Page 1 Page 2 Page 3 Page 4 Page 5 論文審査の結果の要旨算術

きん
じょう
けん
さく
氏名･(本籍 )
金
城
謙
作
学位の種類
博
士 (
理
学位記番号
学位授与の要件
2644号
平成2
3年 9月 8 日
学位規則第 4条第 1
項該当
研究科, 専攻
東北大学大学院理学研究科 (
博士課程)数学専攻
学位論文題目
Canoni
c
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f
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sanduni
tr
oot
sofor
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nar
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学位授与年月日
学)
理博第
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一
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(
二進算術幾何平均による通常楕円曲線の標準持ち上げと単数根)
論文審査委員
(
主査)
准教授
山
崎
隆
雄
教
授
雪
江
明
彦
教
授
都
築
暢
夫
論
文
目次
1
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r
a
n
論
文
内容要
旨
本博士論文は,棟数 2の有限体上定義された楕円曲線と超幾何級数の関係について纏めたものである.
また応用として 2進算術幾何平均列を用いて,楕円曲線の標準的な持ち上げと超幾何級数の関係を与える.
膚F
l曲鹿と算術頗何乎埼
,bに対し,
実数体上の算術幾何平均列とは,正の実数a
ao
:
-a
,bo
:
-b,am
.
.
:
-(
am+bm
)/
2,bm
.
1
:
-(
ambm
)1
′
2 (
m≧o
)
と帰納的に定義される数列である(
平方根は正のものを選ぶ)
.これらの数列は同一極限に収束する.Ga
us
s
は,算術幾何平均列の同一極限を用いた,実数体上の楕円曲線の周期の計算方法を発見した.算術幾何平
均列の類似は色々考察されており,本博士論文では,算術幾何平均列の p進類似について考察する.
pを素数とし,Kを Q｡上の有限次拡大体,Vを K の正規付値とする (
v 也)-1
)
.K の元 a,bで,pが奇素
1
-(
a/
ち)
)≧1
,p-2のときⅤ(
ト(
a/
ち)
)≧3を満たすものに対し,数列 (
am
)
,(
bm
)杏
数のとき Ⅴ(
ao
:
-a
,bo
:
-b,am
.
1
:
-(
am+bm
)/
2,bm
.
1
:
-bm(
ambm
)1′2
(
m≧o
)
と帰納的に定義する.ここで am/
b｡の平方根は 1に近いほうを選ぶものとする.これらの数列は p進算術
幾何平均列と呼ばれ,He
ia
m
r
tと Me
s
t
r
eによって初めて定義された.ここで p進算術幾何平均列の収束性
について,次の命題が成立する.
車重ニ
a,bは K の元で,pが奇素数のとき Ⅴ(
1
-(
a/
ち)
)≧1,p-2のとき Ⅴ(
1
-(
a/
b
)
)≧ 3を満たすとする.ま
am
)
,(
bm
)を初期値が a,bの p進算術幾何平均列とする.もしpが奇素数なら,〈
am
)と(
bm
)は収
た,数列 (
束する.p-2のとき,2進算術幾何平均列が収束するための必要十分条件は Ⅴ(
1
-(
a/
b)
)>3である.各素
数 p≧2に対し,p進算術幾何平均列が収束するなら,それらは同一極限を持つ.
i
ma
r
tと
同一極限を持っ p進算術幾何平均列は乗法的還元を持っ楕円曲線と対応している.そして He
Me
s
t
r
eは,p進算術幾何平均列の極限値を用いて乗法的還元を持っ楕円曲線の周期を計算した.
命題にあるように,p-2のときに限り,収束しない 2進算術幾何平均列を考えることが出来る.これは
実数体上の場合とは異なる現象である.以下収束しない 2進算術幾何平均列について考察する.
a,bは K の元で,Ⅴ(
ト(
a/
也)
)-3を満たすものとする.また (
a｡
)
,(
bm
)を,初期値が a,bの 2進算術幾
-am/
bmとおく.各 m ≧ Oに対し,方程式
何平均列とし,〃m:
Ep
m:
y2
-x(
xl
l
)(
Ⅹ-(
pm
)
2
)
(
1
)
で定義される曲線は通常楕円曲線となり,Ep
mの j不変量 j
mは
j
m-28[
(
pm1)
2
+F
L
m]
3
/
l
F
L
m
2
(
F
L
m1)
2
]
となる.Sa
t
o
hと Ga
ud
r
yは,j不変量のなす列 (
j
m
)は収束しないが部分列〈
j
m
n
)m≧｡は収束することに言及
-1
2-
している (nは K の剰余次数)
.但し,彼らは暗号理論に応用するために K は Q2上不分岐であることを仮
定している.著者と宮坂宥憲氏は共同で,K は q2上の任意の有限次拡大体で,更に (〟｡)自身が収束する
ことを示した.より正確には,次の定理を得た.
主定理1.(
K.
Mi
ya
s
a
ka
)
K を Q2上の有限次拡大体とし,nを K の剰余次数とする.a,bを K の元で V(1(
a/
b
)
)-3を満たすと
am
)
,(
b｡
)を初期値が a,bの 2進算術幾何平均列とし,〟m:
-am/
bmとおく.各整数 o≦ i≦
する.また,(
に対して次が成立する.
n -1
(
1
)部分列 (F
Lm+
I
)m≧｡は Q2上の n次不分岐拡大体 Fn⊂K のある元 F
L
.
↑に収束する.
Q2
)の Fr
o
be
ni
us元 c
Tに対して,F
E.
.1
↑
- (F
E
.
i
)Oが成立する.
(
2)Gal(Fn/
(
3
)各 m≧Oに対し,Ep
mは良い通常還元を持ち,E〃
再まEp
iを還元して得られる曲線の標準持ち上げと
なる.但し,E州と E〝
.
Tは,(
1
)のように Le
ge
ndr
e型の方程式で定義された楕円曲線である.
2澄超幾何叔教
本博士論文では,収束しない 2進算術幾何平均列と標数 2の有限体上の通常楕円曲線の単数根との関係
を与える超幾何関数を構成している.
a,b,C を有理数とし, C が 0以下の整数でないとき,超幾何級数 2
FI
(
a,ち;C;A)は
2
Fl(
a,b;C; A):
-∑｡≧o(
a
)
m(
b)mAm/(
(
C
)
｡･m !)
で定義される.但し (
a
)mは Poc
hha
mme
r記号である:
(
a
)
o:-1
,(
a
)m:
-a(a+1)･
･
･(a+m1
) (m ≧1
)
.
この超幾何関数を p進数上の関数と見倣すと,収束半径はパラメータと素数に依存する.例えば p≧ 3の
とき,2
Fl(1
/
2,1
/
2;1; A) は pW (戸,
)上で収束し,W (戸｡
)
×上では収束しない (W (戸,
) は wi
t
tベクト
ル)
.しかしDwor
kは,超幾何級数の比をとることにより,定義域が延長されることを見出した:
星型
(
Dwo
r
k).
pを奇素数とする.このとき関数 E(A)が存在して次を満たす.
(
1
)pW (戸,)上で,E(A)-(
1)'
p"
/
22
F.(1
/
2,1
/
2;1;A)/2F.(I
/
2,1
/
2;I;Ap) が成立.
)
×;l
A(A-I)H (A)I
- 1)上で正則かつ可逆である.ここで H (A)は井草多
(
2)E(A)は,〈入∈ W (戸p
項式である.
更に,E (【F
L])E(lF
L
]P
)- E(lp]p
n
I
) は,通常楕円曲線 E の単数根となる.但し F
L∈ 和まp (〟 -1)H
(F
L
)≠
0を満たし,n-lF｡(FL)‥F,],[FL]∈W (Fpn)は p の Teicl
m ul
l
e
r持ち上げである.そして,E は
y
2
-x
(
x1
)(
x-〟)で定義される楕円曲線である.
F
L∈ 戸,が〟 (FL
1
)H(F
L
)≠0であるから,E は通常楕円曲線となる.
本博士論文では Dwor
kの定理の 2進類似を考察した.L
e ge
ndr
e型の方程式で定義された曲線は,棟数 2
の体上では特異点を持っため,楕円曲線の定義方程式を取り替える必要がある.戸2上の通常楕円曲線の定
義方程式は y2
+xy-x3+I
L (I
L∈戸,
)で与えられることを用いて,著者と宮坂宥意氏の共同研究により次
の定理を得た.
主定理2.(
K.
Mi
ya
s
a
ka
)
-1
3-
G (A):
-2
Fl
(
5
/
6,7
/
6;2;43
2人) とおき,Bを人士1で生成される Z2係数の収束べき級数環とする.各
B上の Z2代数準同型￠で,￠(
A)≡ ス2(
mod2B)を満たすものに対し,W (
F2
)＼
〈
0)上の関数符￠が存在
し,
(
1
)2
W(
戸2
)＼
(
0)上で,行中(
A)-C｡G(A)/
G(￠ (A)) となる (
C￠はある Z;の元)
.
(
2)W (
戸2
)
×上でかゆは可逆となる.
(
3
)7
7｡(
[p]
￠
)7
7￠(￠ ([
p]
｡
)
)- 7
74(￠n
1
(
[
p]
￠
)
) は楕円曲線 y2+xy-x3+F
Lの単数根となる.但し,F
L
は戸2
×の元で,n-l
F2(〟):
F2
]
であり,[
F
L]
￠は￠n(
l
I
L]
￠
)-[
F
L]
￠∈W (
F2
n
)を満たす F
Lの唯一の持ち上げで
ある.
A)ニス2
のとき,[
F
E
いま p の Te
i
c
mu
l
ll
e
r持ち上げとなり,Dwo
r
kの定理の 2進類似となる.
特に￠(
次に,￠として￠A
G
M(A):
-[
- (1+8人)
+(
(1+8人
)
2+1
6人2(I+8Å)
)1′
2]/
[
8(I+8ス)
]をとる.これ
は 2進算術幾何平均列から由来した Z2代数準同型であり,主定理 1より W (
F2
m
)の元〟↑で,￠n
A
｡
M(〃↑
)
-〟†を満たすものが存在する.以上をまとめることで,次の系を得る.これは p-2のときのみ起こりう
る現象である.
丞
任意の F
L∈ 戸2
×に対し,F
L†を F
Lの持ち上げで,￠n
A
G
M(F
L†
)-F
L†
を満たすものとする (n-l
F2(P):
y
2
-x(
x-I)(x-(p↑)2)は Epの標準持ち上げを与える.このとき,W (
宇2
)＼
(
0)上の
F2
]
)
.主定理 1により,
関数 7
7(A)
:
-符￠
A
G
M(A)が存在して,
(
I
)2
W(
戸2
)＼
(
0)上で,1
7
(A)-C
･G(A)/G (￠A
G
M(
A)
)となる (Cはある Z2
×の元)
.
(
2)W (
戸2
)
×上で 1
7(A)は可逆となる.
(
3
)か(F
L↑
)刀(F
LY
)
q･
･
･乃(F
L↑
)
q
n
1は楕円曲線 E〟の単数根となる.但し U は Ga
l(Fn
/Q2)の Fr
o
be
ni
us
元である (Fn は Q2
上の n次不分岐拡大体)
.
-1
4-
論文審査の結果の要旨
算術幾何平均はごく素朴な数の遊びのような概念だが､Ga
us
sが楕円積分との関係を発見したことによ
り真剣な数学の研究対象となった｡この関係は､正確には実数体上定義された楕円曲線の周期が算術幾何
平均を用いて表せるということになる｡ここでいう算術幾何平均は､ (
正の)実数の組に対して (
実数の
位相を用いて)定義されるものを指しているが､その p-進類似を考えるのはごく自然である｡この類似
は Ta
t
e 曲線と呼ばれる楕円曲線 (
すなわち､分裂乗法的還元を持っ場合)では並行的に議論を進めるこ
n
ia
m
r
tと Me
s
t
r
eにより示されている｡ (
本博士論文の附録 A には､ほぼ同等な内容
とができることが He
a
i
ne の p-進周期の環を用いた現代的な取り扱いで解説されている｡
)
が Font
楕円曲線が良い還元を持つ場合は同様な理論を展開することはできない｡しかしながら､p-2の場合
r
r
e と Ta
t
e により導入された｢
標準持ち上げ｣と算術幾何平均を関係づけることができる｡こ
だけは Se
ud
r
yや佐藤孝和により基礎体が不分岐という条件のもとで考察されていたが､金城
のような理論は､Ga
謙作は宮坂宥憲と共同で分岐した場合を許す一般的な理論を構築した｡本博士論文の 2章ではこの結果が
解説されている｡
Dwo
r
k は楕円曲線の族から派生する p
-進微分方程式を考察することで､楕円曲線の単数根を p
-進超幾
何関数により表示するという素晴らしい結果を得たが､p-2の場合はさまざまな技術的な理由により除
外されていた｡金城は宮坂と共同で､Dwo
r
k理論の類似を p-2の場合に展開した｡ただし､ここで現れ
る超幾何級数は Dwo
r
k の扱ったものとは違うパラメーターを持っており､Dwo
r
k の理論の単純な移植
とは言えない内容を含んでいる｡また､この結果と 2章で導入された算術幾何平均を結びつけることがで
きる｡すなわち､フロベニウス写像の持ち上げとして算術幾何平均から導出される幕級数を採用すること
で､算術幾何平均･標準持ち上げ･超幾何級数･単数根がすべて結びつくのである｡このような現象が起
きうるのは p-2の場合だけであり､真に新しい現象を捕まえている｡これらが本博士論文 3章の内容で
ある｡
以上の通り､本博士論文は独創的な研究成果を豊富に含んでおり､筆者が将来に渡り自立して研究活動
を行うに必要な高度の研究能力と学識を有することを示している｡したがって､金城謙作提出の博士論文
は､博士 (
理学)の学位論文として合格と認める｡
-1
5-

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