a+c

正則であると仮定する．このときポンプの補題で主張される自然数n
が存在する．
素数pがn+1よりも大きいとすると，補題によってw=0p はつぎ(1)～
(3)の条件を満たすa,b,c によってw=0a0b0c のように分解できる．
(1) b ＞ 0
(2) a+b ≦ n
(3) a + bk +c 素数（k≧0）
ところが，k=a+cを選ぶと
a + bk + c = a + b(a+c) + c = (a+c)(1+b)
ここで
a + c ≧ c = p - (a + b) ≧ p - n ＞ 1
および
1+b ＞ 1
ゆえ(a+c)(1+b)は素数ではない．これは矛盾．

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