解答（41KB）

2014 年北海道大学 (前期) 文系
解答
1
(1) C1 と C2 , の式を連立して y を消去すると
3
= (x − a)2 + a
− x2 +
2
3
=0
∴ 2x2 − 2ax + a2 + a −
2
この 2 次方程式が実数解をもたないことが C1 と C2 が共有点を持たないための条
件であるから，
3
2
2
1
<0
(
)
=
a
−
2
a
+
a
−
4 判別式
2
a2 + 2a − 3 > 0
(a + 3)(a − 1) > 0
a > 0 より
a > 1 (答)
(2) P2 q, (q − a)2 + a とおくと，P2 における C2 の接線 2 は P1 における C1 の接
線 1 に平行であるから，
2(q − a) = −2p
∴ q = −p + a
接点 P2 の座標は
P2 (−p + a, p2 + a)
(答)
接線 2 の方程式は
y = −2p(x + p − a) + p2 + a
∴ y = −2px − p2 + 2ap + a (答)
3 3
−−−→
= −2p + a, 2p2 + a −
(3) P1 P2 = (−p + 2, p2 + a) − p, −p2 +
2
2
が 1 と垂直になるとき，
3
=0
1 (−2p + a) − 2p 2p2 + a −
2
4p3 − p + a(2p − 1) = 0
(2p − 1) p(2p + 1) + a = 0
a > 1 より
1 2
1
>0
p(2p + 1) + a = 2 p +
+a−
4
8
であるから，
1
(答)
p=
2
— 1 —
2014 年北海道大学 (前期) 文系
解答
2
(1) 2 式はいずれも
an+2 = (s + t)an+1 − stan
であり，与えられた漸化式と比べると
s + t = 1 かつ st = −3
1
······ 解と係数の関係より， s, t を 2 解とする 2 次方程式は
x2 − x − 3 = 0
であり，解の公式より
√
1 ± 13
x=
2
s > t より
√
√
1 − 13
1 + 13
, t=
s=
2
2
(答)
2
······ 2 の s, t に対して
(2) an+2 − san+1 = t(an+1 − san )
が成り立つから， {an+1 − san } は初項 a2 − sa1 = 1 − s = t, 公比 t の等比数列
であり，
3
an+1 − san = t t n−1 = t n
······ 同様に， an+2 − tan+1 = s(an+1 − tan ) より
an+1 − tan = s n
4
······ 4 −
3 より an+1 を消去して
(s − t)an = s n − t n
2 を代入して
√ √ 1 + 13 n
1
1 − 13 n
an = √
−
(答)
2
2
13
— 2 —
2014 年北海道大学 (前期) 文系
解答
3
(1) 直角三角形 ABC の外心 O は斜辺 BC の中点
であるから，
−→
−→
OB = − OC
点 D は BC を (p + 1) : p に外分するから
B
−→ −→
−−→ −→
OD = OB + (p + 1) OC − OB
−→
−→
= − OC + 2(p + 1) OC
−→
= (2p + 1) OC (答)
A
O
H
X
C
D
−→
(2) 外心 O から線分 AD におろした垂線の足を H とすると， AH は直線 AD への
正射影であるから，
−→ −→
AO AD −→
−→
AH = −→2 AD
AD −→ −→ −→ −→
ここで， OA = OC , OA OC = 0 と (1)より
−→ −→
−→ −→ −→
AO AD = − OA OD − OA
−→ −→2
−→
= − OA (2p + 1) OC + OA −→2
= OA −→2 −→2 −→2
AD = OA + OD −→2 −→2
= OA + (2p + 1) OC −→2
= 2(2p2 + 2p + 1) OA であるから，
−→
AH =
1
−→
AD
+ 2p + 1)
1
−→ −→
(2p
+
1)
OC − OA
=
2(2p2 + 2p + 1)
2(2p2
OA = OX より， H は AX の中点であるから
−→
−→
AX = 2 AH
であり，求めるベクトルは
−→ −→ −→
OX = OA + AX
1
−→ −→
−→
(2p + 1) OC − OA
= OA + 2
2p + 2p + 1
2p + 1 −→
2p(p + 1) −→
OA + 2
OC (答)
=
2
2p + 2p + 1
p + 2p + 2
— 3 —
2014 年北海道大学 (前期) 文系
解答
4
(1) a を通り抜ける経路は， a 以前の経路は東と北へ 1 区間ずつ， a 以降の経路は
東へ 2 区間，北へ 3 区間であるから，
2 × 5 C2 = 20 通り (答)
(2) a を通リ抜けないで b を通り抜ける経路は，次図の通りである。
G
b
S
図の 3 点のいずれを通るかで場合を分けることにより，
(3 + 1) + 2 × 2 + 1 = 9 通り (答)
(3) a も b も通り抜ける経路は
2 × 3 × 1 = 6 通り
a を通り抜けるが， b を通り抜けない経路は
20 − 6 = 14 通り
すべての経路は
8×7×6×5
= 70 通り
4×3×2×1
であるから， a も b も通り抜けない経路は
70 − (20 + 9) = 41 通り
8 C4
=
経路を等確率で選ぶとき，S 地点から G 地点に到達するのにかかる時間の期待
値Eは
9
6
14
41
+ 22 ×
+ 21 ×
+ 15 ×
E = 16 ×
70
70
70
70
328 + 99 + 63 + 105
=
35
595
=
35
= 17 分 (答)
— 4 —

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