4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた 空間のベクトル 6 http://toitemita.sakura.ne.jp ベクトルと図形 120 a b Q O B P T c D A F C S E G R (1) PQ = OQ - OP 1 1 = b - a 2 2 RS = OS - OR 1 1 æ ö æ ö = ç OC + CF + FG ÷ - ç OC + CE + EG ÷ 2 2 è ø è ø 1 1 æ ö æ ö = ç OC + OB + OA ÷ - ç OC + OA + OB ÷ 2 2 è ø è ø 1 ö æ 1 ö æ = çc + b + a ÷ - çc + a + b ÷ 2 ø è 2 ø è 1 1 = b- a 2 2 より, PQ = RS よって,PQ//RS (2) TH = OH - OT a+b +c 1 - c = 3 2 1 æ 1 ö = ç a + b - c ÷ 3è 2 ø 1 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp TD = OD - OT 1 = a + b - c 2 よって, TD = 3TH ゆえに,3 点 T, D, H は一直線上にあり,TH:HD=1:2 である。 121 O M L a c b A C S R B N 2 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp (1) O L a b A R B N △OAB と線分 LN について,メネラウスの定理より, 条件より, OL BN 1 AR =1, = だから, =2 LA NO 2 RB よって,点 R は AB を 2:1 に内分する点である。 ゆえに, OR = 1 2 a+ b 3 3 ・・・① 3 OL AR BN × × =1 LA RB NO 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp O M c b C S B N △OBC と線分 NM について,メネラウスの定理より, 条件より, ON CM BS 1 =2, = 1 だから, = NB MO SR 2 よって,点 S は BC を 1:2 に内分する点である。 ゆえに, OS = 2 1 b+ c 3 3 4 ON BS CM × × =1 NB SR MO 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp (2) 1 1 c- a 2 2 1 = (c - a ) 2 LM = æ 2 1 ö æ 1 2 ö RS = ç b + c ÷ - ç a + b ÷ 3 ø è3 3 ø è3 1 = (c - a ) 3 よって, LM = 3 RS 2 ゆえに,RS//LM 122 ( ) 1 OM + OQ 2 1 æ 1 1 2 ö = ç a + b + c ÷ 2è2 3 3 ø 1 1 1 = a + b + c 4 6 3 点 P は平面 ABC 上の点だから,適当な実数を s,t とすると, OR = OP = OA + AP = OA + s AB + t AC ( ) ( = OA + s OB - OA + t OC - OA ) = (1 - s - t )OA + s OB + t OC = (1 - s - t )a + sb + tb また,適当な実数を k とすると, OP = k OR より, k k k OP = a + b + c ・・・① 4 6 3 よって, 1- s - t = k 4 ・・・②, s= k 6 ・・・③, t = ②+③+④より, 1 = 3 k 4 これと①より, OR = 1 2 4 a+ b+ c 3 9 9 \k = 4 3 5 k 3 ・・・④ 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp O M R C Q A P B 6 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 123 OA = a , OB = b , OC = c とすると, 1 1 1 OG = a + b + c 3 3 3 点 H は平面 MBC 上の点だから,適当な実数を s,t とすると, OH = OM + s MB + t MC = (1 - s - t )OM + sb + tc 1- s - t a + sb + tc = 2 また,適当な実数を k とすると, OH = k OG より, OH = よって, 1- s - t k = 2 3 ①×2+②+③=1 より, 1 = ゆえに, OH = s= k 3 \k = 3 4 ・・・①, 4 k 3 ・・・②, k k k a+ b+ c 3 3 3 t= 3 OG 4 すなわち OH:OG=3:4 O M C H A G B 7 k 3 ・・・③ 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 124 OC = c とすると, CG = OG - OC 1 = OP + OQ + OR - OC 3 1 æ 1 2 3 ö = ç a + b + c ÷ - c 3è2 3 4 ø 1 2 3 = a + b - c 6 9 4 ( ) また,適当な実数を k とすると, CH = k CG より, OH = OC + k CG æ 1 2 3 ö = c + k ç a + b - c ÷ 9 4 ø è6 3 ö k 2k æ b + ç1 - k ÷c = a + 4 ø 6 9 è また,点 H は平面 OAB 上の点だから,適当な実数を s,t とすると, OH = s OA + t OB = sa + tb よって, k =s 6 ・・・① ①,②,③より, k = ゆえに, OH = 2 k =t 9 ・・・② 4 2 8 , s= , t= 3 9 27 2 8 OA + OB 9 27 8 1- 3 k =0 4 ・・・③ 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp O P R H G C Q A B 9 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 125 A N K P D Q B M L C (1) AB = b , AC = c , AD = d とすると, ( 1 1 1 1 AC = c ・・・① KN = BD = d - b 2 2 2 2 c+d 1 1 1 - b = c + b -d また, KM = AM - AK = ・・・③ 2 2 2 2 中点連結定理より, KL = ( ) ①,②,③より, KM = KL - KN よって,M は点 K, L, N で定められる平面上の点である。 すなわち 4 点 K, L, N, N は同じ平面上にある。 10 ) ・・・② 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp (2) BQ = BA + AQ = -AB + AQ BQ = k BD = k AD - k AB より, AQ = (1 - k )AB + k AD あるいは, 条件より,点 Q は辺 BD を k : 1 - k に内分する点であるから, AQ = (1 - k )AB + k AD (3) KR = = = = = ( ( ( ) 1 KP + KQ 2 1 AP - AK + AQ - AK 2 1 AP + AQ - 2AK 2 1 1ì ü íh AC + (1 - k )AB + k AD - 2 × ABý 2 2î þ 1 hAC + k AD - AB 2 ) ) { = h × ( )} AC BD +k× 2 2 = h KL + k KN よって,点 R は点 K, L, N で定められる平面上,すなわち(1)で決まる平面上にある。 11 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 126 ( ) PA × BC = HA - HP × BC = HA × BC - HP × BC 条件より,HA⊥BC,HP⊥BC だから, HA × BC = 0 , HP × BC = 0 よって, PA × BC = 0 すなわち PA⊥BC 127 (1) 各面は互いに合同かつ正三角形だから, AB = AC = AD = l とすると, AB × AC = l 2 cos 60° , AC × AD = l 2 cos 60° , AD × AB = l 2 cos 60° よって,与式が成り立つ。 (2) ( AB × CD = AB × AD - AC ) = AB × AD - AB × AC (1)より, AB × AD = AB × AC だから, AB × CD = 0 すなわち AB⊥CD 128 (1) OH = OA + t AB ( = OA + t OB - OA ) æ 5 ö ìæ 8 ö æ 5 öü ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï = ç - 2 ÷ + t íç 0 ÷ - ç - 2 ÷ý ç - 3 ÷ ïç - 4 ÷ ç - 3 ÷ï è ø îè ø è øþ æ 5 ö æ 3ö ç ÷ ç ÷ = ç - 2 ÷ + t ç 2 ÷ ç - 3 ÷ ç - 1÷ è ø è ø æ 3t + 5 ö ç ÷ = ç 2t - 2 ÷ ç- t - 3 ÷ è ø æ 3t + 5 ö æ 3 ö ç ÷ ç ÷ \ OH × AB = ç 2t - 2 ÷ × ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ è - t - 3 ø è - 1ø = 14t + 14 これと OH⊥AB,すなわち OH × AB = 0 より, t = -1 12 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp æ 2 ö ÷ ç よって, OH = ç - 4 ÷ ÷ ç è - 2ø ゆえに, H = (2, - 4, - 2 ) , OH = 2 2 + (- 4 )2 + (- 2 )2 = 2 6 (2) PH = PA + AH = PA + t AB ( = OA - OP + t OB - OA ) æ 0 ö æ 3 ö ìæ 8 ö æ 0 öü ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï = ç - 2 ÷ - ç - 1÷ + t íç 4 ÷ - ç - 2 ÷ý ç - 3 ÷ ç 4 ÷ ïç 7 ÷ ç - 3 ÷ï è ø è ø îè ø è øþ æ 8t - 3 ö ÷ ç = ç 6t - 1 ÷ ç10t - 7 ÷ ø è æ 8t - 3 ö æ 8 ö ç ÷ ç ÷ \ PH × AB = ç 6t - 1 ÷ × ç 6 ÷ ç ÷ ç ÷ è10t - 7 ø è10 ø = 200t - 100 これと PH⊥AB,すなわち PH × AB = 0 より, t = æ 1 ö ç ÷ \ PH = ç 2 ÷ ç ÷ è - 2ø ・・・① ゆえに, PH = PH = 12 + 2 2 + (- 2) = 3 2 また, PH = OH - OP より, OH = PH + OP æ 1 ö æ 3ö ç ÷ ç ÷ = ç 2 ÷ + ç - 1÷ ç - 2÷ ç 4 ÷ è ø è ø æ4ö ç ÷ = ç1 ÷ ç2÷ è ø よって, H (4, 1, 2 ) 13 1 2 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 例題 13 別解 xyz 直交座標系において,3 点 A,B,C はそれぞれ x, y, z 軸の切片だから, 平面 ABC の方程式は x y z + + =1 2 1 -2 \ x + 2y - z = 2 ・・・① æ 1ö ç ÷ これより,ベクトル ç 2 ÷ は平面 ABC の法線ベクトルである。 ç ÷ è - 1ø æ 1ö ç ÷ したがって,適当な実数 k を用いると, OH = k ç 2 ÷ ç ÷ è - 1ø よって, H (k , 2k , - k ) 点 H は平面 ABC 上の点だから,①を満たす。 すなわち k + 2 × 2k - (- k ) = 2 \k = 1 3 1ö æ1 2 ゆえに, Hç , , - ÷ 3ø è3 3 2 2 2 6 æ1ö æ2ö æ 1ö また, OH = ç ÷ + ç ÷ + ç - ÷ = 3 è3ø è3ø è 3ø 補足 æaö æxö ç ÷ ç ÷ 点 A (x1 , y1 , z1 ) を含み n = ç b ÷ に垂直な平面上の A でない任意の点を P ç y ÷ とすると, ç ÷ ç ÷ èc ø èz ø æ x - x1 ö æ a ö ç ÷ ç ÷ AP × n = 0 より, ç y - y1 ÷ × ç b ÷ = 0 ç ÷ ç ÷ è z - z1 ø è c ø \ a (x - x1 ) + b( y - y1 ) + c(z - z1 ) = 0 ゆえに, ax + by + cz - (ax1 + by1 + cz1 ) = 0 これは A (x1 , y1 , z1 ) についても成り立つ。 これより, ax + by + cz + d = 0 で表される平面の方程式において, æaö ç ÷ ベクトル ç b ÷ はその平面の法線ベクトルである。 ç ÷ èc ø 14 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 切片と直線の方程式・平面の方程式 x 切片を a , y 切片を b とする直線の方程式 x y + = 1 ( a, b は 0 でない実数) a b y B b x y a + b = 1 A O a 証明 A (a ,0 ) ,B (0.b ) を通る直線の方程式は, y = - 15 b x+b a \ x y + =1 a b x 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp x 切片を a , y 切片を b , z 切片を c とする平面の方程式 x y z + + = 1 ( a, b, c は 0 でない実数) a b c z z x y a + b + c = 1 c C O B b A a y x 証明 A (a,0,0 ) ,B (0.b,0 ) ,C (0,0, c ) を通る平面の方程式を px + qy + rz = s とすると, pa = qb = rc = s より, p = s s s ,q = ,r = a b c 16 \ x y z + + =1 a b c 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp 129 PH = PA + s AB + t AC ( ) ( = OA - OP + s OB - OA + t OC - OA ) æ 3 ö æ 3 ö ìæ1 ö æ 3 öü ìæ 0 ö æ 3 öü ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï = ç 6 ÷ - ç 4 ÷ + s íç 4 ÷ - ç 6 ÷ý + t íç 5 ÷ - ç 6 ÷ý ç 0 ÷ ç 5 ÷ ïç 0 ÷ ç 0 ÷ï ïç 4 ÷ ç 0 ÷ï è ø è ø îè ø è øþ îè ø è øþ æ - 2s - 3t ö ÷ ç = ç - 2s - t + 2 ÷ ç 4t - 5 ÷ ø è PH × AB = 0 , PH × AC = 0 より, æ - 2s - 3t ö æ - 2 ö ç ÷ ç ÷ ç - 2 s - t + 2 ÷ × ç - 2 ÷ = 8s + 8t - 4 = 0 ç 4t - 5 ÷ ç 0 ÷ è ø è ø æ - 2 s - 3t ö æ - 3 ö ç ÷ ç ÷ ç - 2s - t + 2 ÷ × ç - 1 ÷ = 8s + 26t - 22 = 0 ç 4t - 5 ÷ ç 4 ÷ è ø è ø \ 2 s + 2t = 1 ・・・① \ 4 s + 13t = 11 1 ①,②より, s = - , t = 1 2 æ - 2ö ç ÷ \ PH = ç 2 ÷ ç ÷ è-1 ø ゆえに, PH = PH = (- 2)2 + 2 2 + 12 =3 別解 æaö ç ÷ 平面 ABC の法線ベクトルの 1 つを n = ç b ÷ とすると, ç ÷ èc ø n × AB = 0, n × BC = 0 より, æ a ö æ - 2ö ç ÷ ç ÷ ç b ÷ × ç - 2 ÷ = -2a - 2b = 0 çc ÷ ç 0 ÷ è ø è ø æ a ö æ - 1ö ç ÷ ç ÷ ç b ÷ × ç 1 ÷ = - a + b + 4c = 0 çc ÷ ç 4 ÷ è ø è ø \a + b = 0 \ a - b = 4c したがって, c = 1 とすると, a = 2, b = -2 17 ・・・② 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp これより,平面 ABC の方程式は 2 x - 2 y + z + d = 0 と表される。 これと平面 ABC が点 A を含むことから, 2 × 3 - 2 × 6 + 0 + d = 0 より d = 6 よって,平面 ABC の方程式は 2 x - 2 y + z + 6 = 0 ゆえに,点 P と平面 ABC の距離,すなわち線分 PH の長さは 130 △ABC の面積 S= 1 AB AC sin ÐBAC 2 = AB AC 1 - cos 2 ÐBAC 2 2 = ( 2 AB AC - AB × AC ) 2 2 æ 0 ö æ1 ö æ - 1ö æ 0 ö æ1 ö æ - 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ここで, AB = ç1 ÷ - ç 0 ÷ = ç 1 ÷ , AC = ç 0 ÷ - ç 0 ÷ = ç 0 ÷ より, ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 0ø è 0ø è 0 ø è 2ø è 0ø è 2 ø AB = 2 , AC = 5 AB × AC = 1 \S = 2 ×5 -1 3 = 2 2 四面体 ABCD の体積 点 D から底面 ABC に下ろした垂線の足を H とすると, V= 1 1 S DH = DH 3 2 ここで, DH = DA + s AB + t AC ( ) ( = OA - OD + s OB - OA + t OC - OA ) æ1 ö æ1 ö ìæ 0 ö æ1 öü ìæ 0 ö æ1 öü ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï = ç 0 ÷ - ç 2 ÷ + s íç1 ÷ - ç 0 ÷ý + t íç 0 ÷ - ç 0 ÷ý ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷ï ïç ÷ ç ÷ï è 0 ø è 3 ø îè 0 ø è 0 øþ îè 2 ø è 0 øþ æ- s - tö ç ÷ = ç s - 2 ÷ ç ÷ è 2t - 3 ø 18 2×3- 2×4 + 5+ 6 2 2 + (- 2) + 12 2 =3 4STEP 数学 B(新課程)を解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp DH × AB = 0, DH × AC = 0 より æ - s - t ö æ - 1ö ÷ ç ÷ ç ç s - 2 ÷ × ç 1 ÷ = 2s + t - 2 = 0 ç 2t - 3 ÷ ç 0 ÷ ø è ø è \ 2s + t = 2 ・・・① æ - s - t ö æ - 1ö ÷ ç ÷ ç ç s - 2 ÷ × ç 0 ÷ = s + 5t - 6 = 0 ç 2t - 3 ÷ ç 2 ÷ ø è ø è \ s + 5t = 6 ・・・② ①,②より, s = 4 10 ,t= 9 9 æ 14 ö ç- ÷ ç 9÷ ç 14 ÷ \ DH = ç - ÷ ç 9÷ ç 7 ÷ ç- ÷ è 9 ø 2 2 2 7 æ 14 ö æ 14 ö æ 7ö ゆえに, DH = ç - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ = 3 è 9ø è 9ø è 9ø \V = 7 6 別解 点 D から底面 ABC に下ろした垂線の足を H とすると, V= 1 1 S DH = DH 3 2 ここで, xyz 直交座標系において,3 点 A,B,C はそれぞれ x, y, z 軸の切片だから, 平面 ABC の方程式は x y z + + =1 1 1 2 \ 2x + 2 y + z - 2 = 0 これより,点 D と平面 ABC の距離,すなわち DH = \V = 7 6 19 2 ×1 + 2 × 2 + 3 - 2 2 2 2 2 + 2 +1 = 7 3
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