Kwansei Gakuin University Repository Title 開曲線に対するキネマティック方程式と接線速度 Author(s) 佐藤, 宏俊 Citation 関西学院大学 Issue Date URL http://hdl.handle.net/10236/12323 Right http://kgur.kawansei.ac.jp/dspace 2013 年度 修士論文要旨 開曲線に対するキネマティック方程式と接線速度 関西学院大学大学院理工学研究科 数理科学専攻 大崎研究室 佐藤宏俊 1 時間発展する平面曲線 平面開曲線をx(u, t) とおき、パラメータを u ∈ [0, 1]、時刻を t = 0 とする。このとき、法線速度を β(u, t)、接線速度を α(u, t) とすれば、開曲線の運動は、 ∂t x = βn + αt, 0 < u < 1, t > 0, x(u, 0) = x0 (u) (E) と表される。ここで、nは単位法線ベクトル、tは単位接線ベクトルを表す。曲線の局所長係数 g(u, t), 弧 長 s(u, t)、全長 L(t) を以下のように定義する。 g(u, t) = |∂u x(u, t)|, 0 < u < 1, t > 0, ∫ u s(u, t) = g(u, t)du, 0 5 u 5 1, t > 0, 0 ∫ ∫ 1 L(t) = s(1, t) = (1.2) L(t) g(u, t)du = 0 (1.1) ds, t > 0. (1.3) 0 また、x(u, t) の曲率 k はフルネ・セレの公式で定義することができる。 ∂s t = −kn, ∂s n = kt. これらの設定の下で、曲率 k 、弧長 s、全長 L の時間発展方程式を得る。 ∂t k(u, t) = −(∂s2 β + k 2 β) + α∂s k, 0 < u < 1, t > 0 ∫ s ∂t s(u, t) = kβds + α(u, t) − α(0, t), t > 0 ∫ (1.4) (1.5) 0 ∂t L(u, t) = L(t) kβds + α(1, t) − α(0, t), t > 0 (1.6) 0 また境界条件は、次の式 (B) で与えられる。 { ∂s k(0, t) = 0, k(1, t) = KL (t) α(0, t) = 0, α(1, t) = γ(Kc − k(1, t)) (B) KL : 与えられたパラメータ、γ : 正定数、Kc : 臨界曲率 Mikhailov-Davydov-Zykov らは、らせん波を平面内の曲線として近似的に捉えて、その運動の法線速 度を β = β0 − Dk (V) と仮定した。ここで、β0 は直線波の速度、D は正定数である。 2 接線速度の任意性 接線速度 α を別の速度に取り替えても、パラメータ表示のみが変わるだけで、曲線の幾何学的形状に は影響しない。したがって、接線速度を適切に選択すれば、曲線の挙動の解析を簡単にし得る。パラメー タ表示をし直すことにより、接線速度の任意性を示すことができる。そのことにより、本研究では、新 しい接線速度を 1 つ提案した。局所長係数 g(u, t) が u に依存しない、すなわち、 g(u, t) ≡ 1, 0 5 u 5 1, t > 0 L(t) であるとする。このとき、∂t g = ∂t L となる。補題 ∂t g = (kβ + ∂s α)g より、∂t log L = kβ + ∂s α を得 る。これを 0 から s まで、s で積分すると、次の新しい接線速度が得られる。 ∫ s(u,t) α(u, t) = α(0, t) + s(u, t)∂t log L − kβds (α) 0 端点での境界条件は (B) によって与えられる。(V) と (α) と (B) を課した方程式 (1.4),(1.5) が、接線速 度が具体的に定義された、開曲線に対する新たなキネマティック方程式である。 3 弧状波に対する厳密解の構成 伝播する弧状波に対するキネマティック方程式の厳密解を考える。キネマティック方程式の定常問題 ˜ について、次の 2 階境界値問題に定式化される。 は、関数 k(s) ) p˜2 ˜2 ( ˜ + k Kβ − k˜ ; (3.1) ∂s k = p˜, ∂s p˜ = k˜ p˜(0) = 0, p˜(L) = γ¯ KL (KL − Kc ) . (3.2) Kβ : 定数 ˜ ここで、k(u) = k(s(u)), p(u) = p˜(s(u)) である。 Brazhnik[3] は (3.1) の厳密解を構成したが、対応する 曲線の長さは無限であった。本研究では、これが条件 (3.2) をさらに満たすようにすることで、有限長の 曲線に対応する厳密解を構成した。 定理 KL ∈ (0, 2Kβ ) とする。そのとき、曲率の関数は ˜ k(s) = k0 (2Kβ − k0 ) √ , 05s5L Kβ + (Kβ − k0 ) cos k0 (2Kβ − k0 )s (3.3) で表され、全体の長さは }] [ { k0 (2Kβ − k0 ) 1 1 L= √ arccos − Kβ Kβ − Kc KL k0 (2Kβ − k0 ) (3.4) となり、(3.1), (3.2) の唯一の厳密解となる。ここで、k0 は与えられた値 KL から、 √ k0 = Kβ − Kβ2 + γ¯ 2 (KL − Kc )2 − KL (2Kβ − KL ) として、計算することができる。 参考文献 [1] 矢崎成俊, 曲率流方程式の世界への誘い, 九州大学集中講義資料, 2009. [2] K.Osaki, H.Satoh and S.Yazaki, Towards modelling spiral motion of open plane curves, 投稿中. [3] Pavel K. Brazhnik, Exact solutions for the kinematic model of autowaves in two-dimensional excitable media, Phys.D 94 (1996) 205-220.
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