165 第 25 講積分法の応用（ⅰ）数学Ⅲ 【問題 1】（1）曲線と両軸で囲ま

第 25 講積分法の応用（ⅰ）
【問題 1】
（1）曲線 y = log(2 - x ) と両軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
（2）直線 y = 2x と曲線 y = xe x で囲まれた部分の面積を求めよ．
165
数学Ⅲ
【問題 2】
曲線 y =
166
x ( x - 2)
と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
x +1
【問題 3】
2 つの関数 f ( x ) =
log x
，g ( x ) = 1 log x について，
4
x2
（1）関数 f ( x ) の極値を求めよ
（2）2 曲線 y = f ( x )，y = g ( x ) によって囲まれる部分の面積を求めよ．
167
第 25 講積分法の応用（ⅰ）解答
数学Ⅲ
【問題 1】
（1）曲線 y = log(2 - x ) と両軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
（2）直線 y = 2x と曲線 y = xe x で囲まれた部分の面積を求めよ．
（1）
y
y = log(2 - x )
log 2
2
1
O
x
図より，求める面積 S は
S=
ò
1
0
log(2 - x )dx
2 - x = t とおくと， dx = -dt
x 0 ® 1
t 2 ® 1
S=
ò
1
2
log t( -dt ) =
ò
2
1
log tdt
= [t log t - t ] 1 = 2 log 2 - 1
2
y
（2）
y = xe x
2 log 2
-1 O
-1
e
y = 2x
log 2
x
直線と曲線の式から y を消去して
x ( e x - 2) = 0
\ x = 0 ， log 2
[0, log 2] で 2x ≧ xe x であるから，求める面積は，
S=
ò
log 2
0
(2x - xe x )dx
log 2 ì
log 2
= [ x 2 ] 0 - í[ xe x ] 0 î
ò
log 2
0
= (log 2)2 - 2 log 2 + [ e x ] 0
log 2
= (log 2)2 - 2log 2 + 1
168
ü
e x dx ý
þ
【問題 2】
曲線 y =
y=
x ( x - 2)
と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
x +1
x ( x - 2)
= x -3+ 3
x +1
x +1
y
2
-1 O
3
x
-3
グラフは図のようになるから，求める面積 S は，
S=-
ò
2
0
ydx = -
ò ( x - 3 + x 3+ 1 ) dx
2
0
2
2
= - éê x - 3x + 3log( x + 1)ùú
ë2
û0
= 4 - 3 log 3
169
【問題 3】
2 つの関数 f ( x ) =
log x
，g ( x ) = 1 log x について，
4
x2
（1）関数 f ( x ) の極値を求めよ
（2）2 曲線 y = f ( x )，y = g ( x ) によって囲まれる部分の面積を求めよ．
（1） f ( x ) =
log x
1 - 2log x
, f ¢( x ) =
x2
x3
f ¢( x ) = 0 より， x = e
f ( x ) の増減・極値は次のようになる．
(0) 
x
f ¢( x )
+
e  ¥
0 -
-¥  1  0
2e
f (x )
\ 極大値 1
2e
(x =
e のとき)
（2）交点の x 座標は
f ( x ) = g ( x ) より，
( x + 2)( x - 2)
log x = 0 ( x ＞ 0)
4x 2
\ x = 1, 2
y
y = g(x )
y = f (x )
O
よって，求める面積 S は，
S=
log x
ò ( x - 14 log x ) dx
=
¢
ò ( - 1x ) log xdx - 14 ò
2
1
2
2
1
2
2
1
log xdx
2
= é - 1 log x - 1 ù - 1 [ x log x - x ]1
ë x
x û1 4
= 3 - log 2
4
170
2
1
e
x

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