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極限－曲率半径－1
予習問題
曲線 y  log x 上の点 P(t , log t ) (t  0) における法線を l とする(点 P での
法線とは、点 P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことである)。
ただし、 log x は自然対数である。
(s, log s) (s  0, s  t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q  とす
る。 s が t に近づくとき、 Q  の近づく点 Q の座標を求めよ。
(2) PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。
(1)
値替え問題
曲線 y  x 上の点 P(t , t ) における法線を l とする(点 P での法線とは、点
2
2
P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことである)。
2
(1) ( s, s ) ( s  t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q  とする。
s が t に近づくとき、 Q  の近づく点 Q の座標を求めよ。
(2) PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。
発展問題
関数 f (x) が、任意の x 、 y に対して
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  xy (3x  3 y  2)  1
を満たし、 f (0)  1 であるとする。次の設問に答えよ。
(1) f (0) を求めよ。
(2) f (x) を求めよ。
(3) f (x) を求めよ。
極限－曲率半径－1
極限－曲率半径－2
予習問題
曲線 y  log x 上の点 P(t , log t ) (t  0) における法線を l とする(点 P での
法線とは、点 P における接線と垂直に交わる、点 P を通る直線のことであ
る)。ただし、 log x は自然対数である。
(s, log s) (s  0, s  t ) における法線を l ' とし、 l と l ' の交点を Q  とす
る。 s が t に近づくとき、 Q  の近づく点 Q の座標を求めよ。
(1)
(2)
PQ の値が最小となるような t の値 t 0 を求めよ。
（１）１２点
まず l 、 l ' の方程式を求める。 y  log x であるから導関数は次式となる。
y 
1
x
よって x  t での法線の傾きは  t であり、法線 l の方程式が求まる。
l : y  log t  t ( x  t )  l : y  tx  t 2  log t
上式の t を s に置き換えたものが l  の方程式である。
l  : y  sx  s 2  log s
次に Q' 、Q の x 座標を求める。まず l と l ' を連立して Q  の x 座標を得る。
 tx  t 2  log t  sx  s 2  log s
 (s  t ) x  s 2  t 2  log s  log t
log s  log t
( s  t )
s t
この式の s  t としたときの極限が点 Q の x 座標である。
 x  st 
log s  log t 
1

lim s  t 
 2t  (log x) x t  2t 

s t
s t
t


(∵微分係数の定義より)
これを l の式に代入すれば Q の y 座標も求まる。
1

y  t  2t    t 2  log t  t 2  1  log t
t

以上より座標は次のようになる。
1


Q 2t  ,t 2  1  log t 
t


（２）８点
2
(1)より PQ を t で表すことができる。
2
1 

PQ   2t   t   (t 2  1  log t  log t ) 2
t 

2
 t2  2 
1
1
 t 4  2t 2  1  t 4  3t 2  3  2
2
t
t
これを f (t ) と定め、その増減を調べる。
極限－曲率半径－2
極限－曲率半径－3
f (t )  4t 3  6t 
2 4t 6  6t 4  2 2(t 2  1) 2 (2t 2  1)


t3
t3
t3
よって f (t ) の増減は次表のようになる。
t
･･･
1/ 2
･･･
f (t )
－
0
＋
最小
f (t )
よって最小を与える t は t 0 
2
となる。
2
予習問題―曲率半径
高速道路などで、次のような標識を見かけたことはないでしょうか？
これは今走っている道路が、半径 300m の円と同じカーブであることを意味
しています。これを曲率半径と呼び、曲線のある点での曲がり具合を円の半
径で表したものです。当然曲率半径が小さくなればなるほどカーブはきつく
なっていきます。点 Q  が x  s, t での法線の交点であることを考えると、
s  t とすれば Q  は曲率円の中心に近づいていくことがイメージできるで
しょう。なお(2)は曲線 y  log x 上で最もカーブがきついのが x 
であることを意味しています。
極限－曲率半径－3
1
2
の点

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