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面積・体積－πの評価－1
予習問題
f ( x) 
1
とし曲線 y  f (x) ( x  0) の変曲点を (a, f (a)) とする。
1 x2
(1) 定積分

1
dx の値を求めよ。
a 1 x2
1
(2) 円周率  は 3.17 より小さいことを示せ。必要ならば 3  1.732 を
用いてもよい。
値替え問題
f ( x) 
(1)
tan
1
とし曲線 y  f (x) ( x  0) の変曲点を a, f (a)  とする。
1 x2

12
(2) 定積分
を求めよ。

a
2 3
1
dx の値を求めよ。
1 x2
(3) 円周率  は 3.12 より大きいことを示せ。必要ならば 3  1.732 を
用いてもよい。
発展問題
以下の問いに答えよ。
(1) 積分値

1
2
0
1
1 x2
dx を求めよ。
(2) 円周率  に対して 3.09    3.24 が成り立つことを示せ。
面積・体積－πの評価－1
面積・体積－πの評価－2
予習問題
f ( x) 
1
とし曲線 y  f (x) ( x  0) の変曲点を (a, f (a)) とする。
1 x2
(1) 定積分

1
a
1
dx の値を求めよ。
1 x2
(2) 円周率  は 3.17 より小さいことを示せ。必要ならば 3  1.732 を
用いてもよい。
（１）８点
2 1
まず a の値を求める。 f ( x)  (1  x ) の導関数、第 2 次導関数を求める
と以下の通り。
f ( x)  (1  x 2 ) 2  2 x
 f ( x)  2(1  x 2 ) 3 (2 x) 2  (1  x 2 ) 2  2  2(1  x 2 ) 3 (3x 2  1)
よって a 
1
( x  0) と分かる。ゆえに求める積分値 S は以下のように計
3
算できる。

S

1
1
dx
dx   4
d
2
2
1  tan  d
3 1 x
6
1
1
∵ x  tan とした。このとき x :

  4 cos 2 
6
1
3
 1 に対して  :

6


4

1

d   4 
2
12
cos 
6
（２）１２点
(1)より曲線 y  f (x) の増減、凹凸は次表となる。
x
(0)
･･･
f (x)
f (x)
(0)
－
(－)
－
f (x)
(1)
1
･･･
()
－
－
(0)
0
＋
(0)
3
3
4
(0)
よって曲線 y  f (x) は次図。
ここで y  f (x) は x 
1
で下に凸なグラフであるから、図のような点線部
3
の台形と(1)で求めた面積を比較すると次の不等式が成り立つ。

12

13 1 
1 
5(3  3 )
   
[1]
    1 
24 2 
2
3
面積・体積－πの評価－2
面積・体積－πの評価－3
ここで 3  1.732 を使うと[1]の右辺は次のように評価できる。
5(3  3 ) 5(3  1.732)

 3.17 [2]
2
2
以上[1]、[2]より題は示された■
予習問題－tan の逆関数
実は

1

 
dt は tan x    x   の逆関数 tan 1 x となっています。
2
2
1 t
 2
x
0
これを知っていると(1)の積分計算が簡単に検算できます。

1
1
1
1
1
dx  
dx   3
dx
1
2
2
01 x
0 1 x2
3 1 x
1
 tan 1 1  tan 1
なぜ tan
1
x
1
3


4


6


12
1
dt となるのか考えてみましょう。
01 t 2
x
グラフ y  tan x を直線 y  x に対して線対称移動した x  tan y および
y  tan 1 x は一致するはずです。よって x  tan y の返々を y で微分すると
次のようになります。
dx
dx
dy
1
dx
1

 1 tan 2 y 
 1 x2 


2
dy
dy
dx 1  x 2
dy cos y
上式を返々 x で積分すれば確かに次式を得ます。
y
1
dx
1 x2
1
0  0 であることを利用すると確かに次のような表現を得ます。
x 1
tan 1 x  
dt
01 t 2
さらに tan
面積・体積－πの評価－3

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