関数論演習第 9 回
2014 年 5 月 16 日担当：中島
正則関数 1
9
例題 9.1. 略
例題 9.2. 略
例題 9.3. Cauchy-Riemann の関係式より ux = vy , uy = −vx である.
z0 ∈ D を固定する. 任意の点 z ∈ D に対して z0 と z を有限個の線分 z0 z1 , · · · , zn z で結ぶ. 線分
z0 z1 上の点を
z(t) = z0 (1 − t) + z1 t (t ∈ [0, 1])
で与える. このとき平均値の定理よりある ζ ∈ [0, 1] が存在して
u(z1 ) − u(z0 ) =
du
(z(ζ)) = ux (ζ)(x1 − x0 ) + uy (ζ)(y1 − y0 ) = 0.
dt
同様に v(z1 ) = v(z0 ), · · · となり f (z) = f (z0 ) である.
問 9.1. (i)
いたるところ微分不可能
原点でのみ微分可能
(ii)
(iii) いたるところ微分不
可能
問 9.2. Cauchy-Riemann の関係式から ux = uy = vx = vy = 0 となる.
問 9.3. (i)
略
(ii) v(x, y) − v(0, 0) =
(C ∈ R).
∫x
0
vx (x′ , y)dx′ +
∫y
0
vy (0, y ′ )dy ′ = x3 − 3y 2 x. よって f (z) = z 3 + Ci
π
π
i より ii = e− 2 .
2
π π
(ii) Log(Logi) = log |Logi| + i arg(Logi) = log + i.
2
2
ei(1−i) + e−i(1−i)
e1+i + e−1−i
(iii) cos(1 − i) =
=
2
2
π
−i
−i log(−i)
(iv) (−i) = e
. log(−i) = (− π2 + 2mπ)i (m = Z) より (−i)−i = e− 2 +2mπ .
レポート A 8.1. (i)
レポート A 8.2. (i)
ii = eiLogi . Logi =
Logz = log |z| + iθ1 , Logw = log |w| + iθ2 (− π2 < θ1 <
π
2,
(m ∈ Z).
− π2 < θ2 <
π
2)
と
おく.
ド・モアブルの定理より zw = |z||w|(cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ2 + θ2 )) である. 特に −π < θ1 + θ2 < π
である. よって
Log(zw) = log(|w||z|) + i(θ1 + θ2 )
= log |w| + log |z| + iθ1 + iθ2 = Logz + Logw.
(ii) Logz =
2π
3 i.
Logw =
3π
4 π.
17
7
また zw = e 12 πi であるので Log(zw) = − 12
πi となり等式は成り
立たない.
注: 主値と多価関数の違いが出来ていない解答がいくつか見受けられた. 特に偏角の範囲に気をつ
けてほしい.
レポート A 8.3. log z = log |z| + i arg z より en log z = en log |z|+in arg z = |z|n (cos(n arg(z)) +
i sin(n arg(z))). arg(z) = θ + 2nπ (n ∈ Z) であるので cos(n arg(z)) + i sin(n arg(z)) = cos(nθ) +
i sin(nθ)). よって en log z = z n .
注: en log z の対数 log をとろうとしている解答がいくつかあった. 一価の関数を多価の関数にする
と非常に手間がかかります.
レポート A 8.4. (i), (ii)
略. x < 0 の時に挙動が異なることに注意. 実軸に複素数平面の上からと下
からどちらから近づくかで偏角が異なる.
レポート B 8.1. 略