Math.
X-2,
Rep.
1976.
カ ラ テ オ ド リー の 公 理 系 に つ い て
津
田
丈
(1976年7月26日
この ノー トの 目的 は,有
夫
受付)
名 な カ ラテ オ ド リー の外 測 度 に 関 す る公理 系 の各 条 件 が 互
い に 独立 で あ り,又 そ れ 等 が 矛 盾 して い な い こ とを 示 す こ とで あ る。
これ は 当 然 で あ り,常 識 とも思 うが 述 べ てみ た。
I
(co)
A ; 空集合
(ci)
X
Y な らば
(c2)
r«
xi)
(co
r (x+ Y) =r(x)+r(y)
r(A)
r(x)
=o
< r(Y)
r(xj)
但し
p (X, Y)->0
とす る。
こ こ で 「()が
(1)先
カ ラ テ オ ド リー の 外 測 度 で あ る 。
ず 第1に
(c、)は 他 よ り独 立 で あ る こ と を 示 し た い 。 今 全 空 間 と し て,直
線 上 の整 数 座 標 を も
つ 可 附 番 個 の 点 よ りな る 集 合 と す る。
X-一{n個
T(X)
の 点}
= log(1+n)
(c0)
T(A) =log(1+0)
(ci)
X
Y
と す る,Xの
r(X)
Y な らば
XC
定 義 す る。
=0
要 素 の 数m,yの
11(X)=log(1+m)
即
で 「()を
要 素 の 数nと
すれば
m <
n
< log(l+n)=F(Y)
< r(Y)
X,(i=1, 2, ••.) の 要 素 の数 を鵬 とす る E X, の要 素 の数 <Em,
(c2)
1"(Xi)=log(1+mi)
P(EX1)
< log(1+
(1=1,2, •••)
m,) < E log(1+mi)
ii!
ET xi) _
即 r(X)
=log(1+n)
即p(X,y)>0を
素 の 個 数 は 加+π
r(Xi)
と お く と(C。),(C1),(C、)は
満 足 す るX,γ
の 夫4の
成 立 し た が(C3)は
要 素 の 個 数 をm,nと
成 立 し な い。
す る とX+yの
で あ る。
そ こで
T (X+ Y) =log(1+m+n),
T (X) =log(1+m),
T (Y) =log(l+n)
要
さて
log(1+m+n)
f(X+
log(1+m)
Y)
+log(1+n)
l'(X)+I'(Y)
た し か に(c3)は
成 立 しな い。
(C。),(C、),(C2)が
成 立 し て も,そ
れ か ら(C3)が
成 立 つ と い うこ とは 云 え ぬ,即(C3)
は 他 よ り独 立 で あ る 。
(ll)次
に(c、)が
他 よ り独 立 で あ る こ と を 示 そ う。
今 度 は 空 間 と し て 直 線 を と っ て お く,そ
でr()を
AIx
な らば
して お く
r(x)=--_.o
定 義 して お く
(co)
1(A)0
C:
(c、)x⊆yの
又
.•.
A
な らば r(x)
r(x+
Y) =0,
r(x+
Y) =r(x)
=o,
r(Y)
あ る。
=o
+r(Y)
ら ば,p(X,y)>0又Aが
オ 皇 γ で あ る か,又
そ こ で,い
< r(Y),
で 同 時 にA卑yで
r(x)
次 に も し,A⊆X+yな
A⊂Xで
r(x)_<r(y)
F(X) < r(Y)
とす る。
の と きは AX
X+Y
.•.
r(X)=o
な らば
p (X, Y) >0
ず
すれば
r(x)=r(Y)=1
X
い つ れ に し ろ XY
(`,)先
AThA)
と き,A⊆xと
A _Q Y
A
r(x)-1,
な らば
ACX
し て そ の 上 の 閉 区 間[0,1]をAと
区 間 で あ る と い う条 件 か ら
は オ 窪XでA⊂yで
あ るか の いつ れ か で あ る。
つれにして も
r(x+
Y) =1, r(x)+11(Y)=1
で あ る。
即
r(x+Y)=r(x)+r(Y)
結 局(c、)は
し か し(c、)は
成立つ。
成 立 し な い 。 何 と な れ ばx、 一 す べ て の 無 理 数 の 集 合,x、
有理数の集合 とすれば
r(x,)=o,
X1 i) A,
XZ
一す べ て の
A であ り
r(X2)=o
しか し
X1+X2 _ AT
(X1+X2) =1
故に
r(x1+X2)
(C2)は
- r(x1)+r(x2)
成 立 し な い 。 即 ち(C。),(C、),(C3)が
成 立 っ て い る と し て も(C2)が
成 立 な くて
も よ い 。 即(c,)は
(皿)次
他 よ り独 立 で あ る。
に(Cl)が
他 よ り独 立 で あ る こ と を 示 そ う。 今 度 も 空 間 を 直 線 とす る。 そ し
て 直 線 上 の 一 定 点p。
を 考 え て お く。
そ し て 直 線 上 の 集 合xが
境 界 点,「(X)≡1と
し,そ
(c。)Aはp。
(c、)先
次 の2つ
の 性 質 を もつ と き(i)x∋p。(ii)p。
れ 以 外 のXに
定 義 す る。 す る と
を 含 ま な い か ら 「(A)-0
ず
「(ΣX,)-1の
と き は,ΣX∂p。,同
ユ
る か ら,X、
対 し て は 「(X)≡0と
はxの
時 にp。
は ΣX、
の 境 界点 で あ
ぎ
∋p。 と な る あ るleが
r(xk) =1
あ る 。 又p。
r(xi)
は 臨
の 内 点 で は あ り得 な い 。 そ こ で
>_ i
r(~
xi)
E r(xi)
が成立つ。
次 に 「(ΣX,)-0な
(c2)は
(c3)次
にp(X,y)>0の
「(X+γ)=-1の
x∋p。
Xの
ら ば 当 然 「(t=X,)≦
Σ 「(X,)が
成 立つ 。 いつ れ に して も
成立つ
と き を 考 え よ う。
と き はX+y∋p。
とす れ ば
γ)p。
同 時 にp。
で あ る 。 さ てp。
はxの
はX+γ
「の 境 界 点 で あ る 。 そ こ で
内 点 で は あ り得 な い 。 そ こ でp。
は
境 界点
r(x)=1,
又y∋p。
(イ)x+γ
場 合 は,先
外 点,し
r(X十
ず
∋p。 の 場 合 を 考 え よ う,こ の と き はp。
か 又 はy∋p。
はyの
r(x+Y)=F(X)+r(Y)
と し た と き も全 く同 様 で あ る 。
次 に 「(X+y)-0の
でX∋p。
r(Y)=o
と な る。 今 はX∋p。
た が っ てp。
γ)-r(X)十r(y)で
(ロ)次
内 点 で あ る 。 故 にT(X)-0,「(y)-0撫
・r(y)=-oで
あ る 。 そ こ で 「(X+γ)=一
「(X)
同 時 にP。
内 点 で あ る様 に
「(γ)と
な り(c1)は
し た が っ て(c。),(c2),(c3)が
はXの
境 界 点 で あ る とす る 。 次 に
γ∋p。
γ を と る とr(X)-1・r(Y)=0即X⊂Yで
成 立 しな い 。
成 立 っ て も(c、)は
成 立 し な く て も よ い 。 即(c、)は
よ り独 立 で あ る。
(IV)(c。)が
他 よ り独 立 で あ る こ と を 示 し た い 。
今 空 間 と し て 可 附 番 個 の 点 よ り成 っ て い る も の を 考 え よ う。 そ し て
群
畷
ら ばx
成 立 しな い 。
をyの
あ る が 「(X)峯
こ
成 立 した。
何 と な れ ばX⊂yでX∋P。
で あ るがP。
か らp。
の 場 合 を 考 え よ う。x+y)p。,な
故 にr(X+y)=-T(y)一
し か に(c3)は
し か し(c1)は
の 内 点 で あ る。 そ こ
あ る。
に 「(x+y)-oでx+y)p。
車p。,y∋P。
+「(y)た
はXの
はx+γ
とす る。 す る とp(X,γ)>0だ
らばr(X)ゴ
の要 素 の 数
ア(A)一 麦 とす る.
他
す る と(Cl),(C,),(C3)は
(V)最
す べ て 成 立 つ し か し(C。)は
後 に(c。)(Cl)(c、)(c、)が
の 要 素 よ り な る 集 合 を と り,そ
ば(c。),(c、),(c),(c3)は
ら,こ
成 立 た な い。
無 矛 盾 で あ る こ と を 示 そ う。 全 空 間 と し てN個
の 部 分 集 合Xに
対 して
す べ て 成 立 つ こ と 明 か,し
「(X)-Xの
か も1「(X)はA「
れ は 何 等 矛 盾 を 引起 さぬ こ とは わ か って い るか ら。
要 素 の 数 とすれ
の 量 数 で あ るか
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