高速多重極BEMの領域分割法への適用 ―掘割道路の解析例―

高速多重極 BEM の領域分割法への適用 ―掘割道路の解析例―∗
○安田洋介，坂本慎一（東大・生研），佐久間哲哉（東大・新領域）
1
interface boundary ΓI,II interface boundary ΓII,I
はじめに
boundary ΓII,II
BEM における領域分割法は，3 次元大規模問題に
おいても掘割道路からの音響放射などの解析に有用で
vI,I
あるが，従来の BEM では計算負荷の観点から実用化
pI,I
が難しい．BEM の効率化手法である高速多重極 BEM
boundary ΓI,I
（FMBEM） [1] の適用が考えられるが，FMBEM で
は係数行列を陽に算出しないことから，単純な応用
は難しい．既報 [2] では，部分領域間反復を用いた手
体行列を構成する方法に対して，FMBEM を適用す
るための手法について検討する．最後に同手法によ
る 3 次元掘割道路の解析例を示す．
2
2.2
属する境界を ΓI,I と表す．境界上の音圧ベクトル p，
粒子速度ベクトル v の表現も同様である．部分領域
ΩI ，ΩII のそれぞれについて境界積分方程式を適用し，
以下の連立方程式を得る．
HI2
pI,I
pI,II
]
[
HII1
HII2
pII,II
pII,I
]
=[
FI1
FI2
]
vI,I
vI,II
=[
FII1
FII2
]
=
0
HII1
FI1
0
行列ベクトル積の演算を，行列自体を算出すること
なく効率的に行う方法である．従って，部分領域ごと
vII,II
vII,I
0
FII1
HI2
HII2
−FI2
FII2
vI,I
vII,II
pII,II
pI,II
vI,II
+
dI
dII
に得るために，部分領域ごとに算出した行列ベクト
ル積を重ねあわせることを考える．Eq. (3) を次式の
ように変形すると，全体行列ベクトル積内の個々の行
列ベクトル積は全て部分領域ごとに FMBEM の手法
を適用することで効率的に計算できる．
⎡
HI1
⎣
HII1
+ dI
(1)
+ dII
(2)
但し，dI：部分領域 ΩI 内の直接音ベクトル．連続条
件 pI,II = pII,I 及び vI,II = −vII,I から，全ての未知
ベクトルを左辺に含んだ次式が得られる．
p
I,I
HI1
0
FMBEM は単一領域の音場に対する連立方程式に
反復解法を適用する際，そこで最も計算負荷の高い
きない．そこで，これら全体行列ベクトル積を効率的
ち，部分領域 ΩII と共有する境界を ΓI,II ，ΩI のみに
HI1
FMBEM の適用
行列ベクトル積の算出にあたっては直接的適用がで
音場を Fig. 1 に示す．部分領域 ΩI を囲む境界のう
[
vII,II
の効率的算出が可能であるが，Eq. (3) のような全体
BEM における領域分割法
pI,II pII,I
の連立方程式 Eqs. (1, 2) に対しては行列ベクトル積
適用方法
2.1
vI,II vII,I field ΩII pII,II
Fig. 1 Decomposition of a sound field.
法について検討したが，反復の収束性に課題を残し
た．本報では，従来の BEM でしばしば採用される全
field ΩI
HI2
HII2
⎡
=⎣
pI,I
−
pI,II pII,II
−
pII,I
FI1
FI2
FII1 FII2
FI1
FII1
FI2
FII2
vI,I
+ dI
0
vII,II
+ dII
0
0
⎤
vI,II
0
vII,I
⎦
⎤
⎦
(4)
これにより，領域 ΩI の節点数を NI として，
全体行列ベクトル積の計算量は O(NI log NI ) +
O(NII log NII ) ∼ O(Na log Na ) にまで低減できる．
Eq. (3) に対する反復解法の収束が十分速い場合，大
自由度問題での高速化が期待できる．必要記憶容量に
関しては，全体行列及び各部分領域のための係数行列
(3)
上式を直接解法で解く場合，左辺の全体行列を Na ×Na
の正方行列とすると O(Na3 ) の演算量となる．反復解
法で解く場合でも，全体行列とベクトルの積（以下、
全体行列ベクトル積）が必要となり，O(Na2 )
を陽に算出しないことから，計算量同様 O(Na log Na )
にまで低減される．
3
数値実験による検討
3.1
検討方法
の演算
立方体と点音源からなる解析モデルを Fig. 2 に示
量が必要である．必要記憶容量に関しても行列保持
す．内部領域を z 方向で 3:1 に分割し，それぞれ部分
の必要から O(Na2 ) となる．
∗
Application of the fast multipole BEM to sound field analysis using a domain decomposition approach:
calculation examples for semi-underground roads. by YASUDA Yosuke, SAKAMOTO Shinichi (I. I. S.,
The Univ. of Tokyo) and SAKUMA Tetsuya (Grad. Sch. of Frontier Sciences, The Univ. of Tokyo)
z
z
1
ΓII,II
field ΩII
0.75
O
x
interface boundary
S1
ΓI,I
field ΩI
0
1
x
y
1
field ΩII
1
field ΩI
5
point source (0.5, 0.5, 0.5)
receiving line (x = 1, y = z)
rigid
Fig. 2 An analysis model for numerical experiment.
Table 1 Number of matrix-vector multiplications for
GPBiCG (NO, ε = 10−2)
GPBiCG (DO)
GPBiCG (DO, ILU)
GMRes(∞) (NO)
GMRes(∞) (DO)
GMRes(∞) (DO, ILU)
5
O
7.5
point source S1
20
5
unit: [m]
Fig. 3 An analysis model: a semi-underground road
20 m wide and 100 m long.
the augmented system (Na = 2, 048, 500 Hz). ILU denotes ILUT(10−5 , 50) preconditioning. Stopping criterion for convergence is ε = 10−3 , unless noted otherwise.
α for Γ I,I
α for Γ II,II
y
(a)
1
1
0.5
0.5
0
1
0
0
9594
110
10
811
136
10
138050
276
16
1085
172
17
78960
462
26
1183
267
33
195532
978
58
1224
320
61
63 Hz
z
250 Hz
z
30 dB
30 dB
O
x
(b)
O
y x
z
y
z
領域 ΩI ，ΩII とする．実境界の条件として，垂直入
射吸音率 α に相当する音響インピーダンスを実数で
O
与え，α を変化させて反復解法の収束への影響を調
x
べる．各部分領域の境界要素節点数は NI = 1, 280，
NII = 768，全体の未知数は Na = 2, 048 である.
未知数の順序付け Eq. (3) 又は Eq. (4) における未
知数の順序付けは収束に大きく影響する可能性があ
る．ここでは特に考慮しない場合 (Eq. (3) の順序付
け，以下 NO) の他に，全体行列の対角項がある程度
優位になるように工夫した場合（Eq. (5)，以下 DO）
O
y x
y
Fig. 4 Directivities from the center point O of the
opening: (a) single frequency and (b) 1/1 octave band.
4
掘割道路の解析例
4.1
計算方法
水平な無限大剛面の下部に掘割道路を持つ解析モデ
を検討した．後者においては，BEM では要素積分に
ルを Fig. 3 に示す．長さを 100 m とし，端部は α = 1
おける積分核の特異性により対角項の絶対値が大き
の吸音面，その他の面は剛とする．中央の断面上に点
くなることを考慮し，全体行列の対角項に必ず部分
音源 S1 を設ける．未知数の順序付けには DO，反復
領域行列の対角項が入るように工夫している．
p
I,I
解法には ILU 系前処理付 GPBiCG を用いた．
HI1
0
=
3.2
HI2
HII2
FI1
0
0
FII1
0
HII1
−FI2
FII2
vI,I
vII,II
pI,II
pII,II
vI,II
+
dI
dII
4.2
計算結果
開口部中心点 O からの放射指向性を Fig. 4 に示
(5)
結果と考察
収束までの反復回数（行列ベクトル積の回数）を境
界条件・解法ごとに Table 1 に示す．NO の場合，反
復解法や境界条件によらず未知数 Na と同オーダーか
それ以上の回数である．対照的に DO の場合，前処理
なしの場合でも全て Na より小さい回数で収束してお
り，未知数順序付けの効果が表れている．さらに ILU
系前処理を適用した場合は収束性が著しく改善して
おり，解法間の違いがほとんど見られない．このこと
から，未知数の順序付けの工夫と適切な前処理の併
用により十分良好な収束性が得られると考えられる．
す．計算効率は，解析周波数 250 Hz において Na =
161, 888 ，行列ベクトル積の回数 364，必要記憶容量
6.5 GB であった（従来の BEM では約 420 GB）．
謝辞
本研究は平成 18 年度日本学術振興会科学研究
費補助金（特別研究員奨励費，No. 16-10186 ）によ
り行われた．
参考文献
[1] T. Sakuma and Y. Yasuda, Acustica-acta acustica, 88, 513-525, 2002.
[2] 安田他，音講論（春），827-828 ，2005．

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