2.1 直流回路 ②
Index
[2] 直流回路の計算
(1) 直列回路
(2) 並列回路
(3) 直並列回路
(4) 回路網の解法
(a) 回路の自由度
(b) ループごとの電圧方程式とその解
(c) 短絡線の活用
(d) 相対性の活用
(e) Δ-Y変換
[2] 直流回路の計算

直列・並列回路の計算が基礎

直列・並列回路の組み合わせ

電源が複数ある場合は
→ キルヒホッフの法則

場合によっては回路の諸定理を用いる
(1) 直列回路
I0
I0
I0
合成抵抗
R0
V1  R1 I 0 , V2  R2 I 0 ,  , Vn  Rn I 0
電圧の
足し算が
容易
V0  V1  V2    Vn   R1  R2    Rn I 0
V0
R0 
 R1  R2    Rn
I0
Rn
R1
R2
V1 
V0 , V2 
V0 ,  , Vn 
Vn
R0
R0
R0
(2) 並列回路 1/2
合成抵抗
R0
合成コンダクタンス
0
電流の
足し算が
容易
V0
V0
V0
I1 
, I 2 
,　 , I n 
R1
R2
Rn
V0 V0
V0

 
I 0  I1  I 2    I n 
R1 R2
R0
G0
(2) 並列回路 2/2
V0
1
R0 

1
1
1
I0

 
R1 R2
Rn
合成抵抗
R0
R0
R0
I0 ,  , I n 
In
I1 
I 0 , I 2 
R1
R2
Rn
● コンダクタンスの場合
I 0  G1V0  G2V0    GnV0  G1  G2    Gn V0
I0
G0 
 G1  G2    Gn
V0
Gn
G1
G2
I1 
I 0 , I 2 
I0 ,  , I n 
In
G0
G0
G0
(3) 直並列回路 1/2
合成抵抗を求める → 全電流を求めることができる
R2 と R3 の合成抵抗：
R2 R3
1
R23 

1
1
R2  R3

R2 R3
全合成抵抗： R0  R1  R23
R2  R3
E
E
全電流： I 1 


E
R0 R1  R23

ただし，  R1 R2  R2 R3  R3 R1
(3) 直並列回路 2/2
全電流が求まったら → 各電流と各電圧を求める
I1  I 2  I 3
R3
R3
I2 
 I1 
E
R2  R3

R2
R2
I3 
 I1 
E
R2  R3

ただし，  R1 R2  R2 R3  R3 R1
よって各抵抗にかかる電圧は
R1  R2  R3 
V1  R1 I 1 
E

R2 R3
V2  V3  R2 I 2  R3 I 3 
E

(4) 回路網の解法
回路網を解くと言うことは，
↓
 回路を構成する各素子の
「電流」と「電圧」を求めること，
↓
 キルヒホッフの法則で求まる．

Note
(a) 回路の自由度
すべての枝を通る独立のループを求める．
このループの数を自由度という．例は自由度２．
自由度：f，枝数：b, 節点数：n とすれば，
f=b-n+1
例では，3 - 2 + 1 = 2
解法②
(b) ループごとの電圧方式とその解
各ループにキルヒホッフの
第２法則を適用すると
① R1 i1  R2 i1  i2   E
1
2
②  R2 i1  i2   R3 i2  0
 R1  R2
 R
2

 R2   i1   E 
 



R2  R3   i2   0 
R2  R3
R2
i1 
 E , i 2 
E


よって，
ただし，  R1 R2  R2 R3  R3 R1
I 1  i1 , I 2  i1  i2 , I 3  i2
(d) 対称性の活用
図（a）の抵抗Rがすべて等しい場合，同電位の節点を
図（b）の様に短絡して考えることができる．
また，図（c）の様に節点 f を切り離して考えることもできる．
並列回路の特性
(d) 対称性の活用（合成抵抗）
R R R R
Rab    
2 4 4 2
3
 R
2
R R

 1
Rab   R    R  
2 2

 2
3
 R
2
(e) Δ（デルタ）-Υ（スター）変換
r1 
R2 R3

, r2 
R3 R1

, r3 
R1 R2

,   R1  R2  R3
Δ結線からΥ結線への変換
(e) Δ（デルタ）-Υ（スター）変換
R1 

r1
, R2 

r2
, R3 

r3
,   r1r2  r2 r3  r3 r1
Υ結線からΔ結線への変換
[例題] 2.5
合成抵抗 Rab と各抵抗に流れる電流求めよ．
ブリッジ回路 → 直並列回路
r1 
R2 R3

, r2 
R3 R1

, r3 
R1 R2

,   R1  R2  R3
 1  3

  5   2 
7
3  5  5

合成抵抗： Rab  5   1   3   3
  5    2

5  5
V 7
電流： I   7  3 [A]
R
3
[Ω]
I cb
I cb
I
I db
I db
3
2
1
5
I cb  I 
 3   1 [A]
3
1  3


5


2

 

5  5

I db  I  I cb  3  1  2 [A]
節点cb,db間を流れる電流 I cb と I db は変換後も変わらない
Vac
Vcb
I cb
I ac
I cd
I ad
I db
Vab  7
Vcb  Rcb I cb  5 1  5 [V]
I ad  I  I ac  3  2  1 [A]
Vac  Vab  Vcb  7  5  2 [V]
I cd  I ac  I cb  2  1  1 [A]
Vac 2
  2 [A]
I ac 
Rac 1
I db  I ad  I cd  1  1  2 [A]
I db  I  I cb  3  1  2 [A]
演習問題
Question
[問題] 2.
E  16　[V ]
P  2　[ ]
Q  5　[ ]
R  1　[ ]
S  3　[ ]
Rl  3　[ ]
B  1　[ ]
抵抗 Rl を通る電流 I l を求めよ．
「キルヒホッフの定理」 or 「テブナンの定理」
Answer
[問題] 2. 解答①
il
i2
i1
図のように閉路PRlS，
PQRS, PQB を考え
各閉路を流れる電流を
il ， i1 ， i2 とする．
キルヒホッフの第２法則
を各閉路に適応すると，
RP il  i1  i2   Rl il  RS il  i1   0
RP il  i1  i2   RQ i1  i2   RR i1  RS il  i1   0
RP il  i1  i2   RQ i1  i2   RB i2  E
[問題] 2. 解答②
数値を代入すると
2il  i1  i2   3il  3il  i1   0
Answer
2il  i1  i2   5i1  i2   1  i1  3il  i1   0
2il  i1  i2   5i1  i2   1  i2  16
整理すると
8il  5i1  2i2  0
5il  11i1  7 i2  0
2il  7 i1  8i2  16
 8 5 2  i l   0 
 5 11 7   i    0 

 1   
 2 7 8  i2  16
連立方程式を解くと
i l  1[　A]
736
i1  
 3.54 [A ]
208
1008
i2 
 4.85[ A ]
208
[問題] 2. 別解答①
Answer
a
テブナンの定理を用いる
テブナンの定理に当てはめる
ため，ブリッジ部分にかかる
電圧 E 0 を求める．
b
I
E0
そこでまず回路の合成抵抗
を求める．
[問題] 2. 別解答②
Δ-Υ変換を行ってブリッジ部の合成抵抗を求める．
Answer
P  2　[ ]
Q  5　[ ]
Rl  3 [　]
S  3　[ ]
R  1[　]
Q  5[　]
6 8　[ ]
6 8 [　]
9 8 [　]
R  1[　]
よって，合成抵抗はブリッジ部分の抵抗と抵抗 B  1　[ ] より
6
 9 

5

    1
6
8
  8   1  378  782  504  1664  3.3　[]
R  
504 504 504 504
8 6
 9 
  5     1
8
 8 
[問題] 2. 別解答③
a
Answer
回路を流れる電流は
E 16
I 
 4.85　[ A]
R 3.3
b
よって，ブリッジ部分にかかる電圧は
16
E0  E  RB I  16  1 
 11.15　[V ]
3.3
E0
I
[問題] 2. 別解答④
ab間を開放端とした場合の内部抵抗は
SR
PQ
3 1 2  5 61
Ri 

 2.18[　]





1 1 1 1 S  R P  Q 3  1 2  5 28


a
S R P Q
Answer
1
1
ab間を開放端とした場合の電圧は
P
2
S
3
E0 
[V ]
E0 
V0 
11.15 
11.15  5.18　PQ
25
SR
3 1
よって，テブナンの定理より
V0
5.18
Il 

 1[　A]
Ri  Rl 2.18  3
b
I
E0
[例題] 2.1
Remembrance
検流計Gに流れる電流 I l を求めよ．
c,d
[問題] 2. 別解答④
ab間を開放端とした場合の内部抵抗は
SR
PQ
3 1 2  5 61
Ri 

 2.18[　]





1 1 1 1 S  R P  Q 3  1 2  5 28


a
S R P Q
Answer
1
1
ab間を開放端とした場合の電圧は
P
2
S
3
E0 
[V ]
E0 
V0 
11.15 
11.15  5.18　PQ
25
SR
3 1
よって，テブナンの定理より
V0
5.18
Il 

 1[　A]
Ri  Rl 2.18  3
b
I
E0
[問題] 3.
Question
合成抵抗 Rab を求めよ．
また，正 n 多角形の場合の合成抵抗を求めよ．
相対性の活用
[問題] 3.
Answer
n3
R
R
a
b
R
R3 
1
1
1

R R R
2R

3
[問題] 3.
R
n4
R
Answer
R
R
R
a
R
b
このままでは分かりづらいので，次のように変形する
R
平衡状態のホイートストンブリッジ
[問題] 3.
R R
R
R
中央の抵抗には電流が流れない
Answer
a
b
R
無いのと同じこと
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R3 
R
1
1
1
1


R R R R R
2R

4
[問題] 3. 解答
abを底辺とする
三角形の頂点の
電位が全て同じ
Answer
n5
黄色い線には
電流が流れない
R3 
1
1
1
1
1



R R R R R R R
2R

5
[問題] 3. 解答
Answer
n3
n4
n5
よって
R3 
R4 
R5 
Rn 
1
1
1

R R R
2R

3
1
1
1
1


R R R R R
2R

4
1
1
1
1
1



R R R R R R R
1
1
1

 n  2
R R R
2R

 n
2R

5

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