気泡関数要素における安定化作用について

気泡関数要素における
安定化作用
倉橋貴彦
「松本純一：流体解析における数値不安定性お
よび安定化手法, 計算科学チュートリアル2008」の
資料を参考に作成しています。
1
定常問題の場合
定常移流拡散方程式
uc, x  vc, y   c, xx  c, yy   0
補間関数
w  N1w1  N 2 w2  N 3 w3  N B wB  N  w N B wB
T
c  N1c1  N 2 c2  N 3c3  N B cB  N  c N B cB
T
重み付き残差方程式
w
u
e
 v
w
T
e

N 
c
T
wB   N , x  N B , x d 
N B 
cB 
N 
c
T
wB   N , y  N B , y d 
N B 
cB 

T

T
    w

 e

e
w
T





N 
T
wB   N , xx 
N B 


N 
T
wB   N , yy 
N B 


N B , xx
N B , yy
c
d 
cB 

c 
d    0
cB  

2
N N , x T
u 
 e N N T
 B , x
N N , y T
c
d   v  
T
e
N B N B , x  cB 
 N B N , y 
N N B , x 
 N N , xx T
 
 e  N B N , xx T
 
c
d

  
N B N B , y  cB 
N N B , y 
N N , yy T
c
d   
T
N B N B , xx  cB  e  N B N , yy 
N N B , xx 
c  0
d    
N B N B , yy  cB   0 
N N B , yy 
上記の方程式の二本目の式（二本の式のうち下の式）を抜粋すると
T
u   N B N , x  dc  N B N B , x dcB 
e
 e

T
 v  N B N , y  dc  N B N B , y dcB 
e
 e

T
T
    N B N , xx  dc  N B N B , xx dcB   N B N , yy  dc  N B N B , yy dcB   0
e
e
e
 e

u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc
T
e
T
e
T
T
    N B N , xx  dc  N B N , yy  dc
e
 e

 u  N B N B , x dcB  v  N B N B , y dcB
e
e
    N B N B , xx dcB   N B N B , yy dcB   0
e
 e

3
u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc
T
T
e
e
T
T
    N B N , xx  dc  N B N , yy  dc
e
 e

  u  N B N B , x d  v  N B N B , y d     N B N B , xx d   N B N B , yy d  cB
e
e
 e

 e
cBの等式に変形すると
cB   eB
T
T
T
T
Ae  u  N B N , x  dc v  N B N , y  dc    N B N , xx  dc  N B N , yy  dc 
e
e
 e

 e
2
 N d 
 e B 
←※また、下線部は一次要素の場合、
消去される。
2
 eB
 N d 
 e B 

Ae  u  N B N B , x d  v  N B N B , y d     N B N B , xx d   N B N B , yy d  
e
e
 e

 e
ここで以下の関係も踏まえると、上式は以下のように書き直される。
T
T
    N B N , xx  dc  N B N , yy  d  


e
 e

    N B N B , x nx d   N B , x N B , x d   N B N B , y n y d   N B , y N B , y d   0
e

e
 

cB   eB
 eB 


Ae uN , x  c vN , y  c  N B d
T
T
 N d 
 e B 
 N d 
 e B 
e
2
←※{N,x}{N,y}は一次要素の場合定数になるため積分の外に出すことができる。
また、分母・分子で消去できる項があるが、ここでは残しておく。
2
Ae     N B , x N B , x d   N B , x N B , y d  
e

  e
4
再度２枚目のスライドの式
N N , x T
u 
 e N N T
 B , x
N N , y T
c
d   v 
T
N B N B , x  cB  e  N B N , y 
N N B , x 
 N N , xx T
 
 e  N B N , xx T
 
c
d 
N B N B , y  cB 
N N B , y 
N N , yy T
c
d   
T
N B N B , xx  cB  e  N B N , yy 
N N B , xx 
c  0
d    
N B N B , yy  cB   0 
N N B , yy 
上記の方程式の一本目の式（一本の式のうち下の式）を抜粋すると
T
u   N N , x  dc  N N B , x dcB 
e
 e

T
 v  N N , y  dc  N N B , y dcB 
e
 e

T
T
    N N , xx  dc  N N B , xx dcB   N N , yy  dc  N N B , yy dcB   0
e
e
e
 e

{c}とcBに分けて整理
T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e

  u  N N B , x d  v  N N B , y d     N N B , xx d   N N B , yy d  cB  0
e
e
 e

 e
5
T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e

  u  N N B , x d  v  N N B , y d     N N B , xx d   N N B , yy d  cB  0
e
e
 e

 e
グリーンの定理を適用すると
T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e

  u   N N B nx d   N , x N B d   v  N N B n y d   N , y N B d 
e
e
  

  
    N N B , x nx d   N , x N B , x d   N N B , y n y d   N , y N B , y d  cB  0
e

e
 

T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e

  u  N , x N B d  v  N , y N B d cB  0
e
 e

6
また、{N,x}{N,y}は一次要素の場合定数になるため積分の外に出すことができる。
さらに最終項のNBの積分項をくくり、カッコの外に出す。
T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e

 uN , x  vN , y  N B dcB  0
e
代入
cB   eB
 eB 


Ae uN , x  c vN , y  c  N B d
T
T
 N d 
 e B 
 N d 
 e B 
2
Ae     N B , x N B , x d   N B , x N B , y d  
e

  e
T
T

N N , x  dc v  N N , y  dc


u
e
e
T
T
    N N , xx  dc  N N , yy  dc
e
 e


e
2

  eB Ae uN , x  vN , y  uN , x   vN , y  c  0
T
T
この後、拡散項に対してグリーンの定理を適用する
と、安定化項付きの有限要素方程式が得られる。
（気泡関数要素を使って定式化することは、安定化
項付きの一次要素における定式化に類することが
わかる。）
τeBについては、安定化有限要素法において設定さ
れる安定化パラメータと等価になるように決定する。
7

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