極限-曲率半径-1 予習問題 曲線 y log x 上の点 P(t , log t ) (t 0) における法線を l とする(点 P での 法線とは、点 P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことである)。 ただし、 log x は自然対数である。 (s, log s) (s 0, s t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q とす る。 s が t に近づくとき、 Q の近づく点 Q の座標を求めよ。 (2) PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。 (1) 値替え問題 曲線 y x 上の点 P(t , t ) における法線を l とする(点 P での法線とは、点 2 2 P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことである)。 2 (1) ( s, s ) ( s t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q とする。 s が t に近づくとき、 Q の近づく点 Q の座標を求めよ。 (2) PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。 発展問題 関数 f (x) が、任意の x 、 y に対して f ( x y) f ( x) f ( y) xy (3x 3 y 2) 1 を満たし、 f (0) 1 であるとする。次の設問に答えよ。 (1) f (0) を求めよ。 (2) f (x) を求めよ。 (3) f (x) を求めよ。 極限-曲率半径-1 極限-曲率半径-2 予習問題 曲線 y log x 上の点 P(t , log t ) (t 0) における法線を l とする(点 P での 法線とは、点 P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことであ る)。ただし、 log x は自然対数である。 (s, log s) (s 0, s t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q とす る。 s が t に近づくとき、 Q の近づく点 Q の座標を求めよ。 (1) (2) PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。 (1)12点 まず l 、 l ' の方程式を求める。 y log x であるから導関数は次式となる。 y 1 x よって x t での法線の傾きは t であり、法線 l の方程式が求まる。 l : y log t t ( x t ) l : y tx t 2 log t 上式の t を s に置き換えたものが l の方程式である。 l : y sx s 2 log s 次に Q' 、Q の x 座標を求める。まず l と l ' を連立して Q の x 座標を得る。 tx t 2 log t sx s 2 log s (s t ) x s 2 t 2 log s log t log s log t ( s t ) s t この式の s t としたときの極限が点 Q の x 座標である。 x st log s log t 1 lim s t 2t (log x) x t 2t s t s t t (∵微分係数の定義より) これを l の式に代入すれば Q の y 座標も求まる。 1 y t 2t t 2 log t t 2 1 log t t 以上より座標は次のようになる。 1 Q 2t ,t 2 1 log t t (2)8点 2 (1)より PQ を t で表すことができる。 2 1 PQ 2t t (t 2 1 log t log t ) 2 t 2 t2 2 1 1 t 4 2t 2 1 t 4 3t 2 3 2 2 t t これを f (t ) と定め、その増減を調べる。 極限-曲率半径-2 極限-曲率半径-3 f (t ) 4t 3 6t 2 4t 6 6t 4 2 2(t 2 1) 2 (2t 2 1) t3 t3 t3 よって f (t ) の増減は次表のようになる。 t ・・・ 1/ 2 ・・・ f (t ) - 0 + 最小 f (t ) よって最小を与える t は t 0 2 となる。 2 予習問題―曲率半径 高速道路などで、次のような標識を見かけたことはないでしょうか? これは今走っている道路が、半径 300m の円と同じカーブであることを意味 しています。これを曲率半径と呼び、曲線のある点での曲がり具合を円の半 径で表したものです。当然曲率半径が小さくなればなるほどカーブはきつく なっていきます。点 Q が x s, t での法線の交点であることを考えると、 s t とすれば Q は曲率円の中心に近づいていくことがイメージできるで しょう。なお(2)は曲線 y log x 上で最もカーブがきついのが x であることを意味しています。 極限-曲率半径-3 1 2 の点
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