E(r)

Ｑ：
Ａ：指摘ありがとう。それで良いです。問題は「電場の強さを求めよ」ですので、ベクトルで答える必要はあ
りませんし、ベクトルで答えるにしても、
E(r) = E(r)×
Q r
r
=
r 4πε0r2 r
ですね。
Ｑ：
Ａ：度々すみません。マイナスはいりません。もう少し落ち着いてやります。
プリントについて：もう一度聞きます。どれかに手を挙げて下さい。
①冊子状 ②どちらでも ③今のまま ④その他
Ａ：このコメントで気付かされました。帯電していると互いに反発して広がっていく。
シャボン玉を飛ばすだけで帯電しているか、帯電していないか違いがわかる。
この学生さんは、それをいいたかったのかな。
実験①：普通にシャボン玉を飛ばす。
実験②：帯電している状態でシャボン玉を飛ばす。①と違いはあるか？
超常現象（紹介可のもののみ）
・好きな女の子が夢に出てきました。
・宇宙人を見たことがあります。
・シャンプーをして目をつむっていると後ろに誰かいる気がします。
・友達が心霊スポットで写真を撮ったら、ある人の手の指が６本になっていました。
・寝ておきたらかなしばりにあっていました。（今日の１限）
第３回（１０／２１）０ページ
他にも何かあったら
出席票に書いて
おいて下さい。
重力（万有引力）への応用
クーロン力
F=
1
4πε0
万有引力
q1q2
r2
F=G
重力
定数
定数
電荷
電気力
電場
F = qE
m1m2
r2
質量
万有引力（重力）
重力加速度
対応関係
F = mg
対応関係で読み替えると・・・
球対称な電荷分布が点 r につくる電場は、
半径 r の球面内にある全電荷が
原点（中心）にあるとした場合の電場に等しい
球対称な質量分布が点 r につくる重力加速度は、
半径 r の球面内にある全質量が
原点（中心）にあるとした場合の重力加速度に等しい
電場のガウスの法則の結論
E(r) =
これまで証明してなかった。
1 Qin
4πε0 r2
g(r) = G
Min
r2
Min に地球の質量、 r に地球の半径を入れると 9.8 になる
地球の表面の重力加速度は、地球の全質量が地球の中心にあるとした場合に等しい
（地球の質量分布はほぼ球対称である）
前回７頁の問題の E(r) の関数の形は、地球の半径を R としたときの重力加速度の変化を示している
（地球の密度は一定でなく、中心の方が大きいので、実際の関数の形は多少異なる）
問題：球殻状の惑星があったとする（ピンポン玉のように中が中空）。
惑星（球殻）の内部の重力（重力加速度）はどうなっているか？
第３回（１０／２１）１ページ
P202例４参照
（前回プリントＰ６）
ガウスの法則： ΦE = ∬Ｓ En dA =
Qin
ε0
② 無限に広くて薄い絶縁体の板に電荷が一様に分布している場合
E
E
EB
EA
面に水平な成分は
打ち消しあう
垂直な成分
だけが残る
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
E
B
A
（ 1 m2 あたり σ クーロン）
（ 1 m2 ）
単位面積あたりの電荷（電荷の面密度）を σ とすると
単位面積から出ている電気力線の数は、ガウスの法則より
このうち半分の
σ
ε0
σ
σ
は上方へ、半分の
は下方を向いている
2ε0
2ε0
点電荷の電場の式
電場は単位面積あたりの電気力線の数なので、
E=
σ
2ε0
E(r) =
Q
r
4πε0r2 r
から出すのは、困難
次の場合の電気力線の様子を描き、電場の強さを求めよ。（板は無限に広くて薄い板、電荷の面密度は+σ, －σ ）
（１）
（２）
（３）
－－－－－－－－－－－－－－－－
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－－－－
第３回（１０／２１）２ページ
③ 無限に長い直線に電荷が一様に分布している場合
1m
電荷の線密度（単位長さあたりの電荷量）をλ とする。
横から見た図
単位長さの直線には電荷 λ が存在する。
λ
λ の電荷からはガウスの法則より、電気力線が ε 本出ている。
0
直線を中心とする単位長さの円筒（半径 r ）の側面の表面積は 2πr
円筒から出ている電気力線束ΦEは、
λ
ΦE = ∬Ｓ EndA = En∬Ｓ dA= E(r)×2πr = ε
上から見た図
半径 r
E(r) =
0
λ
2πε0r
（ En = E(r) ）
③’ 無限に長い半径 R の円柱に電荷が一様に分布している場合
（線でなく円柱の場合）
単位長さあたりの円柱の電荷量を λ とすると
円柱の外側（ r > R ）の電場 E(r) は、上の結果と全く同じ
円柱の内側（ r < R ）では、λ の代わりに
半径 r の円柱の内部にある単位長さあたりの電荷量を使う。
E(r) =
λr
2πε0R2
λ
r2
R2
内部にある電荷の割合：
問題：上の無限に長い半径 R の円柱の単位体積あたりの電荷密度を ρ としたとき、
r < R における電場の強さ E(r) を ρ を用いて表せ。（同じ状況だが、λ でなく ρ を用いる）
第３回（１０／２１）３ページ
πr2
πR2
面積比
16.5 電位（p203）
（復習）保存力と位置エネルギー
保存力とは、質点が任意の点Aを出発して任意の点Bに行く間に、
力の行う仕事が途中の経路によらず一定な力である。
A
経路１
保存力
B
WA
B
= ∫ F保(r)・ds は経路によらず一定
A
例：万有引力
経路２
B
クーロン力（電気力）は万有引力と同じ形なので保存力
問題：ＡからＢまでの経路を質量 m の質点が移動する。
経路１と経路２において重力のする仕事を求めよ。ただし、重力加速度の向きは、図のようになっている。
W = F・s = Fs cosθ
A
g
経路１
60°
h
経路３
B
位置 r における保存力による位置エネルギーとは、
r から基準点 r0（位置エネルギーが 0 の点）に移動するときに保存力がする仕事のことである。
（取り出せるエネルギー）
エネルギー：仕事をする能力
上の問題で点Ｂを基準点にすると、点Ａにある物体の重力による位置エネルギーは mgh
（保存力がする仕事は、経路によらず一定なので位置エネルギーが定義できる）
保存力：位置エネルギーが定義できる力ともいえる
r0
U(r) =
∫ r F保(r) ・ds
エネルギー：仕事をする能力（基準点に戻る時に保存力は U(r) の仕事をすることができる。）
第３回（１０／２１）４ページ
万有引力
F = －G
クーロン力
m1m2 r
r2
r
F=
q1q2 r
r2 r
1
4πε0
定数
定数
万有引力による位置エネルギー
m1
r
クーロン力による位置エネルギー
q1
m2
力（保存力）が
同じ形なら
位置エネルギーも
同じ形
mm
U(r) = －G 1 2
r
U(r) =
r
q2
1
4πε0
q1q2
r
クーロン・ポテンシャル（クーロン・エネルギー）
（電気力による位置エネルギー）
どちらも r = ∞（２つの質点, 点電荷が無限に遠く離れた時）が基準点（U = 0）
電荷が異符号の場合は引力，位置エネルギーは負
電荷が同符号の場合は反発力，位置エネルギーは正
重力は常に引力，位置エネルギーは負
電気力, 万有引力による位置エネルギーの基準点は、必ずしも無限遠でなくてもよい。（例：重力の基準点を床の上にする）
問題：下の図のように電荷 q1 が原点 O に固定されており、電荷 q2 が x = r にある。この状態から
電荷 q2 が無限遠（ x = +∞）まで移動するとき、クーロン力が電荷 q2 にする仕事 W はどれだけか。
q1
q2
O
q1q2
r
（クーロン力）
F(x) =
4πε0x2
x
位置 r における位置エネルギーとは、r から基準点 r0（この場合は無限遠）に移動するときに保存力がする仕事のことである。
第３回（１０／２１）５ページ
３つ以上の電荷が存在する時のクーロン・ポテンシャル
電気力 F は重ね合わせの原理が適用できる。 → クーロン・ポテンシャルにも適用できる。
（電気力による位置エネルギー）
（電場も重ね合わせの原理が適用できる）
例５：ヘリウム原子（p204）
原子核と電子が左の図のような位置関係にあるときの全体のクーロン・ポテンシャルを求めよ
（電気力による位置エネルギー，クーロン・エネルギー）
電子１
－e
r12
－
電子2
－e
r1
－
r2
＋
+2e
He原子核
電荷が互いに無限に遠く離れた状態が基準点（U = 0）
基準点以外の
任意の２地点を電荷Qが移動する場合に電気力が行う仕事と位置エネルギー
A
保存力はどんな経路を通っても同じ
∞
∞
UA = WA→∞ =∫ A F･ds
A
WP→A = ∫ P F･ds + ∫ ∞ F･ds
∞
∞
基準点 U = 0
∞
= ∫ P F･ds － ∫ A F･ds
∞
= UP － UA
UP = WP→∞ =∫ P F･ds
P
保存力の行う仕事は、位置エネルギーの差に等しい
位置エネルギーの差の分だけ、保存力は仕事ができる。
電気力に限らず、すべての保存力について成り立つ
位置エネルギーU(r)は、
電荷 Q が点 r から基準点（∞）に移動するときに電気力 F が行う仕事
Ａ
E
∆s
E・ds = E ds cosθ = Etds
W = F・s
E
E
θ
WP
Et
A
=∫
A
P
F ・ds = ∫
Ｐ
電場 E の経路の接線方向成分
Et = Ecosθ
第３回（１０／２１）６ページ
A
P
QE・ds = ∫
A
P
QEtds = UP－UA
電位
電位：単位正電荷（1C）あたりの電気力による
電位 V =
WP
A=
U
Q
A
A
位置エネルギー
単位はボルト[V , J/C]
U = QV
A
∫ PF ・ds = ∫ P QE・ds = ∫ P QEtds = UP－UA = Q(VP－VA)
位置エネルギーの差
電荷QがPからQまで移動するときに
電気力がする仕事
電位の差に
Qをかけたもの
A
A
∫P
をQで割ると
E・ds =
∫ P Etds = VP－VA
Ａ
E
点Ｐと点Ａの電位差
： Et を経路に沿って積分したもの
Et
VP > VA なら、点Pは点Aより電位が高い
VP < VA なら、点Pは点Aより電位が低い
Ｐ
といい、
という。
例題：一様な電場 E 中に点電荷 q （ q > 0 ）がある。
① 点Pにある電荷 q に働く電気力の大きさはいくらか。
またその向きを図中に示せ
E
② 物体が位置 P から A に移動するとき、電気力がする仕事はいくらか？
Ａ
d
③ 点Pにおける電荷 q の位置エネルギー UP と
点Aにおける位置エネルギー UA ではどちらがどれだけ大きいか？
Ｐ
位置エネルギーも電位も
差を議論する場合は
基準点は関係ない。
③④では基準点に言及してないが
解答には必要ない。
E=
④ 点Pの電位と点Aの電位ではどちらがどれだけ大きいか？
VP－ VA
d
1m
電場 E は電位 V の勾配（単位長さあたりの電位Vの変化）になっている。
電場の単位は [ V/m ]。[ N/C ] でもよい。（ F = qE ）
上の図のような場合
（電場と移動方向が平行な場合）
第３回（１０／２１）７ページ
ハミルトンのはずみ車（ハミルトンの電気飛車、ハミルトン・フライホイール）
ハミルトンのはずみ車
金属球
－20万ボルト
上から見た図
電圧は大きいが
感電しても
電流が小さいので安全？
金属の針金が
図のような形を
している。
セーターを脱いだ時等の
静電気も同様な高電圧
スイッチを入れると矢印の向きに回転する。
なぜ回転するか考えてみて下さい。
答えは次回が次々回に解説する。
実験２：ボンボンの実験
実験３：バンデ・グラーフ発電機で蛍光灯を点灯させてみる。
①電極を持ってやってみる。
問題：より安全に（演者にとって）実験を行うにはどのような工夫が有効か？
②問題：電極を持たずに、蛍光灯の途中を持って実験するとどうなるか？
第３回（１０／２１）８ページ
学生番号：
氏名：
この授業に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。
また、不思議に思っていることや、面白い物理の情報等があったら何でも書いて下さい。
第３回１０月２１日
学生番号：
氏名：
この授業に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。
また、不思議に思っていることや、面白い物理の情報等があったら何でも書いて下さい。
第３回１０月２１日

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