気泡関数要素における安定化作用倉橋貴彦「松本純一：流体解析における数値不安定性および安定化手法, 計算科学チュートリアル2008」の資料を参考に作成しています。 1 定常問題の場合定常移流拡散方程式 uc, x  vc, y   c, xx  c, yy   0 補間関数 w  N1w1  N 2 w2  N 3 w3  N B wB  N  w N B wB T c  N1c1  N 2 c2  N 3c3  N B cB  N  c N B cB T 重み付き残差方程式 w u e  v w T e  N  c T wB   N , x  N B , x d  N B  cB  N  c T wB   N , y  N B , y d  N B  cB   T  T     w   e  e w T      N  T wB   N , xx  N B    N  T wB   N , yy  N B    N B , xx N B , yy c d  cB   c  d    0 cB    2 N N , x T u   e N N T  B , x N N , y T c d   v   T e N B N B , x  cB   N B N , y  N N B , x   N N , xx T    e  N B N , xx T   c d     N B N B , y  cB  N N B , y  N N , yy T c d    T N B N B , xx  cB  e  N B N , yy  N N B , xx  c  0 d     N B N B , yy  cB   0  N N B , yy  上記の方程式の二本目の式（二本の式のうち下の式）を抜粋すると T u   N B N , x  dc  N B N B , x dcB  e  e  T  v  N B N , y  dc  N B N B , y dcB  e  e  T T     N B N , xx  dc  N B N B , xx dcB   N B N , yy  dc  N B N B , yy dcB   0 e e e  e  u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc T e T e T T     N B N , xx  dc  N B N , yy  dc e  e   u  N B N B , x dcB  v  N B N B , y dcB e e     N B N B , xx dcB   N B N B , yy dcB   0 e  e  3 u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc T T e e T T     N B N , xx  dc  N B N , yy  dc e  e    u  N B N B , x d  v  N B N B , y d     N B N B , xx d   N B N B , yy d  cB e e  e   e cBの等式に変形すると cB   eB T T T T Ae  u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc    N B N , xx  dc  N B N , yy  dc  e e  e   e 2  N d   e B  ←※また、下線部は一次要素の場合、消去される。 2  eB  N d   e B   Ae  u  N B N B , x d  v  N B N B , y d     N B N B , xx d   N B N B , yy d   e e  e   e ここで以下の関係も踏まえると、上式は以下のように書き直される。 T T     N B N , xx  dc  N B N , yy  d     e  e      N B N B , x nx d   N B , x N B , x d   N B N B , y n y d   N B , y N B , y d   0 e  e    cB   eB  eB    Ae uN , x  c vN , y  c  N B d T T  N d   e B   N d   e B  e 2 ←※{N,x}{N,y}は一次要素の場合定数になるため積分の外に出すことができる。また、分母・分子で消去できる項があるが、ここでは残しておく。 2 Ae     N B , x N B , x d   N B , x N B , y d   e    e 4 再度２枚目のスライドの式 N N , x T u   e N N T  B , x N N , y T c d   v  T N B N B , x  cB  e  N B N , y  N N B , x   N N , xx T    e  N B N , xx T   c d  N B N B , y  cB  N N B , y  N N , yy T c d    T N B N B , xx  cB  e  N B N , yy  N N B , xx  c  0 d     N B N B , yy  cB   0  N N B , yy  上記の方程式の一本目の式（一本の式のうち下の式）を抜粋すると T u   N N , x  dc  N N B , x dcB  e  e  T  v  N N , y  dc  N N B , y dcB  e  e  T T     N N , xx  dc  N N B , xx dcB   N N , yy  dc  N N B , yy dcB   0 e e e  e  {c}とcBに分けて整理 T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e    u  N N B , x d  v  N N B , y d     N N B , xx d   N N B , yy d  cB  0 e e  e   e 5 T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e    u  N N B , x d  v  N N B , y d     N N B , xx d   N N B , yy d  cB  0 e e  e   e グリーンの定理を適用すると T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e    u   N N B nx d   N , x N B d   v  N N B n y d   N , y N B d  e e            N N B , x nx d   N , x N B , x d   N N B , y n y d   N , y N B , y d  cB  0 e  e    T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e    u  N , x N B d  v  N , y N B d cB  0 e  e  6 また、{N,x}{N,y}は一次要素の場合定数になるため積分の外に出すことができる。さらに最終項のNBの積分項をくくり、カッコの外に出す。 T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e   uN , x  vN , y  N B dcB  0 e 代入 cB   eB  eB    Ae uN , x  c vN , y  c  N B d T T  N d   e B   N d   e B  2 Ae     N B , x N B , x d   N B , x N B , y d   e    e T T  N N , x  dc v  N N , y  dc   u e e T T     N N , xx  dc  N N , yy  dc e  e   e 2    eB Ae uN , x  vN , y  uN , x   vN , y  c  0 T T この後、拡散項に対してグリーンの定理を適用すると、安定化項付きの有限要素方程式が得られる。（気泡関数要素を使って定式化することは、安定化項付きの一次要素における定式化に類することがわかる。） τeBについては、安定化有限要素法において設定される安定化パラメータと等価になるように決定する。 7