B5-1 第52回自動制御連合講演会 2009年11月21,22日(大阪大学) DEA において実現可能性を考慮した効率測定 Eﬃcient measures based on careful study of the feasibility in DEA ○ 鷲尾哲, 山田修司, 田中環 (新潟大学), 谷野哲三 (大阪大学) Satoshi WASHIO, Syuuji YAMADA, Tamaki TANAKA (Niigata University) and Tetsuzo TANINO (Osaka University) Abstract In this study, we suggest four kinds of improvement indices based on careful study of the feasibility for ineﬃcient DMUs to become an eﬃcient unit in the CCR model with the minimal change of input and output values. Moreover, we propose an algorithm for calculating the proposed indices based on quadratic programming techniques. Furthermore, we propose four eﬃcient measure models based on careful study of the feasibility. はじめに 1 は一様に効率的であると評価される. CCR モデル, BCC モデルの生産可能集合は次のように定義される.  n n  ∑ ∑ TCCR = (x , y) : x ≥ λj xj , 0 ≤ y ≤ λj yj  本研究では, 包絡分析法（DEA）の効率分析において, 非効率的と評価された意思決定主体（DMU）に対し, 実現可能性を考慮した改善指標とその指標を求めるアルゴ j=1 j=1 リズムを提案する. また, 実現可能性を考慮した効率測定モデルを提案する. 2   DEA TBCC =  for some λ ≥ 0} . (x , y) : x ≥ DMU を考える. DMUk (k ∈ {1, . . . , n}) の入力ベク n ∑ トルを xk := (x1k , . . . , xmk )⊤ , 出力ベクトルを yk := j=1 3 (A1) xk > 0, yk > 0 ∀k ∈ {1, . . . , n}.   λj = 1 for some λ ≥ 0 .  n ∑ λj yj , j=1 改善指標本研究では, CCR モデルにおいて非効率的な DMUk ⊤ ⊤ ⊤ (A2) (x⊤ k1 , yk1 ) ̸= (xk2 , yk2 ) ∀k1 , k2 (k1 ̸= k2 ). に対して DMUk から CCR モデルの効率的フロンティア上にある距離が最小となる点を求める. ここで, 距離 (A3) n > m + s. を半正定値対称行列 A ∈ R(m+s)×(m+s) を用いて次の (A4) dim({x1 , . . . , xn } × {y1 , . . . , yn }) = m + s. ように定義する. このとき, DMUk (1 ≤ k ≤ n) の効率を測定する入力指 ||z||A := 向の CCR モデル [2] は次のように定式化される.   minimize θ    n  ∑    subject to θxik − λj xij ≥ 0 i = 1, . . . , m,             λj xj , 0 ≤ y ≤ j=1 本研究では, m 個の入力, s 個の出力をもつ n 個の (y1k , . . . , ysk )⊤ とする. また, 次を仮定する. n ∑ n ∑ z ⊤ Az, z ∈ Rm+s . また, FCCR を CCR モデルの効率的フロンティアとする. ⊤ ⊤ 非効率的な DMUk に対して Pk := (x⊤ k , yk ) とする. そこで, d1k , . . . , d4k を次の問題 (ID1k ), . . . , (ID4k ) の最適 j=1 解とし, d1k , . . . , d4k を DMUk に対する改善指標として λj yrj − yrk ≥ 0 r = 1, . . . , s, 提案する. { j=1 θ ∈ R, λj ≥ 0 j = 1, . . . , n. また, CCR モデルに対し √ (ID1k ) ∑n λj = 1 という制約条件を加えたものが BCC モデル [1] である. 各モデルにお min ||z||A s.t. z ∈ FCCR − Pk .    min ||z||A 2 (IDk ) s.t. z ∈ FCCR − Pk ,   z ∈ TBCC − Pk . j=1 いて, 効率的な DMU が構成するすべての包絡面を効率的フロンティアと呼び, 効率的フロンティア上の DMU 1 B5-1 第52回自動制御連合講演会 2009年11月21,22日(大阪大学)   min ||z||A     s.t. z ∈ F CCR − Pk , (ID3k )  αh ≤ zh + Ph,k ≤ βh     h = 1, . . . , m, 問題 (Ckj ) の制約条件に対象とする問題の制約条件を加える. 問題 (Ckj ) の最適解を OCjk とする. j = Nc ならばステップ 2 へ. そうでなければ j ← j + 1 としてステップ 1 へ. ただし α, β は意思決定者が決定する制限ベクトル.   min ||z||A     s.t. z ∈ F CCR − Pk , (ID4k )  ||ztq − Ptq ,k || ≤ ||ztq+1 − Ptq+1 ,k ||     q = 1, . . . , m + s − 1, ステップ 2 ′ j ∈ arg min{||OCjk ||A : j ∈ Sc } とし, アルゴリズムを終了する. アルゴリズム ICCR によって計算された OCjk′ は対象問題の最適解となる. ただし {t1 , . . . , tm+s } = {1, . . . , m + s}. 各指標 d1k , . . . , d4k は問題 (ID1k ), . . . , (ID4k ) を解くことで得られる. このとき Pk + d1k 4 は FCCR 上で Pk 効率測定本研究では 3 章で提案した改善指標を基にした効率測から最短距離となる点である. 2 番目の指標 d2k を求定モデルを提案する. 実現可能性を考慮した実行可能領める問題 (ID2k ) は問題 (ID1k ) に対して制約条件 z ∈ 域内で CCR 効率となるための変化量によって効率を評 TBCC − Pk を加えることによって構成される. この制価する. 改善指標 d1k に基づくモデルとして次の数理モ約を加える理由は TBCC が DMUs にとって実現可能なデルを提案する.   max  s.t. 領域であると考えたからである. 問題 (ID3k ) の実行可能領域は問題 (ID1k ) の実行可能領域を制約条件 αh ≤ zh + Ph,k ≤ βh , h = 1, . . . , m を満たしている領域に限定することによって定義される. この制約を加える 1 ||z||A m+s z ∈ FCCR − Pk . θ =1− 1 ||d1 ||A m+s k となる. その他の改善指標に対しても同様に考えることができる. ことによって意思決定者は入力の変化量を調節できる. この問題の最適解は d1k となり, 効率値は 1− さらに, 制約 αh ≤ zh + Ph,k ≤ βh , h = 1, . . . , m を αh ≤ zh + Ph,k ≤ βh , h = m + 1, . . . , m + s に置き換えることによって出力の変化量を調節できる. 問題 (ID4k ) は問題 (ID1k ) に対して制約条件 ||ztq − Ptq || ≤ 5 ||ztq+1 − Ptq+1 || q = 1, . . . , m + s − 1 を加えることによって構成される. また, {t1 , . . . , tm+s } を決定するこおわりに本研究では, 非効率的と評価された DMU に対し, 効率的フロンティアを形成する方程式を用いて, 実現可能とによって意思決定者は入出力の変化量を調節できる. 性を考慮した改善指標を提案した. また, その改善指標ここで, FCCR を形成する方程式の添え字集合を Sc とを基にした効率測定モデルを提案した. し, Sc の要素数を Nc とする. また, 任意の j ∈ Sc に対して FCCR を形成する方程式は次で与えられるもの参考文献とする. Uj⊤ y − Vj⊤ x = 0 [1] Banker, R.D., Charnes, A., Cooper W.W. : ”Some models for Estimating Technical and Scale Inefﬁcinecies in Data Envelopment Analysis”, Management Scinece 30, pp.1078–1092, 1984. ただし, Uj ∈ Rs , Vj ∈ Rm である. このとき, 問題 (ID1k ), . . . , (ID4k ) に対して次のアルゴリズムを提案する. [2] Charns, A., Cooper, W.W., Rhodes, E. : ”Measuring Eﬃciency of Decision Making Units”, European Journal of Operations Research 2, pp.429– アルゴリズム ICCR ステップ 0 j ← 1 としてステップ 1 へ. 444, 1978. ステップ 1 wj := (−Vj⊤ Uj⊤ )⊤ とする. { min ||z||A k (Cj ) s.t. z ⊤ wj + Pk⊤ wj = 0. 2