Math.
Rep.
III-1,
1965.
あ る種 の正 曲率 のRiemann多
様体 の
位 相 構 造 に つ い て
塚
本
陽
太
[1965.8.19.受
§1.序
論
Mはcompact
tional
郎
付1
simpl
curvature)Kは
yconnected
Riemann多
様 体 と し,Mの
い た る と こ ろ 不 等 式0<K≦1を
次 の よ うな 量L(M)(実
数)を
断 面 曲 率(sec-
み た す とす る.初
瀬 氏は
導 入 した.
L(M)=Max
(d(p, q)+d(q,
r)+d(r,
p))
p,q,re M
こxでd(p,q)はMの2点p,qの
そ の と き 次 の2つ
間 の 距 離 を 表 わ す.
の 定 理 が 知 られ て い る.
定 理A(初
瀬)
L(M)く3π
の と き,Mは
曲 率1の
球 面 に 同 相 で あ る.特
にL(M)=2π
の と き は,Mは
定
球 面 に 等 長 で あ る.
注 意.一
般 にL(M)≧2π
定 理B(塚
本[6])
L(M)=3π
mology
で あ る こ と は 容 易 に 見 ら れ る.
の と き,.Mはrank1のcompact型
ringを
の 対 称 空 間 と同 じ 整 係 数 のcoho-
もつ ・
こ の 稿 で は 次 の2つ
の 定 理 を 証 明 す る.
定 理C
Mの
断 面 曲 率Kが
3π/2/kの
は,Mは
注 意.定
不 等 式0<k≦K≦1(kは
と き は,Mはhomological
定 数)を
sphereで
あ る.特
み た し,且
つL(M>
にdimMbF3,4の
とき
球 面 に 同 相 で あ る.
理Cの
Klingenberg
仮 定 の 下 にL(M)≦2π//kで
[41).
あ る こ とが 知 ら れ て い る.
(c. f. W.
28
塚
木
陽
太
郎
定 理D
Mの
断 面 曲 率Kが
の と き は,Mは
§2.定
定 曲 率kの
理Cの
L(M)の
定 数)を
み た し,L(M)=2π//k
球 面 に 等 長 で あ る.
証明
定 義 よ り 明 き ら か に3d(M)≧L(M)が
径 を 表 わ す.そ
[3]に
不 等 式0<k≦K≦1(kは
れ 故 にd(M)〉
よ る 次 の 定 理Eよ
π/2/nが
わ か る.こxでd(M)はMの
わ か る.そ
直
の と き 定 理CはM.Berger
り直 ち に 証 明 さ れ る.
定 理E(M,Berger[3])
Mがcompact
simply
式0<k≦K≦1(kは
〉 π/2/kを
connected
定 数)を
Riemann多
様 体 で,Mの
み た す とす る.更
み た す と き は,Mはhomological
にMの
断 面 曲 率Kが
直 径d(M)が
sphereと
不等
不 等 式d(M)
な る.
証 明
こxで
は 定 理Eの
対 偶 定 理E'を
証 明 す る.
sphereで
な い な ら ば,Mの
定 理E'
.Mがhomological
π/2/kを
直 径d(M)は
不 等 式d(M)≦
み た す.
以 下 定 理 を3つ
の 段 階 に 分 け て 証 明 す る.
第一段
Mの
任 意 の 点ｐに
対 し て,pよ
り出 る長 さ1,0<'≦
π//kのgeodesic loopが
存 在 す る.
証 明.仮
定 よ りMはhomological space2(P,q)がnondegenerateで
sphereで
は な い の で,Mの2点p,qが,path
あ る よ うな2点
で あ る と き,Ω(P,q)に
バ
i,1≦i<di〃1M-1な
るgeodesicΓ
が 存 在 す る.そ
等式
π≦1(r)≦
π//kを
Mの
点gはM上
い た る と こ ろ 稠 密 で あ る の で,次
在 す る.す
な わ ち(1)す
み た す.一
べ て のnに
方
はindex
リ
の
の と きrの
・Ω(P,q)がnon 長 さ1(r)は
degenerateで
の よ うなM上
対 し て9(P,q(n))はnon 不
あ る よ うな
の 点 列{q(n)}が
degenerateで
存
あ り,
(2)limq(n)=P.
ロ Γ(n)は9(P,q(n))のgeodesicでindex る.測
地 線 列Γ(n))の
i,1≦i<dimM-1を
中 よ り収 束 す る 部 分 列(Γ(m(n))}を
もつ もの とす
選 び 出 す こ とが 出 来 る.
{Γ(m(n))}のLimit
≦ π//π
geodesicをΓ
を み た す の でΓ
とか く と,d(P,q(n)→0(u→∞)且
つ
π≦l(Γ)
は 求 め る も の で あ る.
第二段
補 助 定 理(M.Berger[1])
complete Riemann多
≦t≦a,a>0)は
≦1を
様 体Mに
σ(0)==Pな
み た し 且 つd(p,q)〉
お い て,P,qはMの
るgeodesicと
π/2/kの
任 意 の2点,Σ={σ(t)}(-a
す る.Mの
断 面 曲 率Kが0<k≦K
と きd(p,q)>d(r,q)な
るPに
十分 近 い Σ
の 点 アが 存 在 す る.
補 助 定 理 の証 明
Mはcompleteで
あ る の で,Pとqの
p,γ(1)-q,1(r)==・1==d(p,q))が
間 に 最 短 測 地Γ=(γ(v)}(0≦v≦',γ(0)-
存 在 す る.
と Σ が 垂 直 で な い と き定 理 は 明 きら
Γか で あ る.そ
直 で あ る即 ち 〈σ'(0),γ'(0)〉-0と
仮 定 す る.そ
ベ ク トル 場3C・ ・{N(v)}(0≦v≦1)を
はΓ
すΓ
こxで
に 沿 つ て 平 行 な 単 位 ベ ク トル 場 で あ る.次
のgeodesi
cvariation
」 は 数 直 線 の0の
ち(1)N(0)=σ'(0)で
にΓ
あ り,(2)
に 沿 つ て の ベ ク トル R場X=一
考 え る.こ
の ベ ク トル 場Xを
V:[0,1]×J→M,V(t,0)=γ(t),vt∈[0,t]を
引 き起 こ
考 え る.
周 りの 開 区 間 で あ る.Vε:[0,1]→M,Vε(t)=V(t,ε)はΓ
の 変 分 曲 線 と よ ば れ る.今Vε
L'(0)=
γ'(0)が 垂
して 次 の 条件 に よ り 「 に 沿 つ て の
定 義 す る.即
{X(v)}(0≦v≦1),X(v)=cos(箋7)N(v)を
れ 故 に 今,σ'(0)と
の 長 さ をL(ε)で
表 わ す.よ
く知 られ た 計 算 に よ り
0
L"(0)=f(412
sin
2(21)—K(r'(v),
N(v))cos2(21))dv
I
が 生 ず る.こXでK(γ'(v),N(v))は
点 γ(v)でγ(の
とN(v)に
関 す るMの
曲 率 を 表 わ す.
K(rt(の,N(の)≧k且
つ'〉
π/2/kで
あ るの で
K(r'(の,N(V))〉
葬
が 生 ず る.そ
れ故に
L"(0)<`412sin2(--2/)—cos2(---2111dv=0
0
断面
そ れ 故 に εが 十 分0に
近 い と き,変
に 十 分 近 い Σ 上 の 点rでd(r,の
分 曲線
匹
くd(P,の
は 「 よ り小 な る 長 さ を も つ.即
ちp
な る も の が 存 在 す る.
第三段
定 理E'の
今M上
証 明
の2点P,qをd(P,q)・-d(M)と
1(「),γ(0)=・ γ(1)-P)はPよ
うなgeodesic
よ うなPよ
looPの
り9へ
り出 る 長 さ ≦ π//kのgeodesic
≧0で
あ る ・rはcompactで
し て よ い.何
〈 γ'(0),λ'(0)〉>0の
の 場 合 は 第 二 段 よ りpの
か つ て い る.そ
りZへ
π/2/π
点 でPよ
π/2/nで
り9に
つd(P,q)〉
ちzはTの
よ り
π/2/k
内 点 で あ る.そ
π//Rよ
し
り θ と 「 は
あ る こ と が わ か る.「
適 用 す る とd(P,q)≦
ち 定 理Eが
既に
よ り近 い 点 が 存 在 す る こ とが わ
と θ に 対 し てToponogovの
れ よ り定 理E',即
ら ば 定 理E'は
の と きd(q,Z)=d(q,「)よ
「・に わ か れ る.1(「)≦
[2],W.Klingenberg[4])を
理Dの
りqに
し て 考 え れ ば よ い.即
に 第 二 段 よ りd(q,z)≦
と す る.r、
近 く のrの
〈r'(0),λ'(0)〉=0且
の 最 短 測 地 線 とす る.そ
の 部 分 「1と
π/2/kな
場 合 は,Pの
近 くの 「 の 点 でpよ
れ 故 にz≒pと
zで 直 交 す る.更
§3.定
あ る の でd(q,r)==d(q,z),z∈r
故 な ら ばd(P,q)≦
近 い 点 が 存 在 す る こ と は 明 き ら か で あ る.又
≦ π/2/k.こ
で あ るの で 次 の
存 在 す る.
証 明 さ れ た.又
1(ri)≦
の よ
ちA・={λ(s)}(o≦s≦d(P,q),λ(o)=P,A(d(P,q))=q)
そ の と きzi・Pと
zに よ り2つ
す る.こ
の 最 短 測 地 線 」 が 存 在 す る こ と が わ か つ て い る.(c.f.M.Berger
且 つ 〈 λ'(0),〆(0)〉
て θ をqよ
looPと
存 在 は 第 一段 よ り保 証 さ れ る.d(P,q)=4(初
[21,Y・Tsukamoto[5]即
な る 点Zが
な る よ う に 選 ぶ.r-={γ(の}(0≦s≦t-
は2点pと
り少 く と も 一 方 た と え ば
比 較 定 理(c.f.M.Berger
π/2/kが
わ か る.即
ちd(M)
証 明 さ れ た.
証明
こ の 定 理 の 仮 定 の 下 にd(M)=π//kを
証 明 す る.そ
理(c・f・W.Klingenberg[4])に
よ りMは
は 周 囲 が2π//Eな
定 曲 率kの
の と き に はToponogovの
球 面 に 等 長 とな る。
L(M)-2π//kよ
りMに
きToponogovの
比 較 定 理 を 用 い る こ と に よ り測 地 三 角 形pqrは
る測 地 三 角 形pqrが
み が お こ り得 る こ と が 容 易 に わ か る.
(i)d(p,g),d(q,r),d(r,p)の
何 れ か1つ
が π//nで
定
あ る.
存 在 す る.そ
次 の2つ
の と
の場 合 の
(ii)測
地 線 弧pq,qr,rpは
定 理Dの
=π//π
周 囲 の 長 さ が2π//kの
仮 定 の 下 にd(M)≦
π//kが
閉 測 地 線rを
な りた つ.(i)の
つ く る.
場 合 は 明 き ら か にd(M)
が な りた つ .
(ii)の
場 合d(M)<π//kと
測 地 線 弧pq,qr,rpの
仮 定 し て 矛 盾 を 導 く.閉
うち 少 く と も2つ
測 地 線 「 を 構 成 す る3つ
は 長 さ ≧ π/2/kを
も つ.そ
して そ の 少 く と
も 一 方 は 長 さ 〉 π/2/kを
そ の2つ
も つ.
の 弧 をpq,prと
す る.閉
測 地 線 丁 は2点p,グ
れ る とす る.そ
で2等
ぶ
分 さ
の と き 「 上 の4点
は 左 図 の よ うにp,q,p',rの
1並
の
.d(M)<π//π
順に
よ りpとp'
を む す ぶ 最 短 測 地 線 ㊧ で 「 と異 な
る も の が 存 在 す る.測
地 線 弧p'qp
をT1・={γ1@)}(0≦v≦1,1・
一
π//k,γ1(0)=p',γ1(1)==p)と
測 地 線 弧P'rpを
≦v≦',1・=rr//k;γ2(0)=pt,γ2(')=P)と
し,測
m=d(p,p'),θ(0)-p',θ(m)=p)と
(a)〈
仮 定 す る.そ
γ1'(0),θ'(0)〉>0の
gOVの
比 較 定 理 を 用 い る.今
る.即
ちd(P',P)-d(p',p),d(♪
の と きToponogovの
「2-{γ2(の}(0
θ={θ(の}(0≦v≦m,
す る.
そ の と き 〈 γ1'(0),θ'(0)〉 ≧0又
θ'(0)〉 ≧0と
地線 θ を
し,
は 〈 γ2'(0),θ'(0)〉 ≧0が
し て 次 の2つ
場合
な りた つ.今<γ
・'(0),
の 場 合 に 分 け て 矛 盾 を 導 く.
こ の 場 合 は 球 面 三 角 法 の 余 弦 定 理 とTopono・
定 曲 率kの
球 面 上 に 次 の よ うな 測 地 三 角 形p'♪4を
「,4)-d(p',q)且
つ く(bpt4)・ 一く(pp'q)と
つ く
す る.そ
比較定理 よ り
(1)d(p,の
≧d(P,9)一
π//k-d(P',q)
一
一方 測 地 三 角 形 ♪'∫
崎 に対 し て球 面 三 角 法 の余 弦 定 理 を 適 用 す る と
(2)d(P,a)<π//k-d(P',4)一
が 生 ず る.(1),(2)よ
(b)〈
π//k-d(P',q)
り矛 盾 が 生 ず る.
γ1'(0),θ'(0)〉==Oの
場 合
こ の 場 合 は 〈 γ2t(0),θ'(0)〉=0と
も な る.仮
定 よ りd(p,の
〉 π/2/k又
測 地 三 角 形qp'pに,d(p,r)〉
はd(p,r)〉
π/2/kが
π/2/kの
生 ず る.d(p,q)〉
π/2/Eの
場 合 に は 測 地 三 角 形rp'pに
場合は
対 し て(a)と
同 様 の 議 論 に よ り矛 盾 を 導 く こ とが 出 来 る.
〈 γ2'(o),θ'(o)〉 ≧oと
合 もd(M)=・
π//kで
仮 定 し て も 同 様 の 議 論 に よ り矛 盾 を 生 ず る.即
ち(ii)の
場
あ る こ とが わ か る.
証
明 終
九 州 大 学 教 養 部
参
[1 ]
[2]
[3 ]
[4]
[5 ]
[6 ]
考
文
献
BERGER,M., Les varietes riemannienne a courbure positive, Bull. Soc. Math. Belgique, 10 (1958), 89-104.
BERGER, M., Les varietes riemannienne % pincees, Ann. Scuola. Nor. Sup. Pisa, 14
(1960), 161-170.
BERGER, M., On the diameter of some Riemannian manifolds, Tech report (1962).
KLINGENBERG,
W., Riemannsche Geometrie im Grossen, Lecture note, Bonn Univ. (1962).
TstKAMOTO,Y., On Riemannian manifolds with positive curvature, Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., Ser A, 15 (1962), 90-96.
TSUKAMOTO,
Y., On certain Riemannian manifolds of positive curvature, TOhoku. Math.
Jour. to appear.
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