演習問題(2)

統計力学演習解答 (2)
[1]
η =1−
50 + 273
≃ 0.52
400 + 273
(答)
[2]
(1) U = U (T, V ) とすると、定積熱容量 CV 及び演習問題 (1)[4] の恒等式を用いて
(
)
(
)
∂U
∂U
dU =
dT +
dV
∂T V
∂V T
[ (
)
]
∂p
= CV dT + T
− p dV
∂T V
ファンデルワールスの状態方程式より、
)
[
(
] [
]
∂
nRT
an2
an2
∂p
nRT
−p=T
− 2 −
− 2
T
∂T V
∂T V − nb
V
V − nb
V
=
an2
V2
したがって、
dU = CV dT +
an2
dV
V2
(答)
また、熱力学第一法則より
dU
p
+ dV
T[ T
[
]
]
1
an2
nRT
an2
1
=
CV dT + 2 dV +
− 2 dV
T
V
T V − nb
V
CV
nR
dT +
dV
=
T
V − nb
dS =
(答)
(2) (1) の結果から
(
∂U
∂T
)
(
= CV ,
V
∂U
∂V
)
=
T
an2
V2
内部エネルギーは状態量なので
)
(
(
) )
(
(
) )
(
( 2 ))
(
∂
∂U
∂
∂U
∂
an
∂CV
=
=
=
=0
∂V T
∂V ∂T V T
∂T ∂V T V
∂T V 2
V
1
(答)
(3) (1) の結果より、両辺を積分して
an2
+ U0
V
S = CV ln T + nR ln(V − nb) + S0
U = CV T −
(答)
(答)
U0 、S0 は積分定数。
(4) 準静的断熱過程であるから S = const であるから、
S = CV ln T + nR ln(V − nb) + S0 = const
ln T CV (V − nb)nR = const
T (V − nb)nR/CV = const
(答)
(5) V1 → V2 で T1 → T2 になったとする。真空への断熱自由膨張であるから U = const より、
U = CV T1 −
an2
an2
= CV T2 −
V1
V2
したがって、
an2
∆T ≡ T2 − T1 =
CV
(
1
1
−
V2 V1
)
(答)
[3]
【期待値】
n
∑
kPk =
k=0
=
n
∑
k=1
n
∑
k=1
= np
kPk
n!
pk (1 − p)n−k
(k − 1)!(n − k)!
n−1
∑
k−1=0
(n − 1)!
pk−1 (1 − p)(n−1)−(k−1)
(k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!
= np(p + (1 − p))n−1
(答)
= np
2
【標準偏差】
n
∑
k=0
k Pk −
2
( n
∑
)2
kPk
=
k=0
n
∑
k=0
=
n
∑
k2
n!
pk (1 − p)n−k − (np)2
k!(n − k)!
(k(k − 1) + k)
k=0
=
n
∑
k=2
n!
pk (1 − p)n−k − (np)2
k!(n − k)!
∑
n!
pk (1 − p)n−k +
kPk − (np)2
(k − 2)!(n − k)!
n
k=0
n−2
∑
=n(n − 1)p2
k−2=0
(n − 2)!
pk−2 (1 − p)(n−2)−(k−2) + np − (np)2
(k − 2)!((n − 2) − (k − 2))!
=n(n − 1)p (p + (1 − p))n−2 + np − (np)2
2
=n(n − 1)p2 + np − (np)2
=np(1 − p)
以上より、標準偏差は
√
np(1 − p)（答）
[4]
(1) 【期待値】
∫
∞
xf (x)dx
−∞
【標準偏差】
√
∫
∞
−∞
(
(∫
x−
∞
))2
x′ f (x′ )dx′
f (x)dx
−∞
(2) 【期待値】
[
]
∫ ∞
∫ ∞
(x − µ)2
1
exp −
xf (x)dx =
x√
dx
2σ 2
2πσ
−∞
−∞
]
]
[
[
∫ ∞
∫ ∞
1
1
(x − µ)2
(x − µ)2
√
exp −
dx + µ
exp −
dx
=
(x − µ) √
2σ 2
2σ 2
2πσ
2πσ
−∞
−∞
=µ
第 2 行第 1 項は被積分関数が x − µ = t の変換によって t の奇関数となることから 0、第 2 項は Gauss
積分を用いた。
3
【標準偏差】
[
]
1
(x − µ)2
(x − µ) √
exp −
dx = σ 2
2
2σ
2πσ
−∞
∫
∞
2
以上より、標準偏差は σ（答）
なお、計算には
√
∫ ∞
∫ ∞
∂
π
1 √ −2/3
∂
−ax2
2 −ax2
e
dx = −
=
x e
dx = −
πa
∂a −∞
∂a a
2
−∞
を用いた。
4

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