第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』
Ritter-Weiss の同変岩澤理論について: レジュメ
■ 1. 非可換岩澤主予想の 2 つの定式化
([Ven13, p. 161 参照])
Ritter, Weiss の同変岩澤理論 equivariant Iwasawa theory
…Coates, 深谷, 加藤, Sujatha, Venjakob 等とは独立した (総実代数体の) 非可換岩澤理論
⇝ 記号, 用いられる概念が (かなり顕著に) 異なる (!!!)
の定式化 (1 次元 p 進リー拡大に対して) [CFKSV05], Burns-加藤
Ritter-Weiss
素数
[Kak13]
p ̸= 2
体の拡大
F∞ /F
K/k
ガロワ群
G = Gal(F∞ /F )
G = Gal(K/k) (1 次元 l 進リー群)
円分 Zp 拡大
F cyc
k∞
円分 Zp 拡大のガロワ群
Γ = Gal(F
l ̸= 2
cyc
/F )
cyc
Γk = Gal(k∞ /k)
残りの部分
H = Gal(F∞ /F
岩澤代数の局所化 その 1
Λ• (G)
岩澤代数の局所化の完備化
Λ(G)S
\S = Λ(G)∧
Λ(G)
S
岩澤代数の局所化 その 2
Λ(G)S ∗
Q(G) = Q(Λ(G)) (全商環)
有限素点の有限集合
Σ
S
相対グロタンディーク群
K0 (Λ(G), Λ(G)S )
K0 T (Λ(G))
eS)
℧ = ℧S (= ℧
)
H = Gal(K/k∞ ) (有限!!)
Λ∧ (G)
代数的対象
CΣ (F∞ /F ) (セルマー複体)
解析的対象
ζF∞ /F
※ l 進 L 関数 LK/k は Hom∗ の元
Zp [[Conj(G)]]
T Λ(G)
整対数の「行き先」
Θ, λF∞ /F (“擬測度”)
表 1 [CFKSV05] の定式化と Ritter-Weiss の論文の記号の対応表 (Venjakob 作成)
両者の定式化の間に見られる特に目を引く違い;
- ℧ 不変量 v.s. セルマー複体 RHom(RΓ´et (SpecOF∞ [1/Σ], Qp /Zp ), Qp /Zp )
前者は Gruenberg の変換関手 translation functor を用いた極めて “代数的な構成”
……定義は (複体等を用いないため) “分かり易い” が、その意味合いは若干捉えにくい (?)
- Hom 表記 v.s. 値写像 evaluation map Φρ
¨ lich が群環のイデール類群 (因子類群) を記述する際に用いた表記
前者はもともと Fro
(仮想指標 virtual character の空間上の関数を記述).
※ [RW11] でも 「µ = 0」の仮定の下で 同変岩澤主予想を証明していることに注意。
–1–
Ritter-Weiss の同変岩澤理論について
■ 2. 同変岩澤理論の基本設定 以下 「µ = 0」 を仮定する。
※ なるべく記号は Ritter-Weiss の記号と合わせるが、流石に素数の記号 (p と l) や体の記
号 (F と k 等) も今までのものと変えてしまうと混乱の原因となると思われるので、基本的な概
念に関してはこれまでの講演で用いられていたものと統一させていただきます。
F : 総実代数体,
Σ: 無限素点と p 上の素点を全て含む F の素点の有限集合
F∞ /F : 1 次元副 p p 進リー拡大 (簡単のため副 p に限る)
MΣ /F∞ : Σ の外不分岐な F∞ の最大副 p アーベル拡大
GΣ := Gal(MΣ /F ),
G := Gal(F∞ /F ),
XΣ := Gal(MΣ /F∞ ): “Σ-分岐岩澤加群”
1 次元 p 進リー群 G に対し，Λ(G ) := Zp [[G ]],
QG = Q(Λ(G )): Λ(G ) の全商環
Λ• G : Λ(G ) を法 p 還元が逆元を持つような中心的元のなす分母集合で局所化したもの*1
Λ∧ G : Λ• G の p 進完備化,
∆G := ker(Λ(G ) ↠ Zp ): 添加イデアル
■ 3. Ritter, Weiss の ℧ 不変量 (代数サイド)
自然な完全系列 0 → XΣ → GΣ → G → 1 に Gruenberg の変換関手を適用して，Λ(G)-加群の
完全系列
0 → XΣ → YΣ → ∆G → 0
を得る．ここで YΣ = ∆GΣ /∆(GΣ , XΣ )∆GΣ (但し，∆(GΣ , XΣ ) は自然な全射 Λ(GΣ ) ↠ Λ(G) の
核)．合成 YΣ ↠ ∆G ,→ Λ(G) を dYΣ と書く．
定理 ([RW02, Theorem 1]). YΣ の Λ(G) 上の射影次元は 1 以下．
今の設定 (つまり、G が 副 p であるとき) では、YΣ は Thong Nguyen-Quang-Do 等による (副
p 自由群によるレゾリューションを用いた) 構成と一致する。
K0 T (Λ(G)) を有限生成捩れ Λ(G)-加群で射影次元が有限のものなす圏のグロタンディーク群とす
る (これは相対グロタンディーク群 K0 (Λ(G), Q(G)) と一致する)。[CFKSV05] 式の定式化同様に、
K0 T (Λ(G)) の元として 同変岩澤理論の「代数的不変量」を構成したい。
ところが YΣ は (射影次元は有限であるが) Λ(G) 上 捩れ加群ではない ので、YΣ を用いて
K0 T (Λ(G)) の元を構成するためには少し修正を加える必要がある．
Ψ : Λ(G) → Λ(G) を，ψ˜ := dYΣ ◦ Ψ が単射となるように適当に選ぶ [RW02, p. 135];
0
/ Λ(G)
Ψ
/ YΣ
dY Σ
0
/ Λ(G)
˜
ψ
/ Λ(G)
/ Coker Ψ
/0
/ Coker ψ˜
/ 0.
この修正により Coker Ψ, Coker ψ˜ は捩れ Λ(G)-加群となる．
*1
Venjakob の標準オーレ局所化 Λ(G)S と同じものになる。
–2–
第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』
e Σ) を
定義 (Ritter-Weiss の ℧ 不変量*2 , [RW04, p. 563]). 不変量 ℧Σ ([RW04] では ℧
˜
℧Σ := [Coker Ψ] − [Coker ψ]
∈ K0 T (Λ(G))
で定める．
これは Ψ の取り方に依らない不変量．µ = 0 の仮定の下では K0 (Λ(G), Λ• (G)) の元となること
も容易に従う [RW06, Section 1]．
命題 ([Ven13, Proposition 3.1] または [Ni13, Theorem 2.4]). 複体 Coker Ψ → Coker ψ˜ はセ
ルマー複体 RHom(RΓ´et (Spec OF∞ [1/Σ], Qp /Zp ), Qp /Zp ) と擬同型となる。
つまり 代数サイドの不変量は [CFKSV05] も同変岩澤理論も等価 (!)
¨ lich 型 の Hom 表記と p 進 L 関数
■ 4. Fro
(解析サイド)
G∼
= H ⋊ Γ, H は有限 p 群, Γ = ⟨γ⟩ ∼
= Zp (位相的生成元 γ を固定)
Irrp (G): 位数有限の Qcp -値既約指標のなす集合*3
Rp (G): 位数有限の Qcp -値仮想指標 (virtual character) のなす群
Qc (Γ) = Frac(Λ(Γ) ⊗Zp OQcp ),
Qc∧ (Γ) = Frac(Λ∧ (Γ) ⊗Zp OQcp )
既約指標が (W ) 型 ⇔ ResG
ρ : G → Qc,×
p
H (ρ) = idH .
¨ hlich の “Hom-表記” (野村次郎さんの講演を参照) を 1 次元 p 進リー群の場合に
Albrecht Fro
拡張するために、Ritter と Weiss は以下の様な「Hom∗ 空間」を導入した。
∗
定義. Hom (Rp (G), Qc (Γ)× ) を、群準同型 f : Rp (G) → Qc (Γ)× で以下の条件 (i), (ii) を満
たすもの全体とする;
(i) (W ) 型指標 ρ に対して，f (χ ⊗ ρ) = ρ♯ (f (χ)).
但し ρ♯ : Qc (Γ) → Qc (Γ) は, γ 7→ ρ(γ)γ の線型拡張 (“ρ 捻り”)
(ii) σ ∈ Gal(Qcp /Qp ) に対し f (χσ ) = f (χ)σ .
(左辺には χσ (g) = (χ(g))σ ,
χ ∈ Irrp (G) で作用し，右辺には係数に作用)
此処で χ ∈ Irrp (G) に対し Det([P, α])(χ) := detQc (Γ) (α | HomQcp [H] (Vχ , PQcp )) と定めると (但
し Vχ は χ の表現空間), この対応は写像
Det : K1 (Q(G)) → Hom∗ (Rp (G), Qc (Γ)× ); [P, α] 7→ [χ 7→ Det([P, α])(χ)]
を誘導する [RW04, Theorem 8].
既約指標 χ ∈ Irrp (G) をとり，
{
Hχ (T ) :=
1 − χ(γ)(1 + T ) H ⊆ ker χのとき,
1
それ以外
ギリシア文字のオメガ Ω をひっくり返したこの記号 ℧ は、
「モー (または ムオー) Mho」
、
「アゲモー Agemo」等と読
まれる。これは、
「オーム Ohm」「オメガ Omega」を逆から読んだもの (2014 年 9 月 4 日加筆)。
*3 Qc は Qp の (固定した) 代数的閉包 (Ritter-Weiss の記法に合わせました)。
p
*2
–3–
Ritter-Weiss の同変岩澤理論について
`s, Barski 等の仕事 (+ ブラウアーの誘導
と定める．すると，Deligne, Ribet, Cassou-Nogue
定理) に依り，各 χ ∈ Irrp (G) に対してローラン羃級数 Gχ,Σ (T ) で, [F (µp ) : F ] で割り切れる正の
偶数 k に対して
LΣ (1 − k, χ) =
Gχ,Σ (κkcyc (γ) − 1)
Hχ (κkcyc (γ) − 1)
を満たすものが一意に存在 (κcyc : Gal(F (µp∞ )/F ) → Z×
p は p 進円分指標)．
babababababababababababababababababab
LF∞ /F,Σ を関数
LF∞ /F,Σ (χ) =
Gχ,Σ (γ − 1)
Hχ (γ − 1)
として定めることで，Hom∗ (Rp (G), Qc (Γ)× ) の元として 同変 p 進 L 関数 equivariant
p-adic L-function が構成出来る (!!!)
予想 (Ritter-Weiss の同変岩澤主予想*4 ). K1 (Q(G)) の元 ΘΣ で，Det(ΘΣ ) = LF∞ /F,Σ か
つ ∂(ΘΣ ) = ℧Σ を満たすものが唯一つ存在する．
注: Det : K1 (Q(G)) → Hom∗ (Rp (G), Qc (Γ)× ) は全射からはかけ離れているため，LF∞ /F,Σ が Det
の像に含まれるかどうかが Ritter-Weiss のアプローチに於いては (唯一の) 重要な課題となる。
⇝
Burns-加藤のアプローチと比較してみよう．
■ 5. 対数的擬測度の整性と捩れ合同式
([RW08a] 参照)
Ritter-Weiss の手法と加藤和也等の K1 (Λ(G)) の計算の類似点: 整対数準同型の利用
……但し 使われ方がかなり異なる (!!)
Ritter, Weiss は「Hom∗ 空間」に整対数準同型を導入 するために、以下の 「HOM∗ 空間」を
導入した。
定義. HOM∗ (Rp (G), Λc∧ (Γ)× ) を，関数 f : Rp (G) → Λc∧ (Γ)× で Hom∗ の定義に現れた条件
(i), (ii) と 合同条件
f (χ)p ≡ Ψf (ψp (χ))
mod pΛc∧ (Γ)
(♣)
を満たすものとして定義する．但し Ψ : Λc∧ (Γ) → Λc∧ (Γ) は γ 7→ γ p の線型拡張で， ψp は p-ア
ダムス作用素 ψp (χ)(g) := χ(g p ).
*4
Ritter と Weiss は、
「同変岩澤理論の “主予想” the “main conjecture” of equivariant Iwasawa theory」という
様にダブル・クオーテーションマーク付きの表記でこの意味での岩澤主予想を表現している (2014 年 9 月 4 日加筆)。
–4–
第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』
※ Det(K1 (Λ∧ (G))) は HOM∗ (Rp (G), Λc∧ (Γ)× ) の部分群 [RW06, Proposition 4] (Snaith の定理
の一般化).
※ アーベル拡大の場合のセールの擬測度の存在と Snaith の「明示的ブラウアー誘導理論」 (を改
良したもの) を併せることで，LF∞ /F,Σ も HOM∗ (Rp (G), Λc∧ (Γ)× ) の元となることが従う [RW06,
Corollary of Theorem 9].
定理 ([RW06, Theorem B∧ ]). 以下が成立;
Det(K1 (Λ∧ G)) ∩ Hom∗ (Rp (G), Λc (Γ)× ) ⊆ Det(K1 (Λ(G))).
⇝ LF∞ /F,Σ ∈ Det(K1 (Λ∧ G)) のみから自動的に主予想が従う．
同変岩澤主予想の証明の鍵となるのは、次の可換図式 [RW06, Proposition 11]; 代数 R に対して
リー代数としての交換子積での商を T R := R/[R, R] と書くとき，
babababababababababababababababababab
K1 (Λ∧ G)
∃!
L
/ T Λ∧ G
/ T Q∧ G
≃ Tr
Det
HOM∗ (Rp (G), Λ∧ (Γ)× )
L
/ Hom∗ (Rp (G), Qc∧ (Γ)),
但し Tr([g]) := [χ 7→ traceQc∧ (Γ) (g | Vχ )] (g ∈ G), L(f )(χ) =
1
f (χ)p
log
.*5
p
Ψf (ψp (χ))
※ L は Oliver-Taylor の整対数準同型の「Λ(G) の局所化 Λ• (G) (の完備化)」K1 (Λ∧ (G)) への
拡張。[Kak13] 等 Burns-加藤の手法を用いた論文に於いてはこの様な拡張を直接構成していたが、
Ritter と Weiss の論文では 整対数準同型の「HOM∗ 空間」への拡張 L を用いて構成しているの
である*6 。
定義 (対数的擬測度). Tr(tF∞ /F ) = L(LF∞ /F,Σ ) を満たす一意的な元 tF∞ /F ∈ T Q∧ G を 対数
的擬測度 logarithmic psedomeasure と呼ぶ．
※ もし LF/∞/F,Σ が Det(Θ) = LF∞ /F,Σ と書けるならば、上の可換図式から L(Θ) = tF∞ /F とな
るため、(L の整性から) tF∞ /F ∈ T Λ∧ (G) (つまり対数的擬測度の 整性) が従う。或る意味でその
“逆” も成り立つことを主張したものが次の定理。
*5
*6
L(f ) の well-definedness 及び L, L の整性は合同条件 (♣) に拠る．
2014 年 9 月 4 日加筆修正。
–5–
Ritter-Weiss の同変岩澤理論について
定理 ([RW08a, Theorem]). LF∞ /F,Σ が Det(K1 (Λ∧ G)) に含まれるための必要十分条件は以
下の 2 条件が成り立つこと;
I) (対数的擬測度の整性) tF∞ /F ∈ T Λ∧ G;
II) (捩れ合同式 torsion congruence) 任意の Z(G) ⊆ U ⊆ U ′ ⊆ G で U : アーベル,
(U ′ : U ) = p なる組に対して，セールの擬測度間の合同式
U
U ≡ verU
ξF∞ /F∞
′ ab
ξF [U ′ :U ′ ] /F U ′
∞
∞
mod trU ′ /U Λ∧ U
′
U
が成立する (trU ′ /U Λ∧ U = Im(σU
) は “トレース・イデアル”)．
(⇐) の証明の方針. 条件 Ⅰ) から、K1 (Λ∧ (G)) の元 y で L(y) = tF∞ /F , delf G
Gab (y) = ζF [G,G] /F を
∞
満たすものが構成出来る (簡単な図式追跡)。
w = Det(y)−1 LF∞ /F,Σ とおく (w は LF∞ /F,Σ と Det(y) との「ずれ」*7 )。このとき w は捩れ元
であることが従う。w = 1 であることを示すために、Wall の合同式 (ノルム元に対する [Kak13] の
条件 (M3)) と捩れ合同式 (条件 Ⅱ)) を用いる。
(講演ではもう少し丁寧にやります)
※ 「捩れ合同式」 の条件は、[Kak13] の条件 (M3) (或いは基本合同式 (BC1)) に他ならない。
※ 捩れ合同式は [RW08b, Theorem] で証明された．この結果を元に Ritter, Weiss は G が指
数 p のアーベル群 A を含むときに同変岩澤主予想を証明している [RW08c, Theorem]。その際に、
整対数準同型 L に対してノルム写像と可換になる様に修正された 「制限写像」 Res を導入してお
り*8 、これも Ritter-Weiss の手法の主要な道具となっている。
また，[RW08b] の手法は Kakde 等の合同式の導出にも本質的に応用されている．
※ 擬測度の整性については対偶証明法 contrapositive を用いる; 極大アーベル部分群 A ⊆ G に対し
deflG
Gab (t) = tF [G,G] /F ,
∞
A
ResG
A (t) = tF∞ /F∞
を満たす t ∈ T Λ∧ G を構成し，これをこれを用いて矛盾を導く (一意性原理 [RW11, Lemma 6.3]
が鍵)．
なお、斯様な t の構成には，ホワイトヘッド群のノルム (制限) 写像に関するウォールの合同式を
¨ bius-Wall の合同式 Mo
¨ bius-Wall congruence [RW11, Theorem 2] 及びその
一般化した Mo
擬測度版 [RW11, Theorem 3] を比較することが本質的であり、[RW08a, Proposition 3.2] (または
[Ven13, Theorem 5.2]) の議論を (G : A) が一般の p 羃のときに拡張した形となっている。
¨ bius-Wall の合同式及びその使われ方を紹介し、その後どのような議論を経て
講演では、Mo
tF∞ /F の整性を示すかについて、アイデアが分かる程度に解説する予定です。
*7
*8
Burns-加藤の手法と比較してみよう
当然通常のトレースではない!!
–6–
参考文献
第 22 回整数論サマースクール『非可換岩澤理論』
参考文献
[CFKSV05] John Henry Coates, Takako Fukaya, Kazuya Kato, Ramdorai Sujatha and
Otmar Venjakob, The GL2 main conjecture for elliptic curves without complex multipli´
cation, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes
Sci., 101, 163–208 (2005).
[Kak13] Mahesh Ramesh Kakde, The main conjecture of Iwasawa theory for totally real fields,
Invent. Math., 193, no. 3, 539–626 (2013).
[Ni13] Andreas Nickel, Equivariant Iwasawa theory and non-abelian Stark-type conjectures,
Proc. Lond. Math. Soc., (3) 106, no. 6, 1223–1247 (2013).
[RW02] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Toward equivariant Iwasawa theory, Manuscripta
Math., 109 (2002) 131–146.
[RW04] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Toward equivariant Iwasawa theory: Ⅱ, Indag. Math.
(N.S.) 15 (2004) 549–572.
[RW05] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Toward equivariant Iwasawa theory: Ⅳ, Homology,
Homotopy Appl., 7 (2005) 155–171.
[RW06] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Toward equivariant Iwasawa theory: Ⅲ, Math. Ann.,
336 (2006) 27–49.
[RW08a] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Non-abelian pseudomeasures and congruences between abelian Iwasawa L-functions, Pure Appl. Math. Q., 4 (2008) no. 4, part 1, 1085–1106.
[RW08b] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Congruences between abelian pseudomeasures,
Math. Res. Lett., 15 (2008) no. 4, 715–725.
[RW08c] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, Equivariant Iwasawa theory: an example, Doc.
Math., 13 (2008) 117–129.
[RW11] J¨
urgen Ritter and Alfred Weiss, On the “main conjecture” of equivariant Iwasawa
theory, J. Amer. Math. Soc., 24 (2011), no. 4, 1015–1050.
[Ven13] Otmar Venjakob, On the work of Ritter and Weiss in comparisom with Kakde’s approach, in: Noncommutative Iwasawa Main Conjectures over Totally Real Fields, Springer
Proceedings in Mathematics and Statistics, 29 (2013), 159–182.
–7–
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