 ⑴
ABの目もりが40eになるのは，
12+4=16（分後）
⑵
したがって，グラフは，解答の図のようになり
ます。
⑶ 5分後の水道
から出た水の量を面積で表す
と，
15*20*
5
=750（g）
2
5分後の水道
から出た水の量（
6
と同じ）のう
⑴ 400ドル ⑵ 37.5L
⑶ 300枚
7
ち，④の部分からあふれた水の量を面積で表すと，
⑴ 時速80r ⑵ 60回転
750-30*20=150
（g）
したがって，5分後の水面の高さは，
1
（750+150）
/
（20+20）=22.5（e）
一方の量が2倍，3倍，……になると，それに
ともなってもう一方の量も2倍，3倍，……にな
ひれい
るのが比例の関係です。
また，一方の量が2倍，3倍，……になると，
1 1
それにともなってもう一方の量が，，……と
2 3
はんぴれい
なるのが反比例の関係です。
エー
ビー
⑴ A駅からB駅までの道のりはきまっていて，
道のり=速さ*時間
より，速さが2倍，3倍，……になると，時間は
1 1
，，……になるから，速さとかかった時間は
2 3
反比例しています。
⑵ 一定の速さで走るとき，
道のり=速さ*時間
より，時間が2倍，3倍，……になると，道のり
も2倍，3倍，……になるから，走った時間と進
んだ道のりは比例しています。
6 年第 9 回・第10回解答
37
たんじょうび
y=60/12=5
（分）
⑶ 誕生日が同じ父の年令と子の年令は，差が一定
⑶ 90秒=1分30秒=1.5分
です。
だから，⑴の式に，y=1.5を代入すると，
父の年令が2倍，3倍，……になっても，子の
1 1
年令は2倍，3倍，……にならないし，，，
2 3
……にもなりません。
1.5=60/x
x=60/1.5=40（L）
➡ 4 ⑴ きまった数は，
したがって，比例でも反比例でもありません。
y/x=6/4=1.5
えんしゅうりつ
⑷ 円周の長さ=直径*円周率
だから，xとyの関係を表す式は，
より，直径が2倍，3倍，……になると，円周の
y=1.5*x
長さも2倍，3倍，……になるから，直径と円周
この式に，x=10を代入すると，
の長さは比例しています。
y=1.5*10=15
⑸ 円の面積=半径*半径*円周率
⑵ きまった数は，
より，半径が2倍，3倍，……になると，円の面
x*y=5*3.6=18
積は，（2*2=）4倍，
（3*3=）9倍， …… にな
だから，xとyの関係を表す式は，
ります。
y=18/x
したがって，比例でも反比例でもありません。
この式に，y=0.9を代入すると，
⑹ 三角形の面積=底辺*高さ/2
0.9=18/x
➡ 48=底辺*高さ/2
x=18/0.9=20
➡ あたい
たいおう
5 xの値とそれに対応するyの値の組を表す点を，
➡ 底辺*高さ=48*2=96
より，底辺の長さが2倍，3倍，……になると，
1 1
高さは，，……になるから，底辺の長さと高
2 3
さは反比例しています。
げんてん
はりがね
2 グラフは原点を通る直線だから，針金の長さ
エックス
（xの値，yの値）
と表すことにします。
⑴ 比例のグラフは，原点を通る直線だから，別の
もう1点を見つけると，原点とその点を通る直線
をひくことによってグラフをかくことができます。
ワイ
xqと重さyaは比例しています。
x=5のとき，
⑴ x=6のときy=90だから，きまった数は，
y=1.2*5=6
y/x=90/6=15
だから，原点と点（5，6）
を通る直線をひきます。
したがって，yをxの式で表すと，
⑵ 反比例のグラフをかくときは，まず，xの値も
y=15*x
それに対応するyの値も整数となる組を見つけま
⑵ ⑴の式に，x=15を代入すると，
す。
xの値もyの値も整数となる組の点は，きまっ
y=15*15=225（a）
た数8の約数より，
（1，8）
，
（2，4）
，
（4，2），
⑶ ⑴の式に，y=126を代入すると，
（8，1）
126=15*x
x=126/15=8.4（q）
➡ たて
じく
3 グラフが縦の軸や横の軸と交わらないなめらか
まず，これら4つの点をとり，4つの点を通る
なめらかな曲線をひきます。
な曲線だから，1分間に入れる水の量xLと水そ
6
うが満水になるまでの時間y分は反比例していま
1ドルは105円だから，42000円は，
す。
42000/105=400
（ドル）
⑴ ドルと円は比例します。
⑴ x=30のときy=2だから，きまった数は，
⑵ ガソリンの量と走る道のりは比例します。
x*y=30*2=60
ガソリン1Lで走る道のりは，
したがって，yをxの式で表すと，
72/6=12
（r）
y=60/x
450r走るのに使うガソリンの量は，
⑵ ⑴の式に，x=12を代入すると，
450/12=37.5（L）
6 年第10回解答
38
第
まいすう
10
回
ともなって変わる2つの量
⑶ コピー用紙の枚数と重さは比例します。
y=36/x
➡ 2.4d=2400a だから，このコピー用紙1枚
yはxに反比例するから，グラフは，なめらか
はんぴれい
の重さは，
な曲線の㋔
2400/500=4.8（a）
⑵ 正方形のまわりの長さ=1辺の長さ*4
重さが1440aのときの枚数は，
より，
1440/4.8=300（枚）
7 ⑴ 速さとかかる時間は反比例します。
y=x*4
yはxに比例するから，グラフは，原点を通る
直線の㋐
7時間12分=7.2時間だから，A町からB町ま
⑶ 台形の面積=
（上底+下底）
*高さ/2
での道のりは，
50*7.2=360（r）
より，
4時間30分=4.5時間だから，A町からB町ま
24=
（x+y）
*6/2
x+y=24*2/6=8
➡ で4.5時間で行くときの速さは，時速
360/4.5=80（r）
y=8-x
➡ ⑵ かみ合っている歯車の歯数と回転数は反比例し
xとyの和が一定で，xとyは0ではないから，
グラフは㋓
ます。
えんちゅう
歯車Aが90回転したときに進んだ歯数は，
⑷ 円柱の表面積=底面積*2+側面積
28*90=2520
円柱の側面積=底面の円周の長さ*高さ
このときの歯車Bの回転数は，
より，
2520/42=60（回転）
y=5*5*3.14*2+5*2*3.14*x
=157+31.4*x
問題
yは157とxに比例する部分の和の形で表され，
問題
81 ページ
xは0ではないから，グラフは㋑
⑴ このばねは，おもりを，
解答
こ
7-4=3
（個）
⑴ 式…y=36/x グラフ…㋔
⑵ 式…y=x*4 グラフ…㋐
つるしたとき，
⑶ 式…y=8-x グラフ…㋓
30.5-26=4.5（e）
⑷ 式…y=157+31.4*x
のびるから，おもりを1個つるしたときにのびる
グラフ…㋑
長さは，
⑴ 1.5e ⑵ 20e ⑶ 38e
4.5/3=1.5（e）
⑴ 午後8時1分10秒
⑵ おもりを4個つるしたときのばねの長さは26e
⑵ 午後3時30分
だから，おもりをつるさないときのばねの長さ
⑴ 240円 ⑵ 96ドル
は，
⑴ 3：2：6 ⑵ 25
26-1.5*4=20（e）
18.2r
⑶ おもりを12個つるしたときのばねの長さは，
⑴ 12000円
20+1.5*12=38
（e）
⑵ 8250円以上8700円以下
⑴ 1日=24時間，2分48秒=168秒
エー
だから，時計Aが1時間におくれる時間は，
168/24=7
（秒）
ビー
また，2分=120秒だから，時計Bが1時間に
⑴ ひし形の面積=対角線*対角線/2
より，
進む時間は，
x*y/2=18
120/24=5
（秒）
➡ x*y=18*2=36
1分38秒=98秒だから，時計Aが98秒おくれ
6 年第10回解答
39
るには，
⑵ Aが100回転したときのBの回転数を□回転と
98/7=14（時間）
すると，
かかります。
60*100=40*□
じこく
このときの正しい時刻は，
➡ □=60*100/40=150
（回転）
午前6時+14時間=午後8時
このとき，Cも150回転し，Dは75回転したか
ら，Cの歯数をΔとすると，
時計Bは14時間に，
5*14=70（秒）=1分10秒
Δ*150=50*75
進むから，時計Bが指している時刻は，
Δ=50*75/150=25
➡ うんちん
午後8時+1分10秒=午後8時1分10秒
運賃が5000円以内のとき，80円が加算される
⑵ 時計Aと時計Bは，1時間に，
回数は，
7+5=12（秒）
（5000-680）
/80=54
ずつずれていきます。
より，最も多くて54回。
1分54秒=114秒だから，時計Aと時計Bの指
80円が54回加算されたときの走行距離は，
きょり
す時刻の差が114秒になるのにかかる時間は，
2+0.3*54=18.2（r）
114/12=9.5（時間）
したがって，いちばん遠くて18.2r先まで行
9.5時間=9時間30分だから，時計Aと時計B
くことができます。
まい
の指している時刻が1分54秒ちがうときの正しい
⑴ 128枚を印刷するときのはがき代は，
時刻は，
50*128=6400
（円）
こ
午前6時+9時間30分=午後3時30分
印刷代で，50枚を超えて350円が加算される
はりがね
回数は，
⑴ この針金1qのねだんは，
120/5=24（円）
（128-50）
/10=7あまり8
この針金1qの重さは，
より，
360/18=20（a）
7+1=8（回）
だから，1aのねだんは，
印刷代の合計は，
24/20=1.2
（円）
2800+350*8=5600（円）
この針金200aのねだんは，
だから，128枚を印刷するときにかかる代金の合
1.2*200=240（円）
計は，はがき代もふくめて，
⑵ 1ユーロは128円だから，81ユーロは，
6400+5600=12000（円）
128*81=10368
（円）
⑵ 印刷代が4200円のとき，50枚を超えて350円
1ドルは108円だから，81ユーロ（10368円）
は，
が加算される回数は，
（4200-2800）
/350=4（回）
10368/108=96
（ドル）
だから，はがきの枚数は，最も少なくて，
ひ
50+31=81（枚）
⑴ 歯車AとBの回転数の比は，
最も多くて，
A：B=8：12=2：3
シー
歯車AとCの回転数の比は，
50+40=90
（枚）
A：C=6：3=2：1
したがって，印刷代だけで4200円かかるとき，
はがき代もふくめた料金は，
だから，3つの歯車の回転数の比は，
50*81+4200=8250
（円）
2：3：1
ぎゃくすう
歯車の歯数の比は，回転数の逆数の比になるか
以上
ら，3つの歯車の歯数の比は，
1 1 1 3 2 6
：： = ：： =3：2：6
2 3 1 6 6 6
50*90+4200=8700
（円）
以下になります。
6 年第10回解答
40
第
問題
回
ともなって変わる2つの量
（2.7-2）
/0.21=3あまり0.07
問題
83 ページ
より，
3+1=4（回）
解答
20％
10
4人乗りのタクシーで2.7r先に行くときにか
かる1台分の料金は，
⑴ Aコース…28250円
Bコース…16200円
580+90*4=940
（円）
Cコース…8500円
18人が4人乗りのタクシーに乗るときに必要な
⑵ 197分から1358分までのとき
タクシーの台数は，
⑴ 4700円 ⑵ 4040円
18/4=4あまり2
より，
4+1=5
（台）
ふ
へ
わりあい
だから，18人全員が4人乗りのタクシーで行くと
Aが25％増えたときの，Bの減る割合を□とす
きにかかる料金の合計は，
ると，
｛A*（1+0.25）
｝
*｛B*
（1-□）
｝=A*B
940*5=4700（円）
➡ 1.25*
（1-□）
=1
⑵ バスで2.7r先まで行くとき，加算される40
円の回数は，
➡ 1-□=1/1.25=0.8
➡ □=1-0.8=0.2 ➡ 20％
（2.7-2）
/0.4=1あまり0.3
したがって，Aが25％増えると，Bは20％減
より，
1+1=2（回）
ります。
バスで2.7r先に行くときにかかる1人分の料
⑴ 使用時間が2000分のとき，Aコースの料
金は，
金は，
250+14*2000=28250（円）
160+40+40*2=280（円）
15時間=900分だから，Bコースの料金は，
5人乗りのタクシーで2.7r先まで行くとき，
加算される80円の回数は，
3000+12*（2000-900）=16200
（円）
40時間=2400分だから，Cコースの料金は，
（2.7-2）
/0.18=3あまり0.16
より，
2400分を超えていないので8500円。
3+1=4
（回）
⑵ BコースがAコースより安くなるのは，Aコー
5人乗りのタクシーで2.7r先に行くときにか
スの使用料金が3000円を超えたときで，
かる1台分の料金は，
（3000-250）/14=196あまり6
より，使用時間が，
760+80*4=1080（円）
196+1=197（分）
ここで，バスとタクシーの1人分の料金を比べ
くら
ると，
以上のときです。
また，BコースがCコースより安くなるのは，
バスは，280円
4人乗りのタクシーは，
Bコースの使用料金が8500円未満のときで，
（8500-3000）/12=458あまり4
940/4=235
（円）
より，使用時間が，
5人乗りのタクシーは，
900+458=1358
（分）
1080/5=216（円）
以下のときです。
1人分の料金は，5人乗りのタクシーがいちば
したがって，Bコースがいちばん安くなるのは，
ん安いので，5人乗りのタクシーをできるだけ多
使用時間が197分から1358分までのときです。
く使い，かつタクシーの座席に空きのない方法を
ざせき
考えます。考えられる方法として，次の2つがあ
⑴ 4人乗りのタクシーで2.7r先までいくと
ります。
き，加算される90円の回数は，
6 年第10回解答
41
1 2 3 4 5 6 7 8 9
① 5人乗りタクシー3台に15人が乗り，残りの3
10 第回
11 12いろいろな場合の数
13 14 15 16 17 18 1
人がバスに乗る方法
② 5人乗りタクシー2台に10人が，4人乗りタク
シー2台に8人が乗る方法
問題
①のときの料金の合計は，
問題
1080*3+280*3=4080（円）
解答
②のときの料金の合計は，
1
⑴ 4通り ⑵ 12通り
1080*2+940*2=4040（円）
2
⑴ 5通り ⑵ 15通り
したがって，②の方法で行くのが，4040円で
3
⑴ 120通り ⑵ 6通り
4
⑴ 10通り ⑵ 10通り
5
12通り
6
10通り
最も安くなります。
88 ページ
じゅけいず
1
⑴ 右の樹形図より，全部で4通り。
エー
うら
〈別解〉
Aの出方は表，裏の2通りあり，
ビー
そのそれぞれについて，Bの出方が表，
裏の2通りずつあるから，表と裏の出
方は，全部で，
2*2=4
（通り）
⑵ 下の樹形図より，全部で12通り。
シー
〈別解〉
男子の選び方は，A，B，Cの3通りあり，
ピー
キュー
そのそれぞれについて，女子の選び方がP，Q，
アール
エス
R，Sの4通りずつあるから，選び方は，全部で，
3*4=12
（通り）
2
⑴ 下の表1より，出る目の数の和が8になる
のは，○をつけた5通り。
⑵ 下の表2より，出る目の数の積が4の倍数にな
るのは，○をつけた15通り。
表1
大
小
表2
1 2 3 4 5 6
1
○
○
3
○
4
○
5
6 年第10回・第11回解答
42
小
1 2 3 4 5 6
○
1
2
6
大
○
2
○
○
○
○
3
4 ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
5
6
○
○
○