第 6 章曲面に作用する水圧の合力−鉛直成分
第6章
曲面に作用する水圧の合力−鉛直成分
1. 幅 5.00m の水路に図のような半径 r=4.00m のテンターゲートを設置し水を塞き止めたとこ
ろ水深がテンターゲートの半径の 1/2 になった。この状態でテンターゲートに働く水圧の合
力 P の水平成分 Px 、鉛直成分 Pz 、およびその作用点位置を求めよ。
A
O
3.0
r=
h
0m
60º
E
zc
B
Mg
Px
h
b
C
D
xc
Pz
すなわち、水塊の質量を M とすると、
解答図のように記号を定める。圧力の分布
図より、曲面 BD に働く水圧の合力 P の鉛直
成分 Pz は鉛直上向きに働く。図の BED(図中
青色の部分）を断面として奥行き b(=5.00m)
の領域の水隗（水柱）を考えると、静止流体
中の水塊であり、力が釣り合っている。鉛直
方向の力は水塊に働く重力と水塊の底面 (曲面
BD) に働く全水圧 P の鉛直成分 Pz の２つで
ある。この２つの力は大きさが等しく、逆向
きで、水塊の重心を通る鉛直線上に作用する。
M g = Pz
が成り立つ。断面 BED の面積を Az とすると、M = ρAz b であり、この領域の断面積 Az は
扇型 OBD から三角形 OEB の面積を差し引いて求められる。
! 2
"
πr
1
Pz = M g = ρ
− h × r sin 60° bg = 240.76 × 103 ! 241kN 鉛直上向き
6
2
圧力による力は面に垂直に作用し、円弧である曲面 BD では、すべての圧力による力は円の
中心へ向かう。よって全水圧 P も円の中心に向かって作用し、円の中心 O 回り (紙面に垂直
な軸回り) のモーメントは作用しない。これを水平・鉛直成分を用いて表すと
Px × (OE + zC ) − Pz × xC = 0
これより xC をもとめると（Px と zC は前回の解答を用いる）
xC =
Px × (h + zC )
98.0 × (2.00 + 1.33333)
=
Pz
240.76
= 1.3568 ! 1.36m
D 点から水平左向きに
Ans. 水平成分 Px = 98.0kN(右向き) 鉛直成分 Pz =241kN (上向き)
水平成分の作用点位置 zC = 1.33m(水面から鉛直下向きの距離)
鉛直成分の作用点位置 xC = 1.36m(D 点から左向き)
2. 図のような半径 3.00、幅 10.0m の中空半円型ドームにおいて、次の曲面に働く全水圧の水平
成分、鉛直成分、およびそれぞれの作用点位置を求めよ。また全水圧の大きさも示せ。
(a) 曲面 AB
(b) 曲面 ABC
第 6 週目解答
20
水理学 a 演習の解答 2014 年度
A’
B’
A’
B’
Pz
Gz
B
zc
Px
xc
A
5.00m
P
Mg
r=
3.00m
O
Pz’
C
A
B
曲面 AB
先週に示した圧力の分布図より、曲面 AB に働
く水圧の合力 P の鉛直成分 Pz は鉛直下向きに
働く。図の AA’B’B(図中赤色の部分）を断面と
して奥行き b(=10.0m) の領域の水柱を考える。
この水柱は静止流体中の水塊であり、力が釣り
合っている。鉛直方向の力は水柱に働く重力と水
柱の底面 (曲面 AB) に働く外部の水による圧力
のよる力の鉛直成分 Pz!（上向き）の２つである。
この２つの力は大きさが等しく、逆向きで、水塊の重心を通る鉛直線上に作用する。すなわ
ち M g = Pz! 、ここで M は水柱の質量である。また、Pz! と求めたい Pz は同じ曲面の裏表に
働く全水圧の鉛直成分であり、両者は大きさが等しく、向きは逆である。Pz = Pz! 。以上のこ
とより、求めたい鉛直成分 Pz は曲面 AB を底とし、点 A および点 B から鉛直に切った水の
柱の受ける重力 M g の大きさに等しく、下向きに作用する。
!
"
π × 3.002
Pz = M g = 1000 × 9.8 × 10.0 × 5.00 × 3.00 −
4
= 777.28 × 103 ! 777kN
圧力による力は面に垂直に作用し、円弧である曲面 AB では圧力による力はすべて円の中心
へ向かう。よって全水圧 P も円の中心に向かって作用し、中心 O 点回りのモーメントは 0 に
なる。水深を h(=5.00m) とすると
Pz × xC − Px × (h − zC ) = 0
これより xC を求めると (Px 、zC は先週の結果を参照)
Px × (h − zC )
1.029 × 103 × (5.00 − 3.714)
=
= 1.702 ! 1.70m
Pz
777.28
#
全水圧の大きさ P は、P = Px2 + Pz2 = 1289.6 ! 1.29 × 103 kN
xC =
Ans.
水平成分 Px = 1.03 × 103 kN(右向き)
O 点から左向き
鉛直成分 Pz = 777kN(下向き)
鉛直成分の作用点位置 xC = 1.70m(O 点から左向き)
水平成分の作用点位置 zC = 3.71m(水面から下に)
全水圧の大きさ P = 1.29 × 103 kN
曲面 ABC
曲面 ABC の右側半分の曲面 BC に作用する水圧の合力の水平成分は曲面 AB の水平成分と大
きさが等しく、作用方向が逆である。したがって、曲面 ABC に働く水圧の合力の水平成分は
その合力であるから、Px = 0 となる。作用点位置を考えることは意味がない。
第 6 週目解答
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第 6 章曲面に作用する水圧の合力−鉛直成分
鉛直成分については曲面 AB に働く鉛直成分と曲面 BC に働く鉛直成分は同じ大きさで向き
も等しいので、曲面 AB に働く鉛直成分の 2 倍の大きさになる。
Pz = 2 × 777.28kN = 1.554 × 103 kN
Ans.
鉛直成分 Pz = 1.55 × 103 kN
作用点位置は水の柱の重心位置と同じ鉛直線上、すなわち O 点を通る鉛直線上に下向きに Pz
が作用する。
3. 図のような中空円筒 (半径 4.50m、長さ 8.00m) の曲面 ABC に働く全水圧の水平成分 Px 、鉛
直成分 Pz とそれぞれの作用点位置 zC 、xC を求めよ。また、全曲面 ABCDA についても同
じ諸量を求めよ。
曲面 ABC
曲面を AB と BC に分けて考えるa 。まず曲面 AB に働
B’
A
MABg く全水圧の鉛直成分 PzAB について、左の図のように考
PzAB r=4.50m
Pz’ AB
える。
B
D
O
曲面を分けるのは次のように考えれば良い。鉛直成分に関して
は B 点や D 点のようにその点の接線が鉛直になり、その上と下で鉛
直成分の向きが逆転する所で曲面を分ける。水平成分を考えるとき
は A 点や C 点のように接線が水平になる所で切り分ける。
a
C
問題 2 の曲面 AB と同様に曲面 AB を底とし、奥行き b(=8.00m) する水柱 (青色部分) を対象
として鉛直方向の力の釣り合いを考えると、曲面 AB に働く全水圧の鉛直成分 PzAB は、大
きさが水柱（質量を MAB とする）に働く重力 MAB g と等しく、鉛直下向きに働く。
!
"
πr2
2
PzAB = MAB g = ρ r −
bg
4
B’
B
A
r=4.50m
D
O
PzBC
C
PzBC
続いて曲面 BC に働く全水圧の鉛直成分 PzBC をもと
める。PzBC は左の図に青色で示した BCAB’ を断面と
する奥行き b(=8.00m)、質量 MBC の水柱に働く重力
MBC g と等しく、鉛直上向きである。
MBCg
PzBC
!
πr2
= MBC g = ρ r +
4
2
"
bg
曲面 ABC に働く全水圧の鉛直成分 Pz は曲面 AB に働く鉛直成分 PzAB と曲面 BC に働く鉛
直成分 PzBC の合力であるが、作用する向きが逆向きなので、大きさは差で求められる。明
らかに PzBC < PzAB であるので、求める曲面 ABC に働く全水圧の鉛直成分 Pz は鉛直上向
きに働く。
Pz = PzBC − PzAB = ρ
第 6 週目解答
πr2
bg = 2493.80 × 103 ! 2.49MN
2
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水理学 a 演習の解答 2014 年度
圧力による力は面に垂直に作用し、半円である曲面 ABC では圧力による力はすべて円の中心
へ向かう。よって全水圧 P も円の中心に向かって作用し、中心 O 点回りのモーメントは 0 に
なる。鉛直成分が中心 O から左向きに xC の位置に働くとして、中心 O 点回りのモーメント
を表わす。
Pz × xC − Px × (zC − r) = 0
これより xC を求めると (Px 、zC は先週の結果を参照)
xC =
Px
3175.2 × 103
× (zC − r) =
(6.00 − 4.50) = 1.9099 ! 1.91m
Pz
2493.8 × 103
Ans.
水平成分 Px = 3.1752 ! 3.18MN(右向き)
鉛直成分 Pz = 2.4938 ! 2.49MN(上向き)
水平成分の作用点位置 zC = 6.000 ! 6.00m(水面からの深さ)
鉛直成分の作用点位置 xC = 1.9099 ! 1.91m(円の中心から左へ)
曲面 ABCDA
Ans. 水平成分 Px = 0 鉛直成分 Pz = 4.9876 ! 4.99MN(上向き)
作用点 C は中心を通る鉛直線上
第 6 週目解答
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